浙江省温州市2016届高考数学二模试卷(理科)

1、浙江省温州市2016年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,3,B=3,4,5,则AC?uB=（）A.3B.1,2,4,5C.1,2D.1,3,52 .已知实数x,y满足卜一¥一1,贝Uz=xy（）X-2代2A.最小值为-1,不存在最大值B.最小值为2,不存在最大值C.最大值为-1,不存在最小值D.最大值为2,不存在最小值3,直线11：mx+y-1=0与直线12：（m-2）x+my-1=0,则m=1”是l'1，l2”的（）A

2、.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4 .已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）AiAj=Ak,其中k为i+j被4除的5 .设集合S=A0,Ai,A2,A3,在S上定义运算为:余数，i,j=0,1,2,3.若（A2A3）Am=A0,则m的值为（）A.0B,1C.2D,36 .点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）A.射线B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线7,数列an是递增数列，且满足an+1=f（an）,a1e（0,1）,则f（x）不可能

3、是（A.f(x)=-&B.f(x)=2x-1C.f(x)刃2._”D.f(x)=log2(x+1)8.棱长为2的正方形ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CCi的中点，点P,Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则PEQ周长的最小值为()A.2在B.VlbC.fnD.2/3二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)9 .以椭圆。忆1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是离心率为.10 .函数包6二本in(S工十中)(3>0,I01y-)的图象如图所示，则3=忏11,已知等差数列an的公差为-3,且电是a1和a4的等比中项，则通项为

4、=数列an的前n项和Sn的最大值为12.设奇函数f (x)racosx - J5sinH+a 工0 cosK+bsim Gj则a+c的值为(x)>f(-x)在xC-Tt,可上的解集为13.若正数a,b 满足 log2a=log5b=lg(a+b),则的值为14 .若存在x0C-1,1使得不等式4x0a?2x012x01成立，则实数a的取值范围15 .如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,M,N分别为线段BC,CD上的点，且满足熹小彳二1,若菽:tS+G疝，则x+y的最小值为UMCM三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16 .在4ABC中，角

5、A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知标正通正，sinA=-.(I)求sinC的值；(II)设D为AC的中点，若ABC的面积为8/5,求BD的长.AB17 .如图，矩形ABCD中，=X(X>1),将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且£1U二面角C-AB-E为直二面角.(1)求证：平面ACE，平面BCE;(2)设F是BE的中点，二面角E-AC-F的平面角的大小为。，当长2,3时，求cos。的取值范围.D18 .已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象过点(1,0).(1)记函数f(x)在0,2上的最大值为M,若MW1,求a的最大值；(2)若对任意的xi0

6、,2,存在x2C0,2,使得f(xi)+f(x2)>a,求一的取值范围.19 .已知椭圆+y=1(a>b>0)的两个焦点为Fl,F2,焦距为2,设点P(a,b)满足PF1F2是等腰三角形.(1)求该椭圆方程；(2)过x轴上的一点M(m,0)作一条斜率为k的直线1,与椭圆交于点A,B两点，问是否存在常数k,使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由.20 .设正项数列an满足：a1=1,且对任意的n,m(EN+,n>m,均有a2n+ma2n-m=n2-m2立.(1)求a2,a3的值，并求an的通项公式;(2)(i)比较a2n.1+

7、a2n+1与2a2n的大小;(ii )证明:a2+a4+-+a2n(瓦i十口3十.十江211t).2016年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,3,B=3,4,5,则AC?uB=()A.3B.1,2,4,5C.1,2D.1,3,5【分析】由全集U及B,求出B的补集，找出A与B补集的交集即可.【解答】解：二.全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,3,B=3,4,5,?uB=1,2,则AH?uB=1,2,故选：C.【点评

8、】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2.已知实数x,y满足1,贝Uz=xy()耳-2月2A.最小值为-1,不存在最大值B.最小值为2,不存在最大值C.最大值为-1,不存在最小值D.最大值为2,不存在最小值【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-y,得y=x-z表示，斜率为1纵截距为-z的一组平行直线，平移直线y=x-z,当直线y=x-z经过点A时，即和直线AD：x-y=-1平行时，直线y=x-z的截距最大，此时z最小，最小为-1,无最大值,故选：A.【点评】本题主要考查线性规划的基

9、本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键,注意利用数形结合来解决.3 .直线11：mx+y1=0与直线核：（m2）x+myT=0,贝Um=1”是1，匕”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y-1=0,2x+1=0,此时两条直线相互垂直，m=0.ID一2当mw0时，若11112,则-m（-）=-1,解得m=1.综上可得：m=0,或m=1,故m=1”是1,12”的充分不必要条件，故选：A.【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充

