浅谈向量在几何中的应用学士学位

1、浅谈向量在几何中的应用学士学位学号:XXXXXXX哈尔滨师范大学学士学位论文题目浅谈向量在几何中的应用学生XX指导教师XXX副教授年级XXXX级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目浅谈向量在几何中的应用学生姓名XX指导教师XXX副教授年级XXX级专业数学与应用数学XXXX年XX月XX日2 / 39浅谈向量在几何中的应用学士学位课题来源:题目自拟3 / 39浅谈向量在几何中的应用学士学位课题研究的目的和意义：作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就是“向量”的引入。它的目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具

2、性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这乂需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。我们发现向量在立体几何中有很大的用处：有关空间问题中的“三大角度”和“两大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途。4 / 39浅谈向量在几何中的应用学士学位国内外同类课题研究现状及发展趋势：向量进入中学数学教材，是近几十年来国内外教学改革的一个主要特征.向量引入立体儿何是数学课程改革的重点之一，它是一个具有几何和代数双重身份的概念，具有特别广泛的教育价值.它来解决部分立体几何问题，可以大大降低难度,激发学生的学习兴趣，有利于学生

3、在学习中获得成功的体验.教师在这一部分的教学中的难点和焦点在于：向量在立体几何中如何运用？如何在立体几何的教学中，正确处理好向量和传统方法的关系？怎样设计这部分知识的教学才能帮助学生更好地理解本部分的内容？4 / 39浅谈向量在几何中的应用学士学位课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：向量具有代数和几何双重身份，在几何问题的研究中起了重大的作用。本文主要研究向量在解决几何问题中的应用，如何用向量的知识解决几何中的“面积问题”、“两大位置关系”、“三大角”、“四大距离”的相关问题。在研究过程中发现有一些计算公式以及具体的叙述上有一些问题。于是通过阅读中学教材，翻看大量的数学刊

4、物，以及上网阅览向量在解决高中数学问题的论文，解决了在课题研究方面的困难。5 / 39浅谈向量在几何中的应用学士学位课题研究起止时间和进度安排：1. 2012.11-2012.12根据导师指导,查阅资料，确定研究题目。2. 2012.12-2013.01查阅资料，构思论文框架,填写开题报告。3. 2013.01-2013.02资料搜集及整理、归纳、分析.充分与导师进行沟通，完成论文初稿，并完成论文中期报告。4. 2013.02-2013.03对论文的二稿进行修改和完善，并完成论文的最终定稿。5. 2013.03-2013.04打印论文；撰写论文答辩提纲，完成论文答辩。6 / 39浅谈向量在几何

5、中的应用学士学位指导教师审查意见:同意开题指导教师（签字）年月教研室（研究室）评审意见:同意开题教研室（研究室）主任（签字）年月院（系）审查意见:同意开题院（系）主任（签字）年月学士学位论文题目浅谈向量在几何中的应用10 / 39学生XXXX指导教师XXXXXX副教授年级XXXX级浅谈向量在几何中的应用学士学位专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院11/39浅谈向量在几何中的应用学士学位哈尔滨师范大学XXXX年X月浅谈向量在几何中的应用XX摘要:在新一代的课改中，向量作为现代数学标志之一，已经进入了高中数学教材中。向量是沟通几何与代数的重要工具，促进了几何的代数化。有些几何问题用常规的几

6、何证明方法去解决往往会比较复杂，那么运用向量把“几何问题”转化为“代数运算”，会使解题过程大大的简化，同时也更容易理解，体现了数学中常提到的“数形结合”的思想。向量普遍用于处理平面几何中的“面积问题”，以及空间几何中“两大位置关系”、“三大角”、“四大距离关键词：向量平面几何空间几何向量在研究几何方面的作用从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，在18世纪末期人们运用复数的运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量来进行表示,人们利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样进入了数学。但是复数的利用是受限制的，一个复数所能对应的点只能在平面上，而向量却有平面

7、向量和空间向量之分。高中教材中引入向量的主要目的是为研究空间几何提供一种新的方法，它是一种非常强大的工具，它能将“几何形式”转化为“代数形式”，极大的促进了几何的代数化。但是要想用好向量只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想灵活运用又需要我们熟练的掌握它可以用来计算什么以及与向量有联系的知识内容，丰富知识网络，形成比较完善的“认知模块”、“知识体系”，在脑海中形成比较完善的知识链。首先，它可以用于研究“平行”和“垂直”两大位置关系，主要包括“线线平行”、“线而平行”、“线线垂直”、“线面垂直”。其次，它对于求''三大角"也有很好的应用，主要包括“线线角”、“线面角”“

