浙江专版高考数学一轮复习第七章立体几何学案

1、浙江专版高考数学一轮复习第七章立体几何学案第七章立体几何1.简单几何体空间几何体的结构特征及三视图与直观图斗侬=盼牛画鱼画图印£31必过教材关(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形二.4H17Aif底向互相平行且相等多边形互相平行侧棱平行且相等相交一点,但不f相等延长线交一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形1UII1g虱囱母线互相平行且相等，垂直于底囿相交一占延长线交于,点轴截回全等的矩形全等的等腰三角全等的等腰梯形嫁侧面展开图矩形扇形扇环-2 .直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x&

2、#39;轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直.原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3 .三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等.画法规则：正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线._小题体验1 .若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的

3、高和底面边长分另I为()二口if视图侧辄图伟视图19B. 272, 2D. 2,4A.2,2'3C.4,2解析：选D由三视图可知，正三棱柱的高为2,底面正三角形的高为不，故底面边长为4,故选D.2.(教材习题改编)如图，长方体ABCDA'B'C'D'被截去一部分，其中EH/AD',则剩下的几何体是,截去的几何体是.答案：五棱柱三棱柱上必过与错关1 .台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2 .空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3 .对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中

4、，易忽视实虚线的画法.小题纠偏1 .如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A. AB=2,AB=3,BC=3,BC=43B. AiB=1,AB=2,BC=2，BC=3,AiG=2,AC=33D. AB= A1B1, BC= BG, CA= CA解析：选C根据棱台是由棱锥截成的，可知AiB BC ACab="Bc=7Ac,故A, B不正确,C正确;C. AiB=1,AB=2,BC=2，BC=3,AiG=2,AC=4D项中满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故D不正确.2 .用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（B.解析：选B俯视图中显然应有一个被

5、遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选3 .（教材习题改编）利用斜二测画法得到的三角形的直观图-一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形;菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的个数是.解析：由斜二测画法的规则可知正确；错误，是一般的平行四边形；错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误.考点一空间几何体的结构特征基础送分型考点一一自主练透题组练透1 .用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A,圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体.2 .给出下列

6、几个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析：选B不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.3.给出下列命题:棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱;存在每个面都是直角三角形的四面体.其

7、中正确命题的序号是.解析：不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDABCD中的三棱锥C-ABC四个面都是直角三角形.答案：谨记通法解决与空间几何体结构特征有关问题的3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型;(3)通过反例对结构特征进行辨析.考点二空间几何体的三视图重点保分型考点一一师生共研典例引领

8、1. (2018东北四市联考)如图，在正方体ABCDABCD中，P是线段CD的中点，则三棱车BRABA的侧视图为()止里解析：选D如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P-ABAB(C)点均消失了,其余各点均在，从而其侧视图为D.2. (2018杭州模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()解析：选B由正视图可看出长为2的侧棱垂直于底面，侧视图为直角三角形，直角边长为2,另一直角边为底边三角形的高、/3.故侧视图可能为B.由题悟法1 .已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在

9、投影面上的实虚.2 .已知三视图，判断几何体的技巧(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.提醒对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.即时应用1. (2018沈阳教学质量监测)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图

10、可能是（）解析：选B根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B,故选B.2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是止树图的现图解析：选D由俯视图是圆环可排除A、B、C,进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.考点三空间几何体的直观图重点保分型考点一一师生共研典例引领（2018杭州模拟）在等腰梯形ABCDK上底CD=1,腰AD=CB=啦，下底AB=3,以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图AB'CD'的面积为解析：画出等腰梯形ABCD的实际图形及直观图ABCD'如图所示，因为OE2122-12=1,1所以。

11、E'=2，E'所以直观图A B'C D'的面积为S，=2x(1+3)X答案：22由题悟法原图与直观图中的“三变”与“三不变”坐标轴的夹角改变(1) “三变”与y轴平行的线段的长度改变减半图形改变平行性不变(2) “三不变”与x轴平行的线段长度不变相对位置不变即时应用如图，矩形OABC'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA=6cm,O'C'=2cm,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形解析：选C如图，在原图形OABCK应有OD=2OD'=2X2取=41f2cm,CD=CD'=2cm.OG=&qu

