高考数学平面向量与数列(命题方向把握+命题角度分析)

1、8平面向量线性运算及综合应用问题1(2012广东)若向量(2,3)，(4,7)，则()A(2，4) B(2,4) C(6,10) D(6，10)2(2012四川)设a，b都是非零向量下列条件中，使成立的充分条件是()Aab Bab Ca2b Dab且|a|b|3(2012浙江)设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()A若|ab|a|b|，则ab B若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|4(2012新课标全国)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.1高考一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及

2、其应用，向量的垂直、平移、夹角和模的运算，向量的几何运算等2平面向量作为工具在考查三角函数、平面解析几何等内容时常用到，属于中等偏难题1要理解平面向量具有两个方面的特征：几何特征和代数特征，可以认为平面向量是联系几何图形和代数运算的纽带，因此复习时要抓住平面向量的核心特征2由于平面向量在三角函数、平面解析几何中的工具作用，所以备考时要熟练掌握平面向量的基础知识.必备知识向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，

3、k)是直线l的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做b在向量a方向上的投影向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律ab运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即ab|a|b|cosa，b两非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab，abx1y2x2y10.abab0，abx1x2y1y20.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆必备方法1当向量以几何图形的形式

4、出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立3两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线一常考查平面向量的基本概念、线性运算、加减运算等基础知识同时，要加强三角形法

5、则、平行四边形法则应用技巧的训练和常用结论的记忆，难度以中低档为主【例1】 (2010湖北)已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3 C4 D5 (1)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量(2)有的问题可以采用坐标化解决更简单【突破训练1】 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_解析法一如图，11，|1|2，|1|4，42.6.法二以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)

6、，C(2 cos 30，2sin 30)，B(cos 120，sin 120)即A(1,0)，C(3，)，B，.由得，6.答案6二数量积是平面向量最易考查的知识点，常考查：直接利用数量积运算公式进行运算；求向量的夹角、模，或判断向量的垂直关系，试题较容易也常常与解析几何结合命制解答题【例2】 (2012临沂质检)如图，ABC中，C90，且ACBC3，点M满足2，则()A2 B3 C4 D6 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想【突破训练2】 (20

7、12重庆)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B. C2 D10三在近年高考中，三角函数与平面向量相结合来命制综合问题是高考考查的热点，三角函数的变换与求值、化简及解三角形等问题常以向量为载体，复习时应注意解题的灵活性，难度不大【例3】 (2012河北衡水调研)已知向量a(sin x，1)，b.(1)当ab时，求cos2x3sin 2x的值；(2)求f(x)(ab)b的最小正周期和单调递增区间解(1)由ab，得sin xcos x0，即tan x，cos2x3sin 2x.(2)因为a(sin x，1)，b（cos x，）ab（sin x

8、cos x，）f(x)(ab)b(sin xcos x)cos x(sin 2xcos 2x)sin（2x），所以最小正周期为.由2k2x2k，得kxk，故单调递增区间为【k，k】(kZ) 平面向量与三角函数结合的这类题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后利用三角函数基本公式求解【突破训练3】 在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos ，3. (1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值解(1)因为cos ，所以cos A2cos21，sin A，又由3，得bccos A3，所以bc5，所以SABCbcsin A2.(2)对于bc5

9、，又bc6，所以b5，c1或b1，c5，由余弦定理得，a2b2c22bccos A20，所以a2.【巩固练习】【练习1】 (2012北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_【练习2】 (2011新课标全国)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：p1：|ab|1；p2：|ab|1；p3：|ab|1；p4：|ab|1.其中的真命题是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4【练习3】 (2011辽宁)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2【练习4】 (2012天

10、津)已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R，若，则()A. B. C. D.1解析以，为基向量，设(01)，则，所以()()2011.又，所以()2101，即的最大值为1.2答案：A|a|b|1，且0，若|ab|1，则(ab)21，a22abb21，即ab，cos ab，；若|ab|1，同理求得ab，cos ab，故p1，p4正确，应选A.3解析设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则x2y21，ac(1x，y)，bc(x，1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc| ，法一如图，c(x，y)

11、对应点在上，而式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.法二|abc|，由xy1，|abc|1，最大值为1.答案B4答案A9等差、等比数列的基本问题本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大必备知识1.等差数列的有关公式与性质(1)an1and(nN*，)(2)ana1(n1)d.(3)Snna1d.(4)2anan1an1(nN*，n2)(5)anam(nm)d(n，mN*)；若mnpq，则

12、amanapaq(m，n，p，qN*)；等差数列an的前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列2.等比数列的有关公式与性质(1)q(nN*，q为非零常数)(2)ana1qn1.(3)Sn(q1)(4)aan1an1(nN*，n2)(5)anamqnm；若mnpq，则amanapaq；等比数列an(公比q1)的前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等比数列必备方法1运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算2深刻理解等差(比)数列的定义，

13、能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题3等差、等比数列的判定与证明方法：(1)定义法：an1and(d为常数)an是等差数列；q(q为非零常数)an是等比数列；(2)利用中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；aanan2(nN*)an是等比数列(注意等比数列的an0，q0)；(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列；(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B常数)an是

14、等差数列；Snmqnm(m为常数，q0)an是等比数列；(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可1.等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等【例1】 (2011江西)已知两个等比数列an、bn满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解(1)设an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2q)2

15、2(3q2)，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10.(*)由a0得，4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根，由an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.【突破训练1】 (2011广东改编)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k()A10 B12 C15 D20答案： 设等差数列an的前n项和为Sn，则S9S40，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70，而aka40，故k10.2.高考对该内容的考查主要是等差、等比数列

16、的定义，常与递推数列相结合考查常作为数列解答题的第一问，为求数列的通项公式做准备，属于中档题【例2】 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13，由Sn14an2，则当n2时，有Sn4an12.得an14an4an1.an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1，bn是首项b13，公比为2的等比数列，(2)解由(1)可得bnan12an32n1，.数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，所以a

17、n(3n1)2n2.【突破训练2】 在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn.证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn. (1)证明an12an2n，1.即有bn1bn1，所以bn是以1为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知bnn，从而ann2n1.Sn120221322(n1)2n2n2n1，2Sn121222323(n1)2n1n2n.两式相减得，Snn2n2021222n1n2n2n1(n1)2n1.3.从近几年的考题看，对于等差与等比数列的综合考查也频频出现考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上【例3】 (201

18、2石家庄二模)已知等比数列an的前n项和为Sn，a12，S1、2S2、3S3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列bnan是首项为6，公差为2的等差数列，求数列bn的前n项和 解(1)由已知4S2S13S3,4(a1a1q)a13a1(1qq2)，3q2q0，q0(舍)，或q，an2n1.(2)由题意得：bnan2n8，bnan2n82n12n8.设数列bn的前n项和为Tn，Tn3n(n7)n27n3. (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应用往往是破题的关键【突破训练3】 数列an为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列bn为等比数列，且a13，b11，数列ban是公比为64的等比数列，b2S264.(1)求an，bn；(2)求证：.(1)解设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有由(6d)q64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)证明Sn35(2n1)n(n2)，.递推数列及其应用递推数列问题一直是高考命题的特点，递推数列在求数列的通项、求和及其它应用中往往起至关重要的纽带作用，是解决后面问题的基础和台阶，此类题