高考中的立体几何

1、高考中的立体几何高考中的立体几何考点考点 1 1：证明平行：证明平行：主要以线面平行或者面面平行为出题载体！：主要以线面平行或者面面平行为出题载体！解决办法：可以直接法和间接法！直接法：证明已知直线平行与面内的一条直解决办法：可以直接法和间接法！直接法：证明已知直线平行与面内的一条直线！间接法：证明面面平行来推出线面平行！证明面面平行则需加一步已知直线！间接法：证明面面平行来推出线面平行！证明面面平行则需加一步已知直线在该平面内！线在该平面内！考点考点 2:2: 证明垂直证明垂直：主要以线面垂直与面面垂直为出题载体！：主要以线面垂直与面面垂直为出题载体！解决方法：证明已知直线垂直面内两条相交直

2、线可以推出线面垂直，如证明面解决方法：证明已知直线垂直面内两条相交直线可以推出线面垂直，如证明面面垂直则需加一步证明已知直线在另一个面内！面垂直则需加一步证明已知直线在另一个面内！考点考点 3 3：点到平面的距离：点到平面的距离：主要以点到一个面的距离为出题载体！（多见与文：主要以点到一个面的距离为出题载体！（多见与文科）科）解决办法：解决办法： 绝大多数是用等体积法来求解，即先求出立体图形的体积在求出点绝大多数是用等体积法来求解，即先求出立体图形的体积在求出点到平面里的那个平面的面积最后建立等式求解！极少数是可以直接求出。到平面里的那个平面的面积最后建立等式求解！极少数是可以直接求出。考点考

3、点 4 4：线面角：线面角：主要以直线与面所成的角度出题！（多见于选择题）：主要以直线与面所成的角度出题！（多见于选择题）解决办法：解决办法： 构建三角或直角三角形利用正余弦定理求解前者，利用三角函数求构建三角或直角三角形利用正余弦定理求解前者，利用三角函数求见后者！在构造三角形时，常需要将直线平行平移到面上组建三角形！见后者！在构造三角形时，常需要将直线平行平移到面上组建三角形！考点考点 5 5：求体积：求体积：主要以求锥体体积为出题载体！（常见于文科）：主要以求锥体体积为出题载体！（常见于文科）解决办法：根据公式进行各未知量的求解进而应用公式求解！解决办法：根据公式进行各未知量的求解进而应

4、用公式求解！考点考点 6 6：二面角：二面角：主要以求二面角的大小或函数值为主要出题载体（常见于理：主要以求二面角的大小或函数值为主要出题载体（常见于理科）科）解决办法：解决办法：1.1.先构造二面角（先构造二面角（a.a.先找与两面都相交的直线是否有与两面的交线先找与两面都相交的直线是否有与两面的交线垂直如果垂直则直接向交线引垂线即可构造成功也是最简单的。垂直如果垂直则直接向交线引垂线即可构造成功也是最简单的。b.b.如果找不到如果找不到与两面相交的直线垂直与两面的交线时，则需寻找合适的与两面相交直线过与与两面相交的直线垂直与两面的交线时，则需寻找合适的与两面相交直线过与一面的交点引两面交线

5、的垂线在连接垂足与直线与另一面的交点，应用三垂线一面的交点引两面交线的垂线在连接垂足与直线与另一面的交点，应用三垂线定理构造二面角这个也是最常考的！定理构造二面角这个也是最常考的！c.c.需要平移与两面都相交的直线在应用需要平移与两面都相交的直线在应用 b b中的办法构造平移时多以中点平移或中位线平移出现，这类也是最难构造的二中的办法构造平移时多以中点平移或中位线平移出现，这类也是最难构造的二面角）面角）2.2.应用余弦定理进行求解应用余弦定理进行求解考点考点 7 7：球：球：这个的考法方式较多（选择题或填空题必出）这个的考法方式较多（选择题或填空题必出）解决办法：掌握大圆与小圆的性质，应用球

6、心到平面距离和球半径进行解题！解决办法：掌握大圆与小圆的性质，应用球心到平面距离和球半径进行解题！高考练习试题高考练习试题1.【2010浙江理数】设 ，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】可对选项进行逐个检查.本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题.2.【2010全国卷 2 理数】与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（ ）A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个C.有且只有 3 个 D.有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直