12、ot;D+CD4陋2+22=6cm,，OAfoc故四边形OABO菱形.。雍微一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 .某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是（）|;解析：选D几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能.2 .下列说法正确的是（）A.棱柱的两个底面是全等的正多边形B.平行于棱柱侧棱的截面是矩形C. 直棱柱?正棱柱D. 正四面体?正三棱锥解析：选D因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中正棱柱?直棱柱，故A、BC都

13、错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确.3 .某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）侧觇图B.四棱锥D.三棱台A.三棱锥C.四棱台解析：选A因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥.4 .在如图所示的直观图中，四边形O'AB'C为菱形且边长为2cm,则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO勺形斗犬为,面积为cm2.解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4cm,宽为2cm的矩形，所以四边形ABCO勺面积为8cm2.5.已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意

14、选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：矩形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；两个面都是等腰直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是.解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图，ABCDABCD,如图，当选择的4个点是B,B,C,C时，可知正确;当选择的4个点是B,AB,C时，可知正确；易知不正确.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1.（2018台州模拟）一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为B.圆D.直角梯形A.正方形C.等腰三角形解析：选D该几何体是一个长方体时，其中一个侧面为正方形，A可能；该几何体是个横放的圆柱时，B

15、可能；该几何体是横放的三棱柱时，C可能，只有D不可能.2.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是ABC勺BC边中点，ABBC分别与y'轴、x'轴平行，则三条线段ARAQAC中（）A.最长的是AB最短的是ACB.最长的是AC最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AC最短的是AD解析：选B由条件知，原平面图形中 ABJ± BC从而A氏A* ACC.四棱柱D.四棱锥个解析：选B根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱.4.（2018 温州第八高中质检）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2,且侧棱AA，平面ABC,

16、正视图是边长为 2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（A. 4C. 2 2解析：选BB. 2：3D. ；3由题可得，该几何体的侧视图是一个长方形，其底边长是底面正三角形的高高为2,所以侧视图的面积为 S= 23.5.已知四棱锥P-ABCD勺三视图如图所示， 则四棱锥P-ABCD勺四个侧面中面积最大的是正视图僻押留A. 3B. 2 ；5C. 6D. 8解析：选C四棱锥如图所示，取 AD的中点N, BC的中点M连接1PM PN 则 PM= 3, PN= 55S S/ PAD= 2X4X- ;5=2-;,5,1Sa pab= SLpdc= X 2X3= 3 ,Sa pbic= -X 4X3= 6.2所

17、以四个侧面中面积最大的是6.6.（2018 台州模拟）如图所示，在正方体ABCDA1BCD中，点E为棱BB的中点，若用过点 A, E, C的平面截去该正方体的上半部分，则剩余剩余几何体的侧视图为选项C.E. C的平面即为面AEGF,所以7 .设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是.解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的.答

18、案：8 .一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm,则这个圆台的母线长为cm.解析：如图，过点 A作AC!OB交OBT点C.在 Rt ABO43, AC= 12 cm, BC= 83= 5 (cm) .AB= #22+ 52 = 13(cm).答案：139 .已知正三角形 ABC勺边长为2,那么 ABC勺直观图4 A B C'的面积为 解析：如图，图、图所示的分别是实际图形和直观图.从图可知，A B' =AB= 2,O, C =触坐C D'=。C sin 45=*呼邛. ,1 ,1' ;6 ' ''6所

19、以S a B，c=aA B , C D = 2x 2X 4 = 4答案：T410 .已知正三棱锥 V-ABC勺正视图、侧视图和俯视图如图所示.情视图(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积.解：(1)直观图如图所示.BC= 2 .3,(2)根据三视图间的关系可得侧视图中YA=版 X2#=6.1SSavbc=X2三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（&&E正程阳恻期图A. 8C. 6俯视图B. 7D.52. （2018 湖南东部六校联考）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的

20、四个面的面积中，最大的面积是（）iEftPf：解析：选C画出直观图，共六块.B.D.1SL pab= Sa pac= 2A.4：3C. 47解析：选C设该三棱锥为P-ABC其中P叱平面ABCP"4,则由三视图可知ABC.一1是边长为4的等边三角形，故PB=PC=42,所以SLabc=-X4X23=43,1X4X4=8,Sapb。2X4><q472222=4巾，故四个面中面积最大的为C.3.如图，在四棱锥P-ABCDK底面为正方形，PC与底面ABC而直,下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形.正视图M程图(1)根据图中所给的正视图、侧视图，