10、要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4 .已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（J.2A. 4 B.16C. 8 D.32【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积.【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个矩形：两条边分别是4、2,且四棱锥的高是2,，几何体的体积Vxqx2X=-,故选：B.【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力.5 .设集合S=A0,Ai,A2,A3,在S上定义运算为：AAj=Ak,其中k为i+j被4除的余数

11、，i,j=0,1,2,3.若（A2A3）Am=A0,则m的值为（）A.0B.1C.2D,3【分析】根据新定义进行推理计算即可.【解答】解：2+3=5,5除4的余数为1,1- A2®A3=A1,则A1Am=A0,则1+m是4的倍数，贝Um=3,故选：D.【点评】本题主要考查推理的应用，根据新定义是解决本题的关键.比较基础.6 .点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）A.射线B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【分析】根据题意可知|PC|-r二|PA|,即P到C与A的距离之差为常数，故而P在双曲线上运动

12、.【解答】解：设圆C的半径为r,由题意可知P到圆C的距离为|PC|-r,.|PC|r=|PA|,即|PC|PA|二r.P点轨迹为以A,C为焦点的双曲线靠近A点的一只.故选：C.【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题,7,数列an是递增数列，且满足an+i=f(an),aie(0,1),则f(x)不可能是(A . f (x) =、RB . f (x) =2x- 1 C. f (x)JD. f (x) =log2 (x+1)【分析】A.由aiC (0, 1),可得自1r+广向>%,即可判断出数列%的单调性;1),不妨取a1=7j-,则a2lV2- 1<-T,即可判断出数列an的单

13、调性;c：f(x)=Jzk-令2x-x2>0,可得得0<x<2.由f(x)刃2广J刃1_(L,利用二次函数的单调性及其ae(0,1),即可判断出数列an的单调性；D.利用几何画板画出图象y=log2(x+1),y=x,可知：在xC(0,1)时，log2(x+1)>x,即可判断出数列an的单调性.【解答】解：对于A.a1C(0,1),1an+l,H>an,可得数列an是递增数列；对于B.a1(0,1),不妨取a1=7r,则a2=T-1=/2-1<-,因此数列an不是递增数列；对于C：f(x)二点犬-/，令2x-x2>0,解得0wx<2.由f(x)=

14、/zi-了二口(工-1)4，可知：当0WxW1时，函数f(x)单调递增；当1WxW2时，函数f(x)单调递减.a1(0,1),.数列an是递增数列;对于D.利用几何画板画出图象y=log2(x+1),y=x,可知：在xC(0,1)时，log2(x+1)>x,，an+1=log2 (an+1) > an,因此数列an是递增数列.【点评】本题考查了数列的单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.8 .棱长为2的正方形ABCD-AlBlClDl中，E为棱CCl的中点，点P,Q分别为面AlBlClDl和线段BiC上的动点，则PEQ周长的最小值为（）A.2企B.JWC.Vi

15、lD.2行【分析】由题意，4PEQ周长取得最小值时，P在BiCi上，在平面BiCiCB上，设E关于BiC的对称点为M,关于BiCi的对称点为N,求出MN,即可得出结论.【解答】解：由题意，PEQ周长取得最小值时，P在BiCi上，在平面BiCiCB上，设E关于BiC的对称点为M,关于BiCi的对称点为N,则EM=2.EN=叵,/MEN=i35°,MN=牡2- 2黑2黑也乂一早）=,而.【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9 .以椭圆+y"=i的焦点

16、为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是丫二三一x离心率为.3【分析】由椭圆?+/2=i的焦点坐标为（I士逐0）,长轴顶点为（土2,0）,求出双曲线的标准方程，由此能求出结果.【解答】解：二椭圆号+/=1的焦点坐标为（|士乃，0）,长轴顶点为（土2,0）,JJ以椭圆-4-y=i的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的标准方程为：4【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的性质的合理运用.兀10,函数f（心科。）（>0,I如的图象如图所示，则3=2,（j）=3T【分析】通过函数的图象，求出T然后求出03,利用图象经过（兀，0）求出4的

17、值.,则 w=2,/. 1=2sin （2 X 兀+ 4）,sin7T故答案为2,TC由图象可知函数经过点（兀,【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应用.11.已知等差数列an的公差为-3,且电是ai和a4的等比中项，则通项方=-3n+15.数列an的前n项和Sn的最大值为30.【分析】由题意可得（a-6）2=a1（a1-6）,解之可得a1，代入通项公式得到an=-3n+15,再判断数列an的前n项和Sn的最大值的n的情况，即可求出，【解答】解：由题意可得（a-6）2=a1（a1-9）,解得a1=12，an=12+(n-1)x(-3)=-3n+15,.

