高等数学幂级数

1、第二节第二节 幂级数幂级数函数项级数的一般概念函数项级数的一般概念幂级数及其收敛区间幂级数及其收敛区间幂级数的运算幂级数的运算函数展开成幂级数函数展开成幂级数函数的幂级数展开式的一些应用函数的幂级数展开式的一些应用一一 函数项级数的一般概念函数项级数的一般概念设设 121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级数函数项级数 .对对,I0 x若常数项级数若常数项级数 10)(nnxu敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数若常数项级数 10)(nnxu为定义在区间为定义在区间 I 上的函数列上的函数列, 称称

2、收敛收敛,发散发散 ,所有所有0 x称称为其为其收收 0 x称称为其为其发散点发散点, ),2,1()( nxun发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域 ., )(xS为级数的为级数的和函数和函数 , 并写成并写成)()(1xuxSnn 若用若用)(xSn)()(1xuxSnkkn 令余项令余项)()()(xSxSxrnn 则在收敛域上有则在收敛域上有, )()(limxSxSnn 0)(lim xrnn表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和, 即即在收敛域上在收敛域上, 函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数 称它称它例如例如, 等比级数等比级数它的收敛域是

3、它的收敛域是, )1,1( ,11,(）， 及 nnnxxxx201xxnn 110它的发散域是它的发散域是或写作或写作.1 x又如又如, 级数级数, )0(02 xnxxnnn,)(lim xunn级数发散级数发散 ;所以级数的收敛域仅为所以级数的收敛域仅为.1 x,)1,1(时时当当 x有和函数有和函数 ,1时收敛时收敛当当 x,10时时但但当当 x)1 , 1( x二二 幂级数及其收敛区间幂级数及其收敛区间形如形如 00)(nnnxxa 202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为的函数项级数称为其中其中),1 , 0( nan称称 为幂级数的为幂级数的系数系数 . nnxxa)(

4、0的幂级数的幂级数,nnnxax 00,0时时当当称称 为为x的幂级数的幂级数.0 xx ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛发散发散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数若幂级数 0nnnxa,0点收敛点收敛在在xx 则对满足不等式则对满足不等式0 xx 的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,则对满足不等式则对满足不等式证证: 设设 00nnnxa, 0lim0 nnnxa收敛收敛, 则必有则必有),2,1(0 nMxann于是存在于

5、是存在常数常数 M 0, 使使nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 当当 时时, 0 xx 00nnxxM收敛收敛, 0nnnxa故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛 .也收敛也收敛,反之反之, 若当若当0 xx 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,下面用反证法证之下面用反证法证之.假设有一点假设有一点1x01xx 0 x满足不等式满足不等式0 xx 所以若当所以若当0 xx 满足满足且使级数收敛且使级数收敛 ,面的证明可知面的证明可知, 级数在点级数在点故假设不真故假设不真. 的的 x , 原幂级数也原幂级数也发散发散 . 时幂级数发散时幂级数发散 , 则对一切则对一切则

6、由前则由前也应收敛也应收敛, 与所设矛盾与所设矛盾,证毕证毕x R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域推论推论 0nnnxa0 xR如果幂级数如果幂级数不是仅在不是仅在一点一点存在存在, ,收敛收敛, 也不是在整个数轴上都收敛也不是在整个数轴上都收敛,定的正数定的正数则必有一个完全确则必有一个完全确它具有下列性质它具有下列性质:当当Rx 时时, ,幂级数绝对收敛幂级数绝对收敛; ;当当Rx 时时, ,幂级数发散幂级数发散; ; 当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .o正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.

7、 . 幂级数的收敛域幂级数的收敛域称称为幂级数的为幂级数的收敛区间收敛区间.),RR ,(RR .,RR ),(RR 收敛区间为下列四种形式之一收敛区间为下列四种形式之一, 0 R规定规定, R(1) (1) 幂级数只在幂级数只在0 x处收敛处收敛, ,收敛区间收敛区间; 0 x收敛半径收敛半径(2) (2) 幂级数对一切幂级数对一切x都收敛都收敛, ,收敛半径收敛半径收敛区间收敛区间).,(说明说明幂级数幂级数 0nnnxa如果在如果在0 xx 处条件收敛，处条件收敛， 则则一定是该幂级数收敛区间的端点，一定是该幂级数收敛区间的端点，0 x即该幂级数的收敛即该幂级数的收敛半径半径. |0 x

8、R 问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径? ?定理定理2. 0nnnxa的系数满足的系数满足,lim1 nnnaa;1 R; R.0 R1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 时时,则则 若若lim |)nnna ( (或或如果幂级数如果幂级数 0nnnxa如果在如果在0 xx 处收敛，处收敛，而在而在0 xx 处发散处发散, 则则一定是该幂级数收敛区间的端点，一定是该幂级数收敛区间的端点，0 x即该幂级数的收敛即该幂级数的收敛半径半径. |0 xR xaaxaxannnnnnnn 111limlim证证:1) 若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知

9、:当当,1 x 原级数收敛原级数收敛;当当,1 x 原级数发散原级数发散.x 即即 1 x时时,即即时时, 1 x2) 若若, 0 则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,; R3) 若若, 则对除则对除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散 ,.0 R对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径.1 R 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为说明说明: :据此定理据此定理1lim nnnaaR对端点对端点 x =1, 1lim nnnaaR nxxxxnn 132)1(32的收敛半径及收敛区间的收敛半径及收敛区间.解解:11 nn11 对端点对

10、端点 x = 1, 级数为交错级数级数为交错级数,1)1(11nnn 收敛收敛; 级数为级数为,11 nn发散发散 . . 1,1( 故收敛区间为故收敛区间为例例1.1.求幂级数求幂级数 lim n 例例2. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 解解: (1) limlim1 nnnnaaR!1n)1(lim nn所以收敛域为所以收敛域为. ),( (2) limlim1 nnnnaaR!n!)1( n11lim nn0 所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .规定规定: 0 ! = 1! )1(1 n例例3.nnxnn202)

11、 !(! )2( 求求幂幂级级数数的收敛半径的收敛半径 .解解: 级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1 nnnnxuxu2!)1( ! )1(2 nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn 24x 142 x当当时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 .21 R21 x即即142 x当当21 x即即)1(2 nxnx2故直接由故直接由例例4. 12)1(nnnnx求求幂幂级级数数的收敛区间的收敛区间.解解: 令令 ,1 xt级数变为级数变为nnntn

12、121 nnnnaaRlimlim1nn21)1(211 nnnnnnn2)1(2lim1 2 当当 t = 2 时时, 级数为级数为,11 nn此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数为,)1(1 nnn此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛区间为因此级数的收敛区间为,22 t故原级数的收敛区间故原级数的收敛区间,212 x即即.31 x例例5. 1)1(3(nnnnx求求幂幂级级数数的收敛半径、收敛区间的收敛半径、收敛区间.解解当当41| x时，时，|)1(3( |nnnx nnx |4 因为因为, 1|4 x所以所以 1|4nnnx收敛，收敛，原级数绝对收敛原级数

13、绝对收敛41| x当当时，时，由于由于nnnx222|)1(3( nlim01 所以原级数发散，所以原级数发散，所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,41 R收敛收敛区间区间).41,41( 三三 幂级数的运算幂级数的运算定理定理3. 及及的收敛半径分别为的收敛半径分别为,21RR令令nnnxa 0 )(0为常数为常数 nnnxa 1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa