高三数学空间向量与立体几何考点整合题型分类

1、空间向量与立体几何1 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同)(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法

2、向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，m，n即为所求二面角的平面角对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求如图所示，二面角l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角l的大小为或.1(用法向量判断平行或垂直)若平面、的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,7,3)，则平面与平面的位置关系是_2(空间向量平行的充要条件)若空间三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q2)共线，则pq_.3(异面直线

3、所成的角)如图431所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_图4314(空间向量的数量积)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_5(二面角)过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_6 (2012陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A

4、. B.C. D.7 (2013辽宁)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值题型一利用空间向量证明平行与垂直例1如图所示，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE.反思归纳(1)空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证(2)用向量法来证明平行与垂直

5、，避免了繁杂的推理论证，直接计算就行了，把几何问题代数化尤其是在正方体、长方体、直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷，但是向量法要求计算必须准确无误变式训练1如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点运用向量方法证明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.题型二利用向量求空间角例1 (2013郑州模拟)如图433，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.图433(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小反思归纳1、利用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：(1)建立恰

6、当的空间直角坐标系(2)求出相关点的坐标(3)写出向量坐标(4)结合公式进行论证、计算(5)转化为几何结论2利用空间向量求两异面直线所成的角，直线与平面所成的角的方法及公式为：(1)异面直线所成角(090)设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则：cos |cosa，b|.(2)线面角(090)设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则sin |cosa，n|.变式训练1如图，三棱锥PABC中，PB平面ABC.PBBCCA4，BCA90，E为PC的中点(1)求证：BE平面PAC；(2)求二面角EABC的余弦值变式训练2(2012课标全国)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，

7、D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小变式训练3(2013课标全国卷)如图434，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；图434(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值题型三 利用空间向量求二面角例3 (2013湖北高考)如图435，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点图435(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明(2)设(1)中的直线l与

8、圆O的另一个交点为D，且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为，求证：sin sin sin .反思归纳 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角其计算公式为：设m，n分别为平面，的法向量，则与m，n互补或相等，|cos |cosm，n|.变式训练1(2013浙江高考)如图436，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.(1)证明：PQ平面

9、BCD；(2)若二面角CBMD的大小为60，求BDC的大小题型四利用向量求空间距离例4 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC2，0，异面直线A1B与AC成60的角，点O、E分别是棱AC和BB1的中点，点F是棱B1C1上的动点(1)求证：A1EOF；(2)求点E到面AB1C的距离；(3)求二面角B1A1CC1的大小反思归纳求点面距的常用方法：直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解；等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离变式训练1如图所示，在四棱锥PABCD中，

10、底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC底面ABCD，且PBPC.(1)求证：ABCP；(2)求点B到平面PAD的距离；(3)设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角AlB的大小题型五 利用空间向量解决探索性问题例5 (2013长沙模拟)如图437所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点图437(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论反思归纳 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或

11、方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题变式训练1(2013潍坊模拟)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1，点D为AC的中点，点E在线段AA1上图438(1)当AEEA112时，求证DEBC1；(2)是否存在点E，使二面角DBEA等于60，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由典例(12分)如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，点D为BC的中点(1)求二面角APDB的余弦值；(2)在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出点M

12、的位置；若不存在，说明理由阅卷老师提醒(1)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是锐角还是钝角如果两个平面的法向量分别是m，n，两个平面所成的锐二面角的大小为，则cos |cosm，n|.在一般的二面角大小计算中要根据这个二面角的实际大小，确定其余弦值的正、负号的选取(2)探索性问题一定要写出结论1 在空间中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则异面直线AB与DC所成角的大小为()A45 B90 C120 D1352 在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A. B. C. D.3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a

13、，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定4 在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45 C60 D905 在一直角坐标系中已知A(1,6)，B(3，8)，现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后A、B两点间的距离为_6 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_专题限时规范训练一、选择题1 已知点G是ABC的重心，O是空间任一点，若，则的值为()A1 B2

14、C3 D42 若不同直线l1，l2的方向向量分别为，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是()A(1,2，1)，(0,2,4)B(3,0，1)，(0,0,2)C(0,2，3)，(0，2,3)D(1,6,0)，(0,0，4)3 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，ABPDa.点E为侧棱PC的中点，又作DFPB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为()A30 B45C60 D904 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A. B. C. D.5 已知a(1,1,0)，b(1,0,3)，且

15、kab与2ab垂直，则k的值为()A. B1 C. D26 如图，过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是() A30 B45C60 D907 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.a C.a D.a8 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，则下面结论错误的为()AACBDBACD是等边三角形CAB与平面BCD所成的角为60DAB与CD所成的角为60二、填空题9 到正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点：有且只有1个

16、；有且只有2个；有且只有3个；有无数个其中正确答案的序号是_10如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_11在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_12底面是正方形的四棱锥ABCDE中，AE底面BCDE，且AECDa，G、H分别是BE、ED的中点，则GH到平面ABD的距离是_13直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为_三、解答题13如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC