华理高数答案

1、第2章之1 第2次作业教学内容： 2.1导数概念*1.设，试用导数定义求*2.试用导数定义计算以下函数的导数:1 3gt =8-t ,求 g 2 ；C1f X，求 f 1 ； 2X(3)t =3t2 -t，求-1(1)解:g t t -g tt=limtAt4讥3 锂一鬥=lim Z .:t.Ut3 - t3 3t : t 3t : t2: t3t-lim -3t2 -3t: t - .: t2 - -3t2,g t = -3t2,3(t + At 丫itg 2 12.(t 十 At 3t2 t 】At2:t空一讥6t.At:t =6t-1 , 中 J1& 7.二吧沖3=6t*3.求曲线y=2

2、x2在点P 1,2处的切线方程2x2_2解：曲线在点P处切线的斜率为lim 2X 2 =4 ,x 1 所以切线方程为y = 4 X -12.一化学反响，*4.化学反响速率通常是以单位时间内反响物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。设有反响物浓度 C与反响开始后的时间t之间有如下关系： C = f t .1试表出时刻to到时刻tt=to这段时间内的平均反响速率;2表出在时刻to的瞬间化学反响速率。vo= lim v = limtToft-ft。t -to解：ft - ft。； t -to ；s = S求物体在时刻to = 2的瞬时速度。t*5.沿直线运动物体的运动方程为:解：1Ag =t ?t-

3、t:S _ t t : t _ 丄进：t t t :t111 =t1 1-物体在时刻to =2的瞬时速度 Vo2.*2.试证：1 limto4二与*6.在作等速旋转时，角速度是旋转角度与所花时间之比，非匀速旋转时，旋转角 时间t有如下关系：-t。试导出非匀速旋转时的(瞬时)角速度(t)表达式.解：-t 4 - -t，.(tPio 貢二忸t -加itt : t-At .f*7.在时间段.：t流经导线某个截面的电量为.:q,那么称二9为时间段.-:t上的平均电流强度，记At为I,现时间段0,t:内流经导线这个截面的电量为 流强度I.解：一 qt -qt1=出=竹 t q q(t . : t) -q

4、(t)I = lim I = lim limq(t),试求在时刻t导线于该截面上的电也，:q (t).后心At口At第2章(之2)第3次作业教学内容： 函数极限的定义*1.试证：lim cosx 二 cosx。.xo证明：Pe A0 ,取6 = s, Vx满足条件Ocx-Xov呂，有cosx - cosx 09-an乙 oil 1.x 勺p cmoil 12 2C . X 勺2 Podnlim cosxX HXocosxo.也2x 1所以只要取5 =min(3E, 1)斗 Jx+1* 3x 13lim ix 4x + 3 0，当0cx 4妬 时，有|Jx2|w名.在点:x+x ,*4.讨论函数

5、f(x)=*271 x2,x2 =0,x : 0解:lim f xl= lim xx_ 0x 0lim f x = lim 1 x 2 =x Q -A 0 -=1.=0处的左、右极限-log2 ； ( 0)。当 x :啜时，必有乜0 假设限制；：1那么可令X贝U lim f(x) 即 lim 2x =0.x .2乂证明：只需证明*5.讨论以下函数在所示点处的左右极限:1在x取整数值的点；2符号函数sgn x解：1 Xo为整数，lim f x =lim x-x丨X沢0亠X朕0 ?lim xlimX 丨二 X。X % X嵐0 lim f x =lim x-x丨X X0 X )X 0 lim x -

6、 limx ,。丨x -X0 - 1 = 1。Xo即：一 ；e : In 时f(X)为无穷小； 当X 时,(x+1)2f(x)为无穷大。答案：1,-1.2.选择题：1 1* ()设 f(X)COS ,贝y Xr 0 时，f(x)()x x(A) 是无界量，也是无穷大量；(B) 是无界量，不是无穷大量；(C) 不是无界量，是无穷大量；(D) 不是无界量，也不是无穷大量答(B)* (2 )当 X 1 时，(A)等于2;f( ) x -1-1(B)等于0；(C)为二;(D)不存在但不是无穷大答：(D)1(3) lim tanx arctan=ji(DpTx31(A) 0；(B)不存在；(近；*3.答

