第2章 2.1 曲线的参数方程

1、.2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程1.理解曲线参数方程的有关概念.2.能进展参数方程和普通方程的互化.重点根底·初探1.参数方程的概念定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数，atb.*假如对于t的每一个值atb，*式所确定的点Mx，y都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点Mx，y，都可由t的某个值通过*式得到，那么称*式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数.简单地说，假设t在atb内变动时，由*式确定的点Mx，y描出一条曲线，那么称*式为该曲线的参数方程.2.参数方程与普通方程互化1曲线的参数方程和普通方程是

2、曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.2假如知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xft，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系ygt，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.考虑·探究1.曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数有什么实际意义？【提示】联络x、y的参数t，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.2.普通方程化为参数方程，参数方程的形

3、式是否惟一？【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适中选择参数，假如选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.自主·测评1.将参数方程为参数化为普通方程为A.yx2B.yx2C.yx22x3D.yx20y1【解析】消去sin2，得x2y，又0sin21，2x3.【答案】C2.把方程xy1化为以t为参数的参数方程是A.B.C.D.【答案】D3.曲线与x轴交点的直角坐标是A.0,1B.1,2C.2,0D.±2,0【解析】设与x轴交点的直角坐标为x，y，令y0得t1，代入x1t2，得x2，曲线与x轴的交点的直角坐标为2,0.【答案】C4.曲线t为参数与直线xy0

4、的交点坐标是 【导学号：62790009】A.5，5B.7，7C.5,5D.7,7【解析】将x12t，y23t代入xy0得t3，代入参数方程得x7，y7.【答案】B质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 类型一参数方程的概念曲线C的参数方程为为参数，0<2.判断点A2,0，B，是否在曲线C上？假设在曲线上，求出点对应的参数的值.【精彩点拨】将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解.【尝试解答】把点A2,0的坐标代入得cos 1且sin 0，由于0<2，解之得0，因此点A2,0在曲线C上，对应参数

5、0，同理，把B，代入参数方程，得又0<2，所以点B，在曲线C上，对应.对于曲线C的参数方程(t为参数)，假设点M(x1，y1)在曲线上，那么对应的参数t有解，否那么无解，即参数t不存在.再练一题1.曲线C的参数方程为t为参数判断点A3,0，B2,2是否在曲线C上？假设在曲线上，求出点对应的参数的值.【解】将点A3,0的坐标代入，得，解之得t2.所以点A3,0在曲线C上，对应参数t2.将点B2,2的坐标代入，得，即，此方程组无解.所以点B2,2不在曲线C上.类型二求参数方程在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进展投弹，投弹时，飞机离地面的间隔 h490 m，程度飞行的速度v100 m/s

6、.求炸弹投出后，弹道的参数方程.不计空气阻力，重力加速度g10 m/s2【精彩点拨】这是物理学中的平抛运动，选择时间t作参数，可将炸弹的程度方向和竖直方向的运动表示出来，从而建立弹道的参数方程.【尝试解答】如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O，以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系.设Px，y为炸弹在t s后的坐标，那么由题意可知因为h490 m，v100 m/s，g10 m/s2，所以，炸弹投出后，弹道的参数方程是0t7.1.本例选择时间t为参数，很容易将炸弹的程度方向和竖直方向的运动表示出来，给建立弹道的参数方程带来了方便，可见合理地选择参数是建立参数方程的关键.2.求轨

7、迹的参数方程的一般步骤是1建立适当的坐标系，设动点Px，y为轨迹上任意一点.2根据题意选择与动点P有直接联络的参数t.3根据轨迹条件求出x和y与参数t之间的函数关系，从而得到轨迹的参数方程，求轨迹的参数方程时，参数选的不同，得到的参数方程也不同，但化成普通方程后却是一样的.再练一题2.设炮弹的发射角为，发射的初速度为v0，求弹道曲线的参数方程不计空气阻力、风向等因素.【解】取炮口为原点，程度方向为x轴，建立坐标系如下图，设炮弹发射后的位置在点Mx，y，又设炮弹发射后的时间t为参数.由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得xOQ|OP|cos v0tcos .yQMQPMPv0tsin gt2

8、.即得弹道曲线的参数方程：类型三参数方程与普通方程的互化在方程a，b为正常数中，1当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线？2当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线？【精彩点拨】1运用加减消元法，消t；2利用平方关系sin2 cos2 1消参数，化成普通方程，进而断定曲线形状.【尝试解答】方程a，b是正常数，1×sin ×cos 得xsin ycos asin bcos 0.cos 、sin 不同时为零，方程表示一条直线.2当t为非零常数时，原方程组为22得1，即xa2yb2t2，它表示一个圆.当t0时，表示点a，b.1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法，第2问中利用了三角恒等变换消去参数.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.此题启示我们，形式一样的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.再练一题3.假设将题目中的条件，改为“以过点A0,4的直线的斜率为参数，试求方程4x2y216的参数方程.【解】设Mx，y是曲线4x2y216上异于A0,4的任意一点.那么kx0，ykx4k0.将ykx4代入4x2y216，得x4k2x8k0，或k0，k为参数.因此所求的参数方程为k0和真题链接赏析教材P34习题21T4设曲线的参数方程为，