高等数学课件数项级数及收敛准则

1、二、交错级数及其收敛准则二、交错级数及其收敛准则 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第第2-32-3节节一、正项级数及其收敛准则一、正项级数及其收敛准则常数项级数的收敛准则常数项级数的收敛准则 第十一章 一、正项级数及其收敛准则一、正项级数及其收敛准则若,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数1nnu收敛部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界, 故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”,Zn,nnvku 都有定理定理2 (比较判别法比较判别法)设,1nnu1nn

2、v且存在,ZN对一切,Nn 有(1) 若级数1nnv则级数1nnu(2) 若级数1nnu则级数1nnv证证:设对一切和令nSn则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku 是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨11,nnnnuv分别表示和级数的部分和 则有(1) 若级数1nnv则有nn lim因此对一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu则有(2) 若级数1nnu,limnnS因此,limnn这说明级数1nnv也发散 .knSnk也收敛 .发散,收敛, 级数例例1. 讨论 p 级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1)

3、 若, 1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较判别法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1, 1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑级数1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .时,1) 1(11pn12) 若调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu证明级数1) 1(1nnn发散 .证证: 因为2) 1(1) 1(1nnn),2

4、, 1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较判别法可知, 所给级数发散 .例例2.2.定理定理3. (比较判别法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu证证: 据极限定义, 0对,ZN存在lnnvu)(l设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,时当Nn nnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知1nnu与1nnv同时收敛或同时发散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 当l = 时,ZN存在,时当Nn ,1nnvu即nn

5、vu 由定理2可知, 若1nnv发散 , 1;nnu则也收敛(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知1nnv收敛 , 若1.nnu则也发散,nunv,limlvunnn是两个正项级数正项级数, (1) 当 时,l0两个级数同时收敛或发散 ;特别取,1pnnv 可得如下结论 :对正项级数,nu,1pl0limnnulpn,1pl0发散nu(2) 当 且 收敛时,0lnv(3) 当 且 发散时, lnv也收敛 ;nu也发散 .nu收敛nu的敛散性. nnn1lim例例3. 判别级数11sinnn的敛散性 .解解: nlim1根据比较判别法的极限形式知.1sin1发散nn例例4.

6、判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较判别法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin2n211lnn sin1nn1)1ln(21n21nnnnuu1lim由定理定理4 . 比式判别法 ( Dalembert 判别法)设 nu为正项级数, 且,lim1nnnuu则(1) 当1(2) 当1证证: (1),1时当11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收敛 ,.收敛nu时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .,ZN知存在,时当Nn k)(由比较判别法可知,1时或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此所以级数发散.Nn 当

7、时(2) 当nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明说明: 当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, , p 级数:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .从而 limn例例5. 讨论级数)0(11xxnnn的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x对任意给定的正数 ,limnnnu定理定理5. 根式判别法 ( Cauchy判别法) 设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发

8、散时当 证明提示证明提示: ,ZN存在nnu有时当,Nn 即nnnu)()(分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确., )1(1111数, 且时 , 级数可能收敛也可能发散 .1例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n说明说明 :,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .例例6. 证明级数11nnn收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛 .令,nnSSr则所求误差为21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估计以部分和

9、Sn 近 二二 、交错级数及其收敛判别法、交错级数及其收敛判别法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设证证: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于S,

10、 且,1uS :的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数,1nnu若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散,

11、则称原级111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛 ,1nnu数1nnu为条件收敛 .均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设1nnunv),2,1(n根据比较判别法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛 , 令例例7. 证明下列级数绝对收敛 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛

12、 .(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.一般项级数敛散性总结 绝对收敛 收敛, 反之不真. 如果用比式判别法或根式判别法得出绝对值级数发散, 则原级数一定发散. 所有判别法都有局限性, 不能用判别法判定时, 只能用部分和列是否收敛来判定.绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.定理定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.(绝对收敛级数重排不影响其和.条件收敛级数重排影响其敛散性与和。) 111111111111( 1)1.234567811111

13、1 ( 1).224682 111113 .325742nnnnAnAnA 例：两个级数相加，得1+其和分别为 定理定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ).S则对所有乘积 jivu1nnw按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数1nnv1nnu与都绝对收敛,S其和为级数乘积的排列方式：正方形级数乘积的排列方式：正方形级数乘积的排列方式：对角线（柯西乘积）级数乘积的排列方式：对角线（柯西乘积）1nijij nwu v 一般项：条件收敛级数柯西乘积不一定收敛条件收敛级数柯西乘积不一定收敛.11111111( 1)( 1)11111111( 1).112231111111.1nnnnnnnnnnnw

14、nnnnwnnnnnnw 例如，发散.发散.内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数收敛判别法必要条件0limnnu不满足发 散满足比式判别法 limn1nunu根式判别法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较判别法用它法判别积分判别法部分和极限13. 任意项级数收敛判别法为收敛级数1nnu设Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称思考与练习思考与练习设正项级数1nnu收敛, 能否推出12nnu收敛 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收敛 ,11nn发散 .备用题备用题;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn发散 , 故原级数发散 .不是 p级