7、：AAX0x -1*4、当x x时，f(x)是无穷大，且lim g (x)二A，从定义出发证明 当x X。时，f(x) g(x)也为无穷大.证明：因为lim g(x)二A，所以由局部有界性定理可知3八 0AMA0,当 0 c X X。v?时，有 g(x) vM 1 . 又因为lim f (x) 二:，所以X0PM 0,萊 20，当0v|x_x|c 芬 2 时，有 fgAM+M- 任给M。令_x_i0 x-1取 6 =min(d,当 0 c x x 6 时，有f(x) g(x) f(x) g(x) (M MJ Mi=M 所以 x x。时，f(x) ? g(x)是无穷大.第 2 章(之 4) 第

8、5次作业教学内容： 2.2.4 极限的运算法那么 A-D 1. 选择题* ( 1)以下表达不正确的选项是A. 无穷大量的倒数是无B. 无穷小量的倒数是无C. 无穷小量与有界量的D. 无穷大量与无穷大量* ( 2)以下表达不正确的选项是A. 无穷小量与无穷大量B. 无穷小量与有界量的C . 无穷大量与有界量的D. 无穷大量与无穷大量穷小量；穷大量； 乘积是无穷小量；的 乘积是无穷大量。答(B)的商为无穷小量 ;积是无穷小量；积是无穷大量； 的积是无穷大量。* ( 3)当 X ; xo时，f(x)-A 是无穷小是lim f(x)二 A 的：()x -xo(A) 充分但非必要条件(B) 必要但非充分

9、条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分条件，亦非必 要条件答：C| ：/1 bx -1且 lim f(x) =3 ,x )0* (4)设 f (x) = ? x(A)b =3, a =3；(C)b =3, a 可取任意实数；(B) b =6, a =3；(D)b=6, a 可取任意实数。答:1 mlbx2 -9x a&x - 3lim 3x 1lim ;x 3 X 31 3 lim 2x -1 cos ；x 12x 1 lim X -2x 4 * * . X5 -32n22n1 x - ；; 1 X2(25)NRJ IJk；(6 ) lim &-怜-却2二(Xn二2?.(n是正解：1lim

10、x 1 3X -1lim 3x -1-=2 .23=6.lim 2x -1 = 0x .icos有界，2x -11 lim 2x -1 cosx22x-1-0.2.(5 )原式=lim (_-XT J1 +x 1、1X2-1)1 X -1=1-limX-0 求以下极限:且在X0的某去心邻域内g(x) = 0 , lim 卫刃二 A, f g(x)为什么? msKq)必等于0,*3.假设 limg(x)=0,XX0故 佃x/十門+*比=込匸“.即b=_ Tx2 -12解：lim f (x)=lim血XXoX JXQ g(x)*4设Xmix3 ax2X bx2 -1 x33,试确定a, b之值.2

11、ax x b解：因0iX2 -1二 31解:r limxf(x)-XXqX -X Q,f(xQ)lim f (x)X ； Xq*5原式=|jm |Xf(x ) xf(x) xf(x) x f (x)Xf x - Xqx - Xq=f(x。) -x f (Xq).第2章之5第6次作业教学内容：极限的运算法那么E 无穷小的比拟*1 .试求以下极限 lim(2)叫x P 1 2x解：1 1 l1+2x 丿四叫13x 1 73)=limx2lim (1x 03x)五=e6.*2 .试求f X二COSx的导数。3x1)丨x)(3) lim(1 3x)时。x )0112(1+2x 产2e3dx解:f X

12、pmCOSx-2sin x +XCosf0:x .: xSin - 2 2:xx皿叫X+GLXsin -2.lim匚 j |-sinLT 0时，1凶是无穷小量cos-是有界量，所以.f (x)在x = 0处可导？解:设 lim xT la2 +x2 (b -cosx)1 、(a 0)，试确定a, b之值(x) tan5x处可导，且9.设 f (X)=、试证明f (x) 5x (x t 0) *iiF 明： f(x)limx j0 x(x) tan5xtan5x (x) - ( 0)lim 2limx 0 xx j0 xIf (x)与5 乂为同阶无穷小(XT o时).(0) =5,*10.设 f

13、(x)=HM , (1 -e2x)x 其中(x)在 x=0 处可导，且(0)=0,求 lim f(x).解: lim f (x) =lim (x) 一(0) 八0 /八0sin x1-e2x*11.(1)假设当x X (某个定数)时，恒有f x岂g x乞h x，且lim-g x = A .X):_1 _Lx 处连续.*2 ?讨论函数f(x)=?*1 ?从定义出发证明函数jx 0解：lim f (x )= lim x sin1 =0 = f 0 , x二函数 f(x )在点 x =0 连续 .cosx计算极限2ax_1*3. f(x)=?x丿因当x 0a当,乂穴，在x=0处连续，那么，当 x =