21、画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积;(2)求PA解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图,其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD=7PC+CD2=62+62=62.由正视图可知AD=6,且ADLPD所以在RtAAPD,PA=pD+aD=y6）22+62=63cm.空间几何体的表面积与体积2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底1V=zSh3台体(棱台和圆S表面积=S侧+S上+S下V=（5上+5下+M5上S下）h3台）S= 4 兀 R小题体验1 .如图是由圆柱与

22、圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.20兀D. 32 兀C.28兀解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为1,圆柱图为h.由图得r=2,c=2%r=4%,h=4,由勾股定理得：l22+2yJ32=4,S表=兀2+ch+2c1=4兀+16兀+8兀=28兀.2 .（教材习题改编）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2,高为43的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h=3,所以该几何体的体积V=S-h=2X2X小X3=3娟答案：333 .若球O的表

23、面积为4k,则该球的体积为解析：由题可得，设该球的半径为r,则其表面积为S=4兀产=4兀，解得r=1.所以其兀 4 13=3r兀4 - 3g一4答案：3兀必这易错关1 .求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错.2 .由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.3 .易混侧面积与表面积的概念.小题纠偏1 .(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为,球的表面积与圆柱的侧面积之比为.答案：2：31：12 .若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是.救幌图解析：由三视图可知，该几何体由一个正四

24、棱柱和一个棱台组成，其表面积S=3X4X2+2X2X2+4X2镜X2+4X6+2X(2+6)X2X2=72+1672.答案：72+162占占营°自总奥%耶皿制8网细K倒崎啪鹿考点一空间几何体的表面积基础送分型考点一一自主练透1 .某儿何体的二视图如图所不，则该儿何体的表面枳等于A. 8+2/B. 11 + 2-72C. 14+2 /D. 15解析：选 B由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、 示.(U U正视图侧例曲7他视图卜底面为直角梯形，如图所题组练透2A 1 H直角梯形斜腰长为W+12=W，所以底面周长为4+木，侧面积为2X（4+/）=8+12市,两底面的面积和为2*2*1*

25、（1+2）=3,所以该几何体的表面积为8+2/2+3=11+2；2.2. （2018浙江新高考联盟高三期初联考）如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）31A.34+6/B.44+1245C.34+6*D.32+也解析：选A由三视图知几何体底面是一个长为6,宽为2的矩形，高为4的四棱锥，所1,11以该几何体的表面积为2X6X25+2X6X4+2X-X2X5+6X2=34+65,故选A.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线是一个棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为（）A. 6+4/+2班B. 8+4小C. 6+6/D. 6+22+473P- ABCD Sapab解析：选A由三视图可知

26、该棱锥为如图所示的四棱锥=S»APAD=S»APDC=2*2X2=2,S»APBC=X22X22Xsin60。=2/3,S四边形ABCD=2-；2X2=4,'2,谨记通法故该棱锥的表面积为6+4:2+2-,-3.几何体的表面积的求法（1）求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点.（2）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积.注意衔接部分的处理.考点二空间几何体的体积重点保分型考点一一师生共研典例引领1 .（2

27、018金华高三期末考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）22A.3C4,2C.3解析：选D由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,其直观图如图所示.底面ABCD勺面积为2X2=4,高PO=布,故该几何体的体积V=4X，3=4g.332 .（2018宁波十校联考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于表面积等于晌视圉解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2,高为3的圆柱的一 1。半，故该几何体的体积为 X兀X2 2X3=6% ,表面积为 2xx 兀 X2 2+4X3+兀 X 2X3=10兀+ 12.答案：6兀12+10兀由题悟法有关几何体体积的类型及解题策

28、略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面枳和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解即时应用1.（2018西安质检）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A.一D. 37C.3解析：选A根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如

29、图所示.则该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+V三棱锥=1x2X1X1+1X；X2X1X1=4.23232.（2018杭州高级中学模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.11C.23D.4解析：选C由题可得，该几何体是一个四棱锥，底面是上下底边分别为1和2,高为1的直角梯形，又四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为V=1X1X（1+2）X1X1=1.3223.（2018温州高三一模）如图，一个简单几何体的三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积为,表面积为解析：如图，还原三视图为正四棱锥，易得正四棱锥的高为一：32，底面积为1,体