8、二面角”19 / 39其中4 = 2 ,回=1 , 4与坂的夹角为三，求O这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数”正弦函数或余弦函数的定义”发生了对接一一对边或邻边就是斜边的向量在此边向量的投影，我们可以利用直角三角函数的定义来掌握向量在求“空间角”方而的应用。再次，它可以有效的计算“四大距离”，主要包括“点点距离”、“点线距离”、“点而距离”、“异面直线的距离”。最后，它还可以处理平面几何中图形的而积计算等。向量在平面几何中的应用例1.四边形48co是正方形，M是8c的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF(E在A3上)，若正方形而积为64,试用向量的方法求AAEM的面

9、积。解:如图，建立直角坐标系，显然EE是AM的中垂线，所以八是AM的中点。因为正方形的边长为8,所以M(8,4),N(4,2).设点E(e,0),则AM=(8,4)，AN=(4,2)»AE=(,0)o丽=(4一2),由说_L丽，W：ZW£7V=0o即：(8,4)(4-e,2)=0°解之：*=5,即1西=5。所以又的=；同喇=gx5x4=100例2.已知：=+否，AD=ab,平行四边形A3CO的面积。COS = V7,3解:网=口+q=而遹=f|2+M，+2琲同理：设薪与石的夹角为e.ABAD_(£+B)(L)_a-b_ff-ff_；2iC°S一

10、丽国一|网网一网国一网网所以sin6=Vl-cos20=二7所以S,i8c。=卜耳-|/l£>|-sin=2V3o向量在空间几何中的应用两大位置关系1 平行关系1.1 证明两条直线平行设直线乙的方向向量分别为。、，4=（内，）'1），方=（积%），若M乃一吃力=°，则乙与乙平行或者共线。例3:已知有两条直线分别为小I”右的方向向量Z=（5,6）,。的方向向量=（34）,试判断两条直线是否平行？解:因为5x43x6=2w0,所以两条直线4与/）不平行°1.2 证明直线与平面平行设直线/的方向向量为5,平面a的法向量为7,1、1是与a平行的两个不共线向量

11、，那么/a或/ua=存在两个实数2、/,使。=九匕+/八、oa“=0,例4：在正方体ABC。-A81GA中，河、N分别为G。、与。1的中点，求证：MN平而证明：方法1：如上图所示，以。为原点，DA.DC,所在的直线分别为工轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则可求得N（!1,l）,41,01），2 2115（1,1,0）,于是a/n=（5,o,5），设平而48。的法向量是G=（x,y,z），则/函=0,且=砺=0,一x+z=0所以4Ox+y=0取x=l,得y=-l,Z=-1»所以=（1,一1,一1）。又丽7=（1,0,）,（1,一1,一1）=0,所以诉，22又因为M

12、N2平面A8。，所以MN平面480。11111,方法2：因为MN=GN-CM=-C】Bi一一G。=一（24-A。）=一。A,2222所以丽区。又因为MN2平面ABD,所以A/N平面480。1.3证明平面与平面平行设平而&、/的法向量分别为可、啊，那么a夕或。与夕重合o%=存在实数f,使=?例5：在三棱柱ABC-48c中，侧棱垂直于底而，在底而ABC中448C=90°,。是BC上一点，且43面ACQ,3为8cl的中点，求证而力力.而AG。,证明：以B为原点，如图建立坐系，设A8=a,BC=2b,BB=c,则4a。,。），G（o,2,c）,所以2(0*,c),设。先,0)(0&l

13、t;儿<2b),所以A方=(-a,yQ,0),AG=(-a,2,c),BA=(c/,0,c),BD=(0也c),设面AG。的法向量为前=(K，x，zJ，则11>>I7AO=-aX+>0%=。且?AC；=eg+2/?y+c©=0,解得)，0=，ab所以"=S,a,一一)oc设面ABQ的法向量为=(x2,y2,z2),则-I*n-BA=ax1+cz2=0且BD】=by2+cz2=0°取z“=i，则人=一£，刈=一上，则=（一上,一£），abab所以=-三？，所以"7，ab所以而A18A面AG。2.垂直关系1 .1证

14、明两条直线垂直设直线/小乙的方向向量分别为Z和坂，那么/1L/2Oc；LBoZ/；=0，当。=（工1，凹），6=（如必）时，若夕=为凹+2=。，则a«L。例6：现有两条直线/1,4，4的方向向量为7=（1，-2）,，2的方向向量为3=（2,1），是判断两条直线是否垂直？解：因为B=lx2+（2）x（1）=4WO,所以6和人不垂直。2 .2证明直线和平面垂直设直线/的方向向量为？，平而a的法向量为，则/="/=?=4。若»>m=（知年,。），=（a2也g）,则/JLao7=力?04=An2,b1=Ab2,当b.,gWO时，in/n<>=oa,b,c