14、 0tan (x-1)解：lim1.7 (arcsin x) 解: limtanx sin3* x xT=limx(arcs inx)x 0 时，有 1cosx tan x (1 一 cos x)30(arcs in x)2x , tan x x, arcs in x x所以x x 原式二 lim 3T x解:-e2xcosxe -e =e(cos x -1)cosx -1(e-答：-14 ?试利用极限四那么运算的性质，重要极限，等价无穷小，根本初等函数连续性及变量变换与极限过程改写等各种结果，求以下极限：2 tan(x -1)故原式=lim 22xT x2sin x42(e -1)1 x(1

15、 - cosx) In (1 x 2)兀x理叩丄込于二0,f x的连续性mx叮乩1 一2第2章(之7)教学内容： 234函数的间断点及其分类第8次作业*2.设 f (x)二_间断点；答案:1、无穷；X2 -X 1sin1，那么 x 一 1 是 f (x)的 x2 -1xX = 1是f(x)的间断点.2、可去；3、跳跃.间断点；x = 0是f(x)的*1 .函数x21y = 2 的间断占为x =1、2,那么此函数间断点的类型为(A.C=1,2都是第一类；B. x =1,2都是第二类;x =2是第二类；x=2是第一类.=1疋第一类，D.答：Cx =1是第二类， 函数可导与连续的关系 闭区间上连续函

16、数的性质 函数的和差积商的求导法那么*3 .对怎样的a值，点x = a是函数f x =x 4的可去间断点？x a一一 一 一一一一一 一x2 - 4解：函数在可去间断点处x = a极限必存在。由极限根本定理，设limA，那么必有x -ax2 -4 = A x - a : 亠 mx x - a时的无穷小ix暉 x2- 4 = a2 -4 ,另一方面，lim A x - a 亠x x - a丨-0。所以由 2 a-4二0得a =2。经验证，当XTx2 _42时，lim存在，故a = 2为所求.x a*4.if ： x =0, x =1, x在x = n(n 0, n e z)处,sirin=0,

17、lim f (x) =i故x二,2-, - 3二，是f(x)的第二类间断点；f (0)无意乂limf(x)=lim-x (x 二。一在x =0处,/r.x 二1处 f (1 -0)=sin 1,f(1而，1f).x =1是f (x)的跳跃间断点1叫 rFsx2x故x二0不是无穷间断点j0 x-1 sinx*5、指出下面函数的无穷间断点：f(x)=xsin x解：依题意，x=0及x=k二(k二1,_2 ,)是f (x)的间断点.而口 1 cosx1 cos(2k 兀一=limAx)x * -x(2k 二-x)乂 limlimx-2k二 xsinxx/A-xsin(2kA -x)而xa册f 2),

18、函数f (x)的无穷间断点为 x -，二3二，二5二，.*6 ?设y二f x在0,1】上连续，且0乞f x空1。试证：存在三0,11使f二成立.证：构造函数F x =f x - x，贝U F x 在 0,11 上连续。且 F 01= f 0 -0 _ 0 ,0,11 使 F)=0,F1 = f1 -1岂0。那么由闭区间上连续函数的零值定理知，必存在一个 即f ?二成立.证毕.0至少有一个不超过 a-b的正数根.且有F 0Fab =aAsinaLo，故由闭区间上连续函数的零值定理知必存在一个r : = (0,a b ，使得 F =0,即=asin :亠 b 证毕.*8.如果f x在区间a,b内连

19、续，捲：X2 :：:xn是该区间内任意n个点，试证明在a,b内至少存在一点？，使得f二口 ？电. n 证：因为函数f x在 吒公.二a,b上连续。由闭区间上连续函数最值定理有m = min f x , M 二 max f x .x1 _xAxriaian所以，X1xn : M .再由闭区间上连续函数的介值定理，知命题得证。证毕解：设 f (x) =x5 -3x -1，零值定理知至少存在一 点-(1,2),使f( )=0 即方程x5 -3x =1至少有一个根介于1和2之间？*10.假设f x在:；:-匚打;3 :上连续，且lim_f x = A，试证明f x在:,亠上有界.证明：依题意，取名=1