30、积V=1x1x3=3；易得正四棱锥侧面的高为3262+2=1,所以表面积S=4XX1X1+1=3.22'2答案：336考点三与球有关的切、接问题题点多变型考点一一多角探明锁定考向与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变.常见的命题角度有：（1）球与柱体的切、接问题；（2）球与锥体的切、接问题.角度一：球与柱体的切、接问题题点全练1.已知直三棱柱 ABCABG的6个顶点都在球 O的球面上，若 AEB= 3,AO 4, A- ACAA= 12,则球O的半彳空为（）B. 2 1013D. 3 10解析：选C如图，由球心作平面 ABC勺垂线，则垂足为 BC的

31、中点M151 5 o o 13又 AM= BC= 2，OM= 2AA=6,所以球 O的半径 R= OA= 2 2+ 62= -2.2 .如图，已知球O是棱长为1的正方体 ABCDABCQ的内切球，则平面ACDtO的截面面积为（）解析：选C平面ACDO5O的截面为 ACD的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC= CD = AD=/，所以内切圆的半径r=¥2xtan30°，211所以S=兀 r = ttX _6 6角度二：球与锥体的切、接问题3 . （2018 绍兴质检）四棱锥P-ABCD勺底面ABC虚边长为6的正方形，且 PA= PB= PC=PD若一个半径为1的球与此四棱

32、锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）A. 6B. 59C.29解析：选D 过点P作PHL平面ABCDF点H由题知，四棱锥F-ABCD 是正四棱锥，内切球的球心 O应在四棱锥的高 PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点. 设PHH=h,易知RUPMORtAPHF5所以瞿POO即=-h12,解得h=-9.FHPF3Jh+S244. （2017全国卷I）已知三棱锥S-ABC勺所有顶点都在球0的球面上，SC是千O的直径.若平面SCAL平面SCBSA=ACSB=BC三锥S-ABC勺体积为9,则球0的表面积为.解析：如图，连接AO0B SC为球0的直径，

33、点0为SC的中点，.SA=ACSB=BC,.ACLSCB0LSC, 平面5。N平面SCB平面SCAO平面SCB=SC .A0L平面SCB设球0的半径为R,贝U0A=0B=R,SC=2R Vs-abc=Vvsbc=_XSasbcXA0311=3-x2xSCx0BXA0r11-即9=oX-X2RXRxR,解得R=3,32.球0的表面积为S=4兀R=4ttX32=36兀.答案：36兀通法在握解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是:小、工面反江H万氏海石逋而近的南西和至正汇中翦;丝叫一!如果是外接竦,球心到接点的距育相等日为半轮;T5r）nM

34、BiMBinBnaiBMMaomMMaMMBik7选准最佳角度作出截而1委使这个戴面尽可第多的:件截面礼金球，几何体的各种元素以抵体现这些无肃向1的关系达到空间时翻平面化的目的0反谣L而营祚血再亩而而行元£桂正亲手*W密而就卜结论：程,井求解演练冲关1,顶点都在同1.一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为个球面上，则该球的体积为（）A.20兀B.20.5兀3C. 5兀D.喑解析：选D由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,球半径为R=.产+ 2 21+=M，该球的体积 V=qTt R3= -x4233- ''5 35 5 兀-兀

35、=62. （2018 镇海期中）一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体体积的最大值为解析：由题可得，要使正方体可以在纸盒内任意转动，则只需该正方体在正四面体的内接球内即可.因为正四面体的棱长为6,所以其底面正三角形的高为3/3,正四面体的高为2g则该正四面体的内球的半径为乎，设该正方体的边长为 a,要满足条件，则 及a0乖,即a<2.所以正方体的最大体积为答案：2 '2V= a3 w 22.0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.（2018浙江名校联考）“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充

36、要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B由题可得，球的三个视图都是圆，所以三视图完全相同；三视图完全相同的几何体除了球，还有正方体，所以是必要不充分条件.2.（2018长兴中学适应性测试）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.64C.80B. 72D. 112解析：选C由题可得，该几何体是一个棱长为4的正方体与一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥的组合体，所以其体积为V=43+1X42X3=80.33.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是23°,则它的表面积是（）A.17兀C.20%解析：选A由几何体的三视图可知,

