刘三阳线性代数第二版第一章答案

1、第一章 矩阵及其应用习题解答本章需要掌握的是：1矩阵的定义，以及矩阵的运算加、减、数乘和乘法；2方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质；3逆阵的定义，以及逆阵的4条性质；4分块矩阵的运算规那么；5矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵；6三种初等矩阵，以及定理1.4左乘行变，右乘列变、1.5、1.6和1.7；7求逆阵的方法：定义法和初等变换法。1、 设方阵A满足2003A2=5A+16E，求(A-E)-1。题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即AB=BA=EA-1=B, B-1=A。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式如此题是2003A2=5A+16E多么复杂，只需要把该多项式配方成

2、“所求逆的表达式*配方后的因子=E即可，即此题是要配成A-E*(?)=E。解： 2003A2-5A-16E=0 2003A2-2003A+1998A-16E=0 %配出2003A可提取的A-E 2003AA-E+1998A-1998E+1982E=0 %配出1998可提取的A-E 2003A-E+1998A-E+1982E=0 %提取公因式A-E A-E2003A+1998E=-1982E %将只有单位阵的那一项移至等式右端 A-E2003A+1998E-1982=E %写成“AB=BA=E的形式 2003A+1998E-1982A-E=EA-E-1=2003A+1998E-1982 %由逆阵

3、定义可知稳固练习：教材第38页第13题2、 设A=1021，求Ak。其中k为正整数。题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算A2，A3，最多到A4，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。解：A2=10211021=102*21，A3=102*211021=102*31，因此推论Ak=102k1，用数学归纳法证明如下：1当k=1时，A=102*11成立；2假设当k=n-1时，上式成立，即An-1=102*(n-1)1，那么有 当k=n时，An=An-1A=102(n-1)11021=102*n1也成立。所以 Ak=102k1稳固练习：教材第41页二、填空题33

4、、 设A=E-uuT ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，uT 为u的转置，证明：1） A2=A的充要条件是uTu=1；2） 当uTu=1时，A是不可逆的。题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大局部知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行或一列的矩阵，题中有uTu=1即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量u1u2un。解：1充分性证明，即uTu=1A2=AA2=E-uuTE-uuT=E-2 uuT + uuTuuT %注意uTuuuT！uTu是个数，uuT是个n阶方阵uTu=1，A2=E-2uuT+uuT=E-uuT

5、=A 必要性证明，即A2=AuTu=1 A2=A,即E-2 uuT+ uuTuuT=E-uuT,化简得 uuTuuT- uuT=0 ，uTu是个数 % 是数就可以提取到矩阵外 （uTu） uuT- uuT=0，那么（uTu-1） uuT=0又u为非零向量，uuT0 uTu-1=0，即uTu=12反证法由1可知，当uTu=1时，A2=A，那么如果A可逆，有A-1A2=A-1A，那么有A=E，这与矛盾。所以A不可逆。稳固练习：教材第42页二、填空题154、 设A=1-201,gx=x2+2x-3,求gA。题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的多项式，要熟练掌握矩阵多项式的各项性质，尤其是多项式中的

6、常数项在矩阵多项式中必须乘以单位阵！否那么矩阵与数无法相加。解：gA=A2+2A-3E % 关键点在于常数项的变化！ =1-2011-201+21-201-31001 %简单的矩阵运算 =0-800稳固练习：教材42页二、第14题5、 设n维行向量=12,0,0,12,矩阵A=E-T,B=E+2T,其中E为n阶单位阵，求AB。题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵乘法，一般这种题型都是有简化的计算，不可能是一一代入求解，虽然这也能求出结果，但是计算量很大。所以通常解题思路是先把AB的表达式求出，看表达式里有何规律可寻。解：AB=E-TE+2T=E+T-2TT% 是行向量，那么要知道T是n阶方阵，

7、而T是个数T=12,0,0,12120012=12AB=E+T-2TT= E+T-2*12T=E稳固练习：教材第41页二、填空题16、 设3阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA ,求矩阵B，其中A=130001400017。题型分析：此类题型类似求解矩阵方程，考核的知识点主要是逆阵的定义与性质，尤其是对角矩阵的逆阵也是对角矩阵，其主对角线上的元为原对角矩阵主对角线元的倒数。解题思路是先将矩阵方程化简成所求矩阵的表达式，再代入具体矩阵求解。如此题中应将方程化成B=？。注意一般不会是一一代入求解，那样计算量就大了。解：A-1BA=6A+BA A-1BA-BA=6A % 第一步将含矩阵B的所