20、,次A 0,当X A X时，有f( X) A V 1，于是f(x)勻f (x) A+|A c1+|A .又当x兰X时，利用闭区间上连续函数的有界性定理，mM10,Wx el x,X 】，有 f (x)| 兰 M1，取 M = max(M 仆 1 + A)，那么在 (- ,址)上有f(x)兰M成立.*11.讨论*12.试问曲线在点1,1处是否有切线，为什么？试简单说明之解：没有。x,x :1limx 1 x 1I 2dX -1X -1即曲线在点1,1处没有切线2-x -12-X-1x -1上有f (x) =x(1 -x).讨论f (x)在x = 0处的可导性.*13.设f(x )在(：)上有定义

21、,在此定义域上恒有f (x ?1) =2f(x),且在解:0,1 讪止刃=1,x )0 xJ+(Oh lim 空 SO) x1x%1)仁(0) =lim -冥一jpf (x) -f (0)X=4im0 -*14.试确定式中 a,b之值，使f (x)处处可导:xe x : : 0,、ax + b, x 兰 0.解：；f(x)在0点处可导，所以必连续。f (0 -0) = lim f (x) = lim e x =1 ,八0 xJ0 f(00A lim f (X) = lim (ax b) =b ,xT 十 xTb =1e-b ef_(0) = limlim7 x 7 f/( 0) jimAA 心

22、 3 十 a = 1.*15.设 f (x) = x-a g(x),其中 g(x)在 x=a 处连续且 g(a) = O,讨论 f(x)在 x =a 处的g(x) =0x -a=limx_.a x -a连续性与可导性lim f(x)-f(a)解:*16.设u(x), v(x), w(x)在点x处可导。试证明：u(x)v(x)w(x)二 u (x)v(x)w(x) u(x)v (x)w(x) u(x)v(x)w (x).证明：左式 =(uv)w = (uv) w (uv)w 二(u vw uvw) uvw =右式.第2章之8第9次作业教学内容：243反函数的求导法那么 244复合函数求导法那么

23、245根本求导公式*1.求以下各函数的导数(1) y = cot x - cscx ；(2)secx丿 y 2;=xIn x y x(4) y 二 x(ex _ ln x)；(5)x I(6) y = ex (cosx sin x)；y = xe In x ； y =2x3-log se;(8) y = 2 tan x secx .(7)6x2 二;(6) 2ex cosx ；(8)2x In 2 tanx 2 x sec2 x secxtanx .解：(1)cotxcscx csc x ；1(3)-2(1 -l nx);x x(5) ex(xIn x In x 1)；secx(2) (xta

24、nx-2);x(x 1) ex 一 In x -1 ;2.求以下函数的导数：*(1) y 二 sin(3e2x 1)；y = In2sin(x 1);2cos(x+1)=cot (x+1).*(2)2x1 y、4 x -1 丫十3丿2(x+3) (2x 1)1 ix(x+3)2*(3)*(4)*(5)=4(2x-Q 6_2 X(x 3)52si n(x 1),1 - x2x(1 -X2)2128(2x-1)3(x 3)52x x-U)2v x*(6)y 二 ln(x 1 x2);_ 1;1 x22 2y =sin x sin(x )；解：y=cos(3e 2x 1) 3 e2x 2 =6cos

25、(3e 2x 1) e2x.解：y 二 sin2x sin(x 2) 2xsin2 cos(x2);*(8) 1y 二 arccos ;解: yxx2、x2 -1*(9) y 二 exsi ；3x解：y 二 eAx(_2sin cos);3 33*(10) yAarcta nA .x 1x21y (0)；23 5x为可导函数,(3) y =:21 n2 x ,求y (e)(4)y =:log 3COSX ,求y(：)(5)y =:(arcsin x) 3,求y ()2arctan dx(6)y =:e，求 y(1)解答:a、10#J 11 1(1)(3)1In 3y = f (sine x)

26、-3cosfg,求 y(x).3.求以下函数在指定点处的导数值解：(1) ，求(2) y = arctanex,求 y(0)*(2) 设 y = f (secx) sec( (tanx),其中 f(u), 解：y (x) =secxtanxf (secx) sec( (tan x)(u)为可导函数，求 y (x).92.3e；(5)- 184.*(1)设 f(u)f (x).2试讨论f (x)的可导性，并在可导点处求出-sec( (tanx) tan( (tanx) secx (tanx) f (secx).*5.设 f(x)=maxx .2x, x :0,当 xho,xhi 时，f(x) =

27、 1, Ovxcl,x2x, x1.二 2b(a).*6.设 f(x)二(a bx)(a 的值.解:x )0:(a bx) _ :(a)bxbx),其中(x)在(一有定义 且在x = a可导，求f (0)x(a _bx) _ :(a)bx7. *(1)解:11x(y) =x2*(2)设y二设x)具有连续的一阶导数1)求反申数的导数)=e(y).那么尸(x)L解：教学内容：246隐函数的导数及对数求导法 247由参数方程确定的函数的导数第2章(之9)1.*( 1)验证由方程xy-l ny=1所确定的隐函数y = y(x)满足方程y2 (xy 1)y、0.证明:二，两边同乘 y,得 y2 ? (x

28、y-1) y = 0.*设 y =y(x)由方程 exy sin (xy) = 丫确定，求 y (0).解: exy(y xy) (y xy)cos(xy) =y，*(3)解：xy(+yrlnx) + J当x = 1时，y =1,代入上式当x = 0A, y = 1,代入上式有y(0)=2.x(ln y-yA0， L | X =3,*(1)设ly =e cost = e21 sin tx确定了函数解:二y(x),求乎dx2tt2dy 二 e (2sint cost)二 e (2sint cost) dx d (cost 2t si nt2) (cost2 -2ts in t2)y*(2)设y

29、= y(x)由方程vX =1 t2t所确定,试求dx心.dx解：一=3t2,当dydt2tx =2 时，dydtt 4t =1, dt=2e2,dxdt 14=3,dy,x =dx2e2j-Xcost4.*(1)曲线L的参数方程为t贝U曲线L在t处的法线y = sin 2I 2方程为答 4x - 2y 1 =0 .x =1 七一 xcost* (2)试求由丿2y=t +t1所确定的曲线 y = y(x)在x = 0处的切线方程尼刀亠x = e xcost 1斤力解：由知当x = 0时，t=0, y=0 ,-dxt dxecost + xsm tdtdt ydt .dy21dx dt解：ln|y

30、l = _ln x +1| -2ln x -1 -n 5x2、y =t2 +ty _1y 3(x 1) x -153(5x_2)少=2 dxy(x -1)23 5x -2 |!3(x - 1)解:乂_11 y =2X x?+1+x2+ x2) Jsin x1 +xx21 cotx 4*(2)设 y = : e 交 J(x2 +i) Jsinx ,(0 ex成兀,求y*6.设函数 y = y(x)由方程(x + y)x* =3x+ 2y2所确定，试求dydx(x,y)M0,2)两边求导:将(0, 2)解：两边取对数(X -1)ln(x y) = In(3x ? 2y - 2),1 + yln(x

31、 y) (x 1)、x + y3 2y3x 2y _2点代入上式:1 + y 3+2y1 n 2 +亍二宁，可解得y(x,y?2)= 21 n2 - 2*7.证明曲线x32 2 2y3a3 (a 0)上任意点Po = (xo, yo)(xo= 0, yo = 0)处的切线在两坐证明：对曲线方程求导有得x =x3y3 3令x = 0，得y 0八y 3 y = 0y1 2M 二(x 加?,0)，1 2x(0,yiaA)，所以知曲线在p。点的切线斜率为，切线方程为:12 1 2区泊32仃汩32 =所以切线在两坐标轴间的线段长为 标轴之间的线段为定长.*8.求三叶玫瑰线x1 2)Ya3，1 2a -j

32、-r何，y oi x - X Xoasin(3巧(a切线与x轴的交点为切线与y轴的交点为0上对应于的点处的切线方程直角坐标形式 ).即k 切二 dydxlas in3R sin v坯3acos?si nv asi n3 cosvlasin 3cos 乂 3acos3 日cosT - asin3sin ?l解：三叶玫瑰线方程可写为x =asi n为cosOy =asin関sin 日 TT由于对应于的点的坐标为4a aP =所以切线方程为2 22x _4y a = 0 ?第2章之10第11次作业教学内容：2.5高阶导数*2.设y = fu,u= X均存在2阶导数试推导公式2 2 2d y d ydudyd u dx2 du2 idx 丿 du dx2解：由鱼二业型，得 d2y d dy d dy du _ dy dx2 dx dx dx du dx du dxdx dud du du dy dx dx dxdx du22dy d2u du du du_ du = dy