37、11的1得到的几何体如图.设球的半径为4D. 28 兀该几何体是一个球体去掉上半球R,则4兀R31x4兀R = 28兀，解38 337_23_2得22.因此它的表面积为8"泥口+4兀口=17兀.故选A.4. （2018嘉兴模拟）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3/3,则a=解析:由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为2、高为a该几何体的表面积为.的等腰三角形，高为3.因为其体积为3镜，所以V=2X2aX3=3a=3/W|a=，3.所以该几何体的表面积为S=2X2X2X43+2X3X3=2木+18.答案：,32.3+185. （2018丽水模拟）若三锥P-

38、ABC勺最长的棱P"2,且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是,表面积是.解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外1接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R=-PA1,所以该三棱锥434_2的外接球的体积V=3X%X1=3兀，表面积S=4兀R=4兀.二保高考，全练题型做到高考达标1 .圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84兀，则圆台较小底面的半径为（）A.7B.6C.5D.3解析：选A设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=兀（r+3r）,3=84兀,解得r=7.2.一个六棱锥的体积为243,其底面是边长为

39、2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为（）A. 6B. 8C. 12D. 24解析：选C由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为由题意，得 gx 6X 乎 x 2 2x h= 2/3,h= 1,.斜高 h，=寸12+ 乖 2=2,1 一，. S侧=6X 2X2X2= 12.故选 C.3. （2018 温州十校联考）已知某个几何体的三视图如图所示，得这个几何体的体积是（）/ 正规图制觇图ah,侧面的斜高为h'.根据图中标出的尺寸，可32C.8所以其体积为解析：选B由题可得，该几何体是一个底面为长方形的四棱锥,16X4X2X2=于4. （2018兰州实战考试）一个几何体的三视

40、图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A.B.,32C.3兀D.3解析：选A由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为平，故体积为万兀乎3=乎兀，故选A.5. （2018宁波十校联考）如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为小视图 W俯程图便视图A. 2 ；2C. 2 '3B. 10D.13解析：选C由题可得，该几何体是水平放置的四棱锥，其底面是一个直角梯形.所以其最长的棱的长度为N2+22+22=2，

41、；3.6. （2018衢州调研）已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是表面积是解析：该几何体是一个三棱锥，其高为2,其底面是一个等腰直角三角形，腰长为42,所以其体积为V=X(J2)2X2=w，表面积为S=2XJ2+不X(J2)2+2X2+-Xy22.3232222x邢=3+#+*2-答案：33+水+小7. （2018杭州模拟）已知矩形ABCD勺顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=3,BC=2,则棱锥GABCD勺体积为.解析：依题意得，球心O在底面ABCDk的射影是矩形ABCD勺中心，因此棱锥O-ABCD的高等于422y32+222所以棱锥QABCD勺体积等于gx3X2X2-=5

42、1.答案：518. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB=AD=BC=CD=2,BD=2乖,设O为BD的中点，连接OAOC则OALBDOCLBD结合正视图可知AOL平面BCD51又oc=cDoD=i,2X2* xi1V三棱锥A-BCD=X39. （2018武汉调研）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4,底面边长为2小,则该球的表面积为.解析：如图，正四棱锥P-ABCD勺外接球的球心O在它白高PO上，设球的半径为R因为底面边长为2亚，所以AC=4.在RtAAOO,R2=（4R）2-h2

43、2,所以R=2,所以球的表面积S=4兀口=25兀.答案：25兀10. 如图，在四边形ABC由，/DAB=90°,/ADC=135°,AB=5,CD=2,12,AD=2,求四边形ABCtDgAD旋转一周所成几何体的表面积及体积.解：由已知得：CE=2,DE=2,CB=5,S表面=S圆台侧+S圆台下底+S圆锥侧=兀(2+5)X5+兀X25十兀X2X2-2=(60+42)兀,V=V圆台一V圆锥=3(兀,22+%52+弋2?5?无?)x437t X22148X2=-z-Tt.3三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.(2018广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直