7、于于则分别作，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D.3.【2010全国卷 2 理数】已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为 a，则高所以体积，设，则，当 y 取最值时，解得 a=0或 a=4 时，体积最大，此时，故选 C.4.【2010陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，

8、则该几何体的体积是（ ）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为.5.【2010辽宁文数】已知是球表面上的点，则球的表面积等于（ ）A.4 B.3 C.2 D.【答案】A【解析】由已知，球的直径为，表面积为6.【2010全国卷 2 文数】与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（ ）A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个C.有且只有 3 个 D.有无数个【答案】D【解析】本题考查了空间想象能力.到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上

9、，三个圆柱面有无数个交点.7.【2010全国卷 2 文数】已知三棱锥中，底面为边长等于2 的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于F，连 BF，正三角形 ABC， E 为 BC 中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面 SBC，ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形边长 3， ，AS=3， SE=，AF=， .8

10、.【2010全国卷 1 文数】正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.方法一：因为 BB1/DD1,所以 B与平面 AC所成角和 DD1与平面 AC所成角相等,设 DO平面 AC，由等体积法得,即.设 DD1=a,则,.所以,记 DD1与平面 AC所成角为,则,所以.方法二：设上下底面的中心分别为；与平面 AC所成角就是 B与平面 AC所成角，.9.【2010全国卷 1 文数】直三棱柱中，若，则异

11、面直线与所成的角等于（ ）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】C 【解析】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.延长 CA 到 D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，.10.【2010全国卷 2 理数】如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为 45，求二面角的大小【解析】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力. 解：解法一：（I）连接 A1B，记 A1B 与 AB1的交点为 F.因为面 AA1BB1为正方形，故A1BAB1

12、，且 AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB1的中点，故DEBF，DEAB1.作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.又由底面ABC面 AA1B1B.连接 DG，则 DGAB1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD.所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线.（II）因为 DGAB1，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，CDG=45，设 AB=2，则 AB1=，DG=，CG=，AC=.作 B1HA1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C.又作 HKAC1，K 为垂足，连接

13、B1K，由三垂线定理，得 B1KAC1，因此B1KH 为二面角 A1-AC1-B1的平面角.11.【2010陕西文数】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形PA平面 ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F 分别是 PB,PC 的中点.()证明：EF平面 PAD；()求三棱锥 EABC 的体积 V.解：()在PBC 中，E，F 分别是 PB，PC 的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面 PAD,EF平面 PAD,EF平面 PAD.()连接 AE,AC,EC,过 E 作 EGPA 交 AB 于点 G,则 BG平面 ABCD,且 EG=PA.在PAB 中，AD=AB

14、,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.11.【2010江西理数】如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，.（1） 求点 A 到平面 MBC 的距离；（2） 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力.解：（1）取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OBCD，OMCD.又平面平面,则 MO平面，所以 MOAB，A、B、

15、O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E，则AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.OB=MO=，MOAB，MO/面ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等，作 OHBC 于 H，连 MH，则 MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得：.（2）CE 是平面与平面的交线.由（1）知，O 是 BE 的中点，则BCED 是菱形.作 BFEC 于 F，连 AF，则 AFEC，AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为.因为BCE=120，所以BCF=60.，所以，所求二面角的正弦值是.【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊

16、位置的元素解决.12.【2010安徽文数】如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H 为 BC 的中点，()求证：FH平面 EDB;（）求证：AC平面 EDB; （）求四面体 BDEF 的体积. 【解析】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.（1）设底面对角线交点为 G，则可以通过证明 EGFH，得平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明 FH平面 ABCD，得FHBC，FHAC，进而得 EGAC，平面；（3）证明

17、 BF平面CDEF，得 BF 为四面体 B-DEF 的高，进而求体积.【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. 13.【2010北京理数】如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面 BDE；（）求证：CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小. 证明：（I） 设 AC 与 BD 交与点 G.因为 EF/AG，且 EF=

18、1，AG=AC=1.所以四边形 AGEF 为平行四边形.所以 AF/平面 EG，因为平面 BDE，AF平面 BDE，所以 AF/平面 BDE.（II）（II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CEAC，所以 CE平面 ABCD.如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C-.则C（0，0，0） ，A（，0） ，B（0，0）. 所以，.所以,，所以,.所以BDE.(III) 由（II）知，是平面 BDE 的一个法向量.设平面ABE 的法向量,则，.即所以且令则.所以.从而.因为二面角为锐角，所以二面角的大小为.14.【2010 江苏卷文】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.(1)求证