18、an=-3n+15>0,解得n<5,.o回国-1)X(-3)-S5=5X12+=30,故答案为：-3n+15,30.【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和等比中项的定义，属基础题.acosx-/3sinx4cs芯)012.设奇函数f(x)=_,则a+c的值为0,不等式f(x)>fcoss+bsimCik<。(_x)在Xe_&可上的解集为，0)U仁二兴.【分析】根据函数奇偶性的定义和性质求出a,b,c的值，利用分类讨论的思想进行求解即可得到结论.【解答】解：f(x)是奇函数,.f(0)=0,即 f (0)=acos0-i/sin0+c=a+c=0,即a+c=0则

19、 f(X)acosii-/gsinK"a,x)。cosx+bsini+atx<C0若 XV0,则一x >0,贝Uf(x)=acosx+J3sinx-a=-cosxbsinxa,则a=-1,b=-点,c=1,即 f(X)=eoeir-coskf-sinx_110若0wx<兀,7T贝U由f(x)>f(x)得一cosx-V3|sinx+1>cosx+sinx-1,即cosxA/jsinx<1,即cos(x0<x<Tt,JT2Kv x< 兀,若一形cx<0,则一JC 冗 7T-< x+-即一贝U由f(x)>f(x)得co

20、sxjsinx-1>-cosx+sinx+l,即cosx/sinx>1,即cos(x一庐 x< 0,2兀7T7T-&x+<333综上不等式的解集为（一-10）U（旦，故答案为：（一二,0）U（一,文.JJa, b, c的值，利用分类讨【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出论的思想结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键.13.若正数a,b满足log2a=log5b=lg(a+b),则a【分析】设10g2a=log5b=lg(a+b)=k,可得a=2k,b=5k,a+b=10k,可得a+b=ab.即可得出.【解答】解：设10g2a=1og5b=

21、1g(a+b)=k,/.a=2k,b=5k,a+b=10k,ab=10k,/.a+b=ab,则L±二1.ab故答案为：1.2" 1成立，则实数a的取值范围是 0【点评】本题考查了对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14.若存在xc）e-1,1使得不等式|4x0a?2x0【分析】将不等式进行等价转化，利用换元法，结合基本不等式的性质进行转化求解，建立不等式关系进行求解即可得到结论.EE|4-a-/0+l|【解答】解：不等式|4。-a2«+1|<20等价为<2,2"即|2'+即a2w2%+:w2+a,|2巾设t=2

22、*口，当X0C-1,1是te上，2,设y=t+,t则函数在g,1上是减函数，在1,2上是增函数，则当t=1时，函数取得最小值y=1+1=2,当t=2或t='函数取得最大值yJ+21-,则2”1,.即a-2<y<2+a,5若a-2,a+2与2,曰没有公共点,2则a+2<2或a2>掾，即av0或a>W",弓则若a-2,a+2与2,予有公共点，则0<a<-|,|9|故答案为：0,目【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，利用不等式求出不等式的范围，建立不等式关系是解决本题的关键.15.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4

23、,M,N分别为线段BC,CD上的点，且满足1.1T一一一一一一.5cMT若AC二工AM+yAM,贝ux+y的最小值为3.N【分析】由题意建立平面直角坐标系，设点M(3,a),N(b,4),0vav4,0<b<3；求得b=y，a=,从而可得三一笆=(x+y - 1)16 92,再设 x+y=m ,贝U x=m y;禾U用(冗+厂1产111 J4),即b=( 3, 4) =x (3, a) +y (b,219 (x+y - L)J=1 ，+16 g(x+y- 1) 2,判别式即可求出m的最小值.【解答】解：由题意建立如图所示坐标系，如图所示;设点M(3,a),N(b,4),且0vav4

24、,0vbv3;AC=(3,4),质=(3,a)又AC=xAI+y短，3肝式廿十4y=43-3k设x+y=m,贝Ux=my；则(m- 1) 2,即25y2T8my+9m2T44(mT)2=0,故4=(18m)2-4X25X(9m2-144(m-1)2)>0即24m2-50m+25>0,解得，m>汗或mw(舍去)；，x+y的最小值工4故答案为:D NA【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了数形结合的思想与转化思想的应用问题,是较难的题目.三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)'1ry516.在ABC中，角A,B,C所对的边

25、分别为a,b,c,已知纪城=BA+BC,sinA.(I)求sinC的值；(II)设D为AC的中点，若ABC的面积为小,求BD的长.【分析】(1)利用向量的数量积和正玄定理得出sinBcosA=sinAcosB,根据三角公式得出A二B,根据诱导公式求解即可.(2)利用面积公式，以及余弦定理求解即可.【解答】解：在ABC中，:屈位=应而，/.cbcosA=cacosB,即bcosA=acosB,sinBcosA=sinAcosB,sin(A-B)=0,A=B,sinA=".1.sinC=sin(兀2A)=sin(2A)=2sinAcosA=2x2_§_X=/B.339(2)设A

26、C=BC=m,.ABC的面积为电,m=3班,cosC=,y根据余弦定理得出：BD2=m2_|J-2XiilX?xF=%m23因29362V2BD=等【点评】本题考查了向量数量积以及正弦定理和余弦定理的运用，在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的数学工具17 .如图，矩形ABCD中，=X(X>1),将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且iiU二面角C-AB-E为直二面角.(1)求证：平面ACEL平面BCE；(2)设F是BE的中点，二面角E-AC-F的平面角的大小为。，当入C2,3时，

27、求cos。的取值范围.【分析】(I)推导出AB±BC,BCXAE,从而AE，平面BCE,由此能证明平面ACE面BCE.(n)以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cos0的取值范围.【解答】(本题15分)证明：(I)二.二面角C-AB-E为直二面角，AB±BC,BC±AE平面，BC，AE-（2分）1 .AEXCE,BCnCE=C,2 .AE,平面BCE（4分）AE?平面ACE,平面ACE，平面BCE（6分）解：（n）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=入A3,L,OX/-30,0）,C

28、hM二L0,1）,ECO,Q,0）,FZZZZ50TQ）（8分）则成F1U,1,0）,丽二仆21，0r1）设平囿EAC的法向量为yfi）则.+_Q,取x=1,则nFlfo,同理设平囿FAC的法向量为Xd*2_L-Q入"C0S.扁一九72C12卡+小入E273二6口号8Epy-7耳"（15分）WEH1*C2-1”-（10分）2-1）（12分）（14分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.18 .已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象过点(1,0).(1)记函数f (x)在0

29、,(2)若对任意的xiC0,围.【分析】(1)方法一：由Cf (0)= - a - b<l</i尸 ,两工lf(2)=3a+b<l2上的最大值为M,若MW1,求a的最大值；2,存在X2C0,2,使得f(xi)+f(X2)>-？-a,求上的取值范2af(x)是开口向上的抛物线，可得：M=maxf(0),f(2),即相加可得a的最大值；方法二：点牙丑=_匚，一结合mwi,可得a的最大值22(2)存在£jf1m(戈),使+£(芯2)二天三，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案.【解答】解：(1)f(x)过点(1,0),.f(1)=

30、a+b+c=0,(1分)/.c=-a-b,f(x)=ax2+bx-a-bf(x)是开口向上的抛物线,.M=maxf(0),f(2)-(3分)(5分)f(0i=-a-1f(2)=3a+b<l两式相加得aw1,即a的最大值为1-(6分)£Cl)=a+b+cf(2>=42HcfC0)=c吃曰_f(2)-2fQ)+f3)_n2)+代。)/+L解得：a=<-=1(6分)(2)由题意，存在£力小(冥)十£(工2)使加正(X)十£(工2)二：十三，=8)+%殁&)>留一(8分).1a+b+c=0一,、o一b，f(x)=ax2+bxab其

31、对称轴为一2a当一与0,即且。时，f(x)在0,2上单调递增，2aa|(10分),：-j-,.：匕i二十I1十二2二三一三一上十-卜二七上彳juliliii-dLAa0均符合题意a当04一gl,即一2卜。时，2aaf(x)在0,-4上递减，在一一，2上递增且f(0)vf(2),2a2a22：,一F-.1'f：'-'-二-,.：-.mmmax2a4a4a由-"心意得：-正符合题意(12分)当14<2,即-4<<J2时，2aabIhf(X)在0,上递减，在一万，2上递增且f(0)>f(2),22f.(K)+f(K)=f(-)+f(O)=-b

32、-a-b=2a-2hmmm.2a4a.4a2，由得：-4-«<反<-4不戊4a2a.4<卜4+迎符合题意(13分)当一袅2即上一4时，一*)在0,2上单调递减，zaaFmin(X)十=f'2)+f(°)=3d+b已b=2已X，JILL，(白玛/<-4均符合题意(14分)a综上所述：，且式一4+&或旦一衣(15分)aa【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键.19.已知椭圆-+77=1(ab0)的两个焦点为F1,F2,焦距为2,设点P(a,b)满足PF1F2是等腰三角形.(1)求该椭圆方

33、程；(2)过x轴上的一点M(m,0)作一条斜率为k的直线1,与椭圆交于点A,B两点，问是否存在常数k,使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由.【分析】(I)根据题意，有.,由此能求出椭圆方程.51)，b%4(n)联立方程组m)2,2JjH1(3+4k2)x2-8k2mx+4m2-12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件推导出|MA|2+|MB|2=7与m无关符合题意.【解答】(本题15分)解：(I)二.椭圆=1(a>b>0)的两个焦点为Fi,F2,焦距为2,设点P(a,b)满足PF1F2是等腰三角形,，根据题意，有2c=2(a1?£+b2=4(4分)解得:故所求椭圆方程为.(6分)(n)联立方程:,整理得