8、有项移到方程左端，其他移到右端。 A-1-EBA=6A % 想方法将所求矩阵B提取公因式因为A可逆，所以在方程两边同时右乘A-1，那么有 A-1-EB=6E又因为A-1=300040007，那么A-1-E=200030006是对角矩阵也可逆。 A-1-EB=6E的两边同时左乘A-1-E-1，有 B=6A-1-E-1 =6200030006-1=300020001 % 最终化成B=6A-1-E-1，再代入求解有多种解法，同学们也可以尝试在原式两边同时右乘A-1看看。稳固练习：教材41页二、87、 设A，B均为n阶对称矩阵，且矩阵A和矩阵E+AB都可逆，试证E+AB-1A为对称阵。题型分析：此题为

9、综合性题，考核的知识点即对称矩阵和逆阵的定义与性质，熟练掌握有关对称和逆阵的所有性质就容易求解此题。对称阵涉及转置，而题中又涉及到逆阵，所以一定会用到将逆阵和转置联系在一起的那条性质，即（AT）-1=（A-1）T。以及A+BT=AT+BT,ABT=BTAT, AB-1=B-1A-1等。一定要注意 A+B-1A-1+B-1 !证明：根据对称阵的定义，即要证明(E+AB）-1AT=（E+AB）-1A，将左式展开，有(E+AB）-1AT=AT(E+AB)-1T %转置的性质（AB）T=BTAT因为A，B均为对称阵，据定义有AT=A,BT=B，又（AT）-1=（A-1）T那么 AT(E+AB)-1T=

10、A(E+AB)T-1 =AET+(AB)T-1 %转置的性质（A+B）T=AT+BT =A(E+BTAT)-1 %转置的性质（AB）T=BTAT =A(E+BA)-1 % A，B为对称阵大局部同学卡在这里，怎样证明A(E+BA)-1=(E+AB)-1A呢？想方法把左式中的A移到括号前方，怎么移？逆阵性质里有(AB)-1=B-1A-1，因此将左式化成：AE+BA-1=A-1-1E+BA-1 =(E+BA)A-1)-1 =(EA-1+BAA-1)-1 %将A-1乘进括号 =(A-1+B)-1 =A-1(E+AB)-1 %把A-1当公因子提取至左端 =A-1(E+AB)-1 %仍利用逆阵性质(AB)

11、-1=B-1A-1 =(E+AB)-1A(E+AB）-1AT=（E+AB）-1A，根据对称阵的定义可知，E+AB-1A为对称阵。证明二：简写如下：（E+AB）-1A =（AA-1+AB）-1A= AA-1+B-1A = A-1+B-1A-1A =A-1+B-1E+AB-1A T=A-1+B-1T=A-1+BT-1=A-1T+BT-1=A-1+B-1=（E+AB）-1A所以（E+AB）-1A是对称阵。稳固练习：教材37页第7题8、1设A,B都可逆，求0AB0的逆； 2利用分块矩阵，求下面矩阵的逆。,其中ai0 (i=1,2,n)题型分析：此类题型考核的知识点是分块矩阵和逆阵的相关性质。第一小题只

12、要找到一个2*2阶的分块矩阵和0AB0相乘后得单位阵即可，可用初等变换法求逆，也可用定义求。第二小题很明显是第一小题的延伸题，根据第一小题的结论可以直接推出第二题的答案。解：1方法一：用定义假设有一2*2阶的分块矩阵MNLK，令MNLK0AB0=EOOE，那么展开有NBMAKBLA=EOOE % A,B为子矩阵，所以表示成EOOE，而不是1001。所以有NB=E,MA=O,KB=O,LA=E 又因为A，B皆可逆，那么A，B均不为零矩阵所以N=B-1，L=A-1；令M=O，K=O，那么 %这里不太严密的一点是AB=O,并不能说明A=O或B=O，所以我们令M=O,K=O0AB0-1=0B-1A-10 方法二：初等变换法OABO EOOEr1r2BOOA OEEO % 利用初等行变换 EOOE OB-1A-1O % 此处左乘了BOOA-1=B-1OOA-1对角矩阵的逆， 即B-1OOA-1BOOA OEEO=EOOE OB-1A-1O所以0AB0-1