44、观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为()A.-1B.-431C.21解析：选C由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为3*2X(2+4)=6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8,则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为2,故选C.2.如图，四边形ABCD1边长为2V3的正方形，点E,F分别为边BC,CD的中点，将4ABEECFFDA分别沿AEEF,FA折起，使B,C,D三点重合于点P,若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是()A.6兀B.12兀C. 18兀D.9：2兀解析：选C因为/APE=/EPF=/APF=90

45、。，所以可将四面体补成一个长方体(PAPEPF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R,由题意知2R=7乖2+木2+2添2=3版故该球的表面积S=4兀口=3224兀*=18兀.23.已知A,B,C是球O的球面上三点，且AB=AO3,BC=373,D为该球面上的动点,球心O到平面ABC勺距离为球半径的一半，求三棱锥D-ABC积的最大值.解：如图，在ABO,A-AO3,BO3V3,由余弦定理可得32+323321cosA=J=-sin；32设ABO#接圆O'的半径为r,则辈=2，得r=3.132设球的半径为 R,连接OO , BO ,c Rc COB

46、则 R2= 2 + 3 ,解得 R= 2 ； 3.3.一.由图可知，当点D到平面ABO勺距离为R时，三棱锥D-ABO勺体积最大,Sa abo= 1X3X3X-；329,34 ，三棱锥D-ABO积的最大值为>/过教材美1 .平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2 .空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设a,b是两条异面直线，经过空

47、间任一点O作直线a'/a,b'/b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).范围：0,3.(3)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3 .空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.小题体验1.下列说法正确的是()A.若a?a,b?B,则a与b是异面直线B.若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C.若a,b不同在平面a内，则a与b异面D.若a,b不同在任何

48、一个平面内，则a与b异面答案：D2.(教材习题改编)设P表示一个点，a,b表示两条直线，a,3表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是.PCa,PCa?a?a;anb=P,b?3?a?B;a/b,a?a,PCb,PC“？b?a;anB=b,PCa,PC§?PCb.答案：必过易错关1 .异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2 .直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.3 .不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.小题纠偏1 .（2018江西七校联考）已知直线a

49、和平面a,B，anB=i,a?a,a?B，且a在”，3内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是（）A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析：选D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.2 .若直线a±b,且直线a/平面a,则直线b与平面a的位置关系是（）A.b?aB,b/aC.b?a或b/aD.b与a相交或b?a或b/a解析：选Db与a相交或b?a或b/a都可以.3 .（教材习题改编）下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.其中正确命题的个

50、数为（）A.4B.3C.2D.1解析：选D中若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；中这三个公共点可以在这两个平面的交线上.故错误的是，正确的是.所以正确命题的个数为1.考点一平面的基本性质及应用重点保分型考点一一师生共研典例引领如图所示，在正方体ABCDA1B1CQ中，E,F分别是ARAA的中点.求力小（1） E,C,D,F四点共面；F?-IJc（2） CEDF,DA三线共点.证明：（1）如图，连接EF,AB,CD.E,F分别是AB,AA的中点，EF/AB又AB/CD,.EF/CD,E,C,D,F四点共面.（3） .EF/CD,E

51、F<CD,CE与DF必相交，设交点为P,则由PCCEC日平面ABCD得PC平面ABCD同理PC平面ADDAi.又平面ABCD1平面ADGAi=DA.PC直线DA.CEDF,DA三线共点.由题悟法1 .点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面a,再证其余点、线确定平面3,最后证明平面a,B重合.2 .证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明.如“本例”中第(2)问.即时应用如图

52、，在四边形ABC加，已知AB/CQ直线AB,BCAQDC分别与平面a相交于点E,G,H,F,求证：E,F,G,H四点必定共线.证明：因为AB/CD所以AB,。所定一个平面3.又因为ABHa=E,AB?§,所以ECa,EC§,即E为平面a与p的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面a与3的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E,F,GH四点必定共线.考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点一一师生共研典例引领如图，在正方体ABCD-AiBiCD中，MN分别为棱GD,GC的中点，有以下四个结论：直线AMWCC是相交直线；直线AMWBN是平行直线；直线BNMB是异面直线；直线AMWDD是异面直线.其中正确的结论的序号为.解析：直线AM与CC是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误.点B,Bi,N在平面BBCiC中，点M在此平面