第2章 2.4 一些常见曲线的参数方程

1、.2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程1.理解圆的渐开线和摆线的参数方程.重点2.理解渐开线与摆线的参数方程的推导过程.难点根底·初探1.摆线1定义一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M的轨迹称为摆线.2参数方程t是参数.2.圆的渐开线1定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之挪动，且绳的拉直部分始终和圆相切.绳的端点挪动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆.2参数方程t是参数.考虑·探究圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t的几何意义是什么？ 【提示】根据渐开

2、线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a是指基圆的半径，而参数t是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的AOB即是角t.显然点M由参数t惟一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a是指定圆的半径，参数t是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的详细情况.自主·测评1.关于渐开线和摆线的表达，正确的选项是A.只有圆才有渐

3、开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，假如建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同【解析】不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的本质是完全不一样的，因此得出的图形也不一样；对于同一个圆不管在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.【答案】C2.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是A.B.2C.12D.14【解析】根据条件可知圆的摆线的参数方程为t为参数，把y0代入可得cos t1，所以

4、t2kkZ.而x3t3sin t6kkZ.根据选项可知应选C.【答案】C3.半径为4的圆的渐开线的参数方程是_.【解析】将a4代入圆的渐开线方程即可.【答案】4.给出某渐开线的参数方程t为参数，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_，当参数t取时，对应的曲线上的点的坐标是_.【解析】与渐开线的参数方程进展对照可知，a3，即基圆半径是3，然后把t代入，可得【答案】，3质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 类型一求圆的摆线的参数方程一个圆的摆线过一定点2,0，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应

5、的圆的渐开线的参数方程.【导学号：62790014】【精彩点拨】根据圆的摆线的参数方程t为参数，只需把点2,0代入参数方程求出a的表达式，根据表达式求出a的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可.【尝试解答】令y0，可得a1cos t0，由于a>0，即得cos t1，所以t2kkZ.代入xatsin t，得xa2ksin 2k.又因为x2，所以a2ksin 2k2，即得akZ.又由实际可知a>0，所以akN.易知，当k1时，a取最大值为.代入即可得圆的摆线的参数方程为t为参数；圆的渐开线的参数方程为t为参数.类型二求圆的渐开线的参数方程有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程.【精彩点拨】直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可.【尝试解答】因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为.类型三圆的渐开线的参数方程的应用当t，时，求出渐开线上的对应点A，B，并求出A，B的间隔 .【精彩点拨】把t，分别代入参数方程即可求出相应两