15、,.，例7：在棱长为1的正方体A8COAeGR中，E、尸分别为A8和8。的中点,试在棱用8上找一点M,使得平而£尸百。证明：分别以D4、DC、0A所在的直线为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(l。)，8(1,1)，C(O,1,。)，0(0,0/)，七(14,0)，2所以衣=(一1,1,0),又因为E、尸分别为AB、BC的中点，111所以七厂=一AC=(,0),2221.又因为用E=(0,一发一1),。幽=(1,1,7-1),由于_1_平面石/4，所以RM_L律且1BXE0即端.浮=0,如正山豆=0。-+(/?-1)0=022所以1,0-_+(1-/»)=

16、0所以"7=!02故取用8的中点M就能满足DM_L平而EFg。2.3证明平面与平面垂直n -匕=0一 9n - v2 = 0设平而a、4的法向量分别为、%，那么a-L尸_L2=2=0。若匕、彩是与a平行的两个不共线向量，7是平而夕的法向量，则n±v.aJ_/7=_on±v2例8：在如图所示的几何体中，四边形A88是正方形K4J_平面ABC。，PD/MA,E.G、尸分别为MB、PB、PC的中点，且AO=P£>=2/WA.求证:平面E/G«L平面P0C,证明：以A为原点，向量DA,AB,俞分别为x轴、yZ轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1

17、,AD=AB=PD=2,则8(0,2。),。(一2,2,0),。(一2,0,0),P(2,0,2),M(0,0,1).则E(OJ(),G(-l,l,l),F(2,1,1),所以，£G=(-l,0,-).G?=(-1,0,0)»2设平面的法向E/G量5；=&,)，,z),则.EG？=-x+z=0且GF-m=x=0。2取y=l,则x=z=0,所以蔡=(0,1,0)。易证平面PDC的法向量为DA=(2,0,0),因为m-DA=2x0+0x14-0x0=0,所以，m±DA.所以，平而E/G_L平而POC。三大角线线角。，。是两异而直线，A,Bea,C,Dwb,&q

18、uot;,人所成的角为夕，则有浅谈向量在几何中的应用学士学位*IABCDcqsO=cos<A8,CD>ri-iJ9所以。=arcco:1H-MABCD网同。解：因为丽？=您+硒，CN = CB + BN 9例9：在棱长为1的正方体ABC。45GA中，M，N分别为和84的中点,那么直线AM与CN所成的角是多少？AMGV=(A4+4M)(C8+8/V)=ABN=-.V52又因为同理可得：设AM与CN所成的角为。，则cose =AM-CNAM - CN2 - 5=1 - 2-4 - 5所以a=arccose线面角设直线/的方向向量为？，平面2的法向量为，则/_Lao机o机=几，例10：如

19、图，正三棱柱浅谈向量在几何中的应用学士学位48。一4与G的底边长为。，侧棱长为四。，求AG与侧面所成的角。解：根据正三棱柱的性质，建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,00),8(0,仆0),4(0,0,、历a),q(-«,pV2«)o22取A片的中点M,则连AM,MG，则有酝=(-J。)，而=(。,/。)，M=(0Aa/2«)o2由于函施=0,函菽=0,所以用G，平面A84A，所以N£AM是AC1与侧面48所成的角6。因为诵=(亘Xa/=(0,-,V2«),222所以怒;.莉=0+土+2(J=匕44而匹卜小百包?=岛，前=柠+2=|,V39

20、,_cr所以cos后疝=瓜222所以近,前=30°,即AG与侧面4B8出所成的角为30二二面角设平而,4的法向量分别为,2，则/O%,2=0。例11：已知AC,平面88,且AC=8C,DB=DC,DB1DC,求二面角解：过C作CE_LA8于E,过。作。F_LA8于尸，则二面角CA8-0的大小等于向量5与方的夹角大小。令AC=8C=2,由AC_L平面BCD,CEIAB知E为A8的中点，且=由08=OC,DB上DC,知DB=DC=y,由三垂线定理知：DBLAD又因为A3，所以=BF=YdB、DF2=i'（7£）2_（E）2=U，222BE=后,从而尸为3石的中点。如图建

21、立空间直角坐标系，则C(0,0,0),E(01J),B(0,2,0),31F（0,-,-）»O（UO）,所以而=（o,i,i）,5f=（-i1l）0乙乙nlCEDF1V3则cos<CE,DF>=_=o|ce|-|df|V3339 / 39J3所以<CEDF>=arccos,3即二而角CA8-。的大小为arccoU上。3四大距离两点间的距离例12：在60的二而角a-/一4中和4,且48=10,求。的长度。解:如图所示，作AC_U,BD1/,则AC=2,50=4,且ACCD=0,BDCD=0.又因为记丽=60°,所以，vAC,O8>=120二因为,

