洛必达法则使用中常见错误

1、洛必达法则使用中的5种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如:,00,1,00（其中后面3种可以通过Ae1nA进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则.伯努力在通信中告诉洛必达的。（L,HospitalRule）。虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。本文的目的不是为了追

2、求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。首先，复述洛必达法则的其中一种情形:Hospital Rule：1 lim f (x)x alim g(x) 0x a02在某U (a,)内，f (x), g (x)存在，且 g (x) 03 limfl x a g (x)存在（或者 ）lim f (x)x a g (x)画错误:lim1xexlimx 01(ex)limx 01ex') x1正确：lim xexx 0limx 01ex1limx 1ex (-)x1(-)xf(x)则limxag(x)不预处理失误二急躁蛮干例：错解Hm1x33x32

3、2xx4xlimxx16x22xlimqx112x-lim至2x1126x lim x 1 12x 2正确解：limx12xx33x22x4x33x23lim-2x16x2x4国：错解xecosxxsinxx_esinxlimx0sinxxcosxcosxcosxcosxxsinx正确解：limx0cosxlimXesinxxsinxx0sinxxcosx更好的解法：limx0xecosxxsinxxecosxlim2x0x2xelimx0sinx2x经验：先考虑无穷小代换（与“0”结合），后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算lxmo,211cosx

4、-xsin2x22/x2x(elim一2一一sinxxsinxcosx1)limsinx(sinxxcosx)sinx=lim一x0xcosx-3xxsinxlim2x03x失误三对离散点列求导西求Jimn/n0错解：属于型,先进行变形limnnn1limnnn1lnnlimennlimnelnnnlimne错误原因:f(n)Vn是离散的点歹U,系列孤立的点,连续都谈不上，更不用说可导。正确的解:limxxlimxxlim1一lnxexlnxlim一xxexlimxexxxx例6:错解:limx2xcosx3xsinxlimx2sinxcosx,因为limx2sinx不存在，所以lim3cos

5、x2xcosx不存在3xsinx正确解：limx2xcosx3xsinxlimx2cosxx&sinx3x失误五滥用导函数的疮丽国设f(x)在某U(0,)存在，且f(0)1,f(0)2求limx01f(x)错解：lim-x01口limf(x)x0f(x)17而错误原因：f(x)在x=0处未必连续。(选择题可以用此解法，这是一种策略)正确解：limx(xI01f(x)一1limx0f(x)1xlimx0f(x)f(0)f(0)x01一,-(导数定义)2阿同f(x)在x处二阶可导，求limf(xh)2f(x)一f(xh)h0h2f(xh)2f(x)f(xh)f(xh)2f(x)f(xh)乍

6、日斛1：lim2lim1lim f(x h) f(x)2 h 0hf (x h) f (x)hh0hh02h1limf(xh)f(x)f(xh)f(x)2h0h1=limf(x)f(x)=02h0错误原因：没有分清在极限过程中h和x谁是变量，谁是常量错解2：limf(xh)2f(x)f(xh)limf(xh)f(xh)h0h2h02hf(xh)f(xh)1=lim-limf(x)f(x)f(x)h022h0错误原因：二阶导函数未必连续，即：limf(xh)f(x)不一定成立h0注：由f(x)存在，但f(x)不一定连续，所以第2个等号后面不符合罗必达法则的条件f(xh)2f(x)f(xh)f(xh)f(xh)止确斛：lim2limh0hh02h=1limf(xh)f(x)f(x)f(xh)1limf(xh)f(x)f(xh)f(x)2h0h2h0hh1.=-f(x)f(x)f(x)(这是由导数定义得到的)2经验总结：与"0”结合，先验后导，摇摆失效一“验”有三个方面，按照需要判断优先级别L0ff3®不是C,2f(x),g(x)是不是可导3口lim一7;是不是一个确定的常数或者0g(x)对于侧重于计算的填空题和选择题，我们主要验证回，一般可以不必去验证团，3n的验证级别最低。这