22、网-=港+而+而产=|Xc|'+|cd|+|5b|'+2Xc-cd+2Xc.5b+2cd-5b=4+|cB|+16+16cosl20e=i2+|cb|'国2=10012=88。即：8的长度为2、历。点与线之间的距离例13：设尸为矩形488所在平而外的一点，直线PA垂直于平面外的一点，直线PA垂直平面ABC。，A8=3,BC=4,PA=,求点P到直线8P的距离。2解：因为|即西=卜而+衲（就+而）=耗=9,BD=5,9所以8P在3。上的射影长为彳，又因为,4=厢，所以，点尸到直线80的距离4="0-（？）2=点与平面之间的距离例14：如图，在直三棱柱ABC-4与

23、G中，底面是等腰直角三角形，a4c8=90°,侧棱AA=29D,E分别为eq与A/的中点，点E在平而A8O上的射影是AA8O的重心G,求点A,到平面A"的距离。解：如图，以ca,cb,cg分别为x轴，轴，z轴建立坐标系，设C4=3a,则A(30。)，4(3”,0,2),8。3,0),0(0,0/)，133一)，E(一一4,1)°322112所以GE=(,DB=(0,3«1)o乙乙J因为EG_LA8，I1q,所以无。至=(4,二)(0,3。,-1)=二。2二=0,22323解得：=-O所以有以(2,0,0),£)(0,0,1),E(l,l,l)o

24、因为瓦立=(1,1,0)-<-1,1,1)=0,DEA=(1,1,0)-(0,0,2)=0,所以£)E_L平而A1A£,平面平面A0£,AE为交线，4到直线AE的距离”=冈丽即：4到平面AEO的距离为2、石。两异面直线的距离例15：己知正方体48coA4GR的棱长为1,求异面直线44,与3的距离。解：取A4,的中点M,8的中点。，连接0M,BA，则西=函+而=丽+怒+丽，AO=AB+BO,*11*AO=-ACl=-(AB+AAi+AlD).IillAM=-AAi,MO=AOAM=(AB+AA)，229IQMO,BD=(A8+4A)(8A+A4+AQ1)=0,

25、2所以，MO±BDo，.I.又因为moA4=5(A8+42)aa=o,所以MO为44,与3A的公垂线。所以函2+丽产=；（研+2薪而+丽） =1（1+。+1）即:所以，异面直线AA与8的距离是日。用向量法解决几何问题的一般步骤用向量法解决几何问题有两种方法：一种是用向量的代数式运算；另外一种是通过建立空间坐标系，用向量的坐标来运算。一般来讲，用向量坐标运算，思维量更小，运算技巧更低，更容易掌握，因此这是我们经常用的方法。如果所给的图形不容易建立空间直角坐标系,我们可以用向量的代数运算来解决问题，但需要我们付出大量思维以及运算量，对学生的逻辑推理能力要求比较高。用向量坐标运算解题步骤：

26、（1）建立空间直角坐标系。注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线，也尽量找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直，按右手系建立坐标系。注意所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致。（2）写出需要用到的相关点的坐标。注意要仔细再仔细，此步若错，全题皆错。（3）写出所要用到的相关向量坐标。注意必须终点坐标减始点坐标。（4）通过计算解决具体问题。注意运算公式要用对，计算要仔细，以免结果错误。参考文献：1刘八芝：向量在中学数学教学中的应用J,镇江高专学报2003年第2期。2邹立佩：直线、平面位置关系证明题的教学J,密山县考试周刊2003年第1期。3刘晓瑜：用空间向量法求角的问题研究J,

27、高中数学教与学2004年。4赵春祥：用空间向量法求距离的问题研究J,中学数学研究2004年。5张萍：浅谈用向量法解立体几何题J,中学数学研究2004年。6周钟光：空间距离的向量求法J,中学数学研究2005年。7郭健：解析几何方法与应用M,天津科学技术出版社1998年。APPLICATIONOFVECTORINGEOMETRYXXXAbstract:Inthcnewcurriculumreformofmathematics.asnowoneofthesignsofvectorhasenteredthehighschoolmathematicstextbooks.Vectoralgebraandg

28、eometryisaniniportanttoolofconimunicatioiKproinotethegeometricalgebra.Soniegeonictricproblemswithconventionalproblemsolvingmethodtosolveareoftenmoreconiplicatcd,sothcuseofvectorthegeonietryprobleniistransformedintoalgebraicoperationsAvillmaketheproblemsovlingprocessisgreatlysimplified,enibodiesthemathematicsMthcnumbershapeunionthoughtH.VectorcommonofprocessingplanargeoinetnqnHaera'aswellasinlhegeomctryofspace”lwoposition”,"threelarge”Jfourdistance”.Keywords:vector;planegeometry论文评阅人意见M(W期浅谈向二:在几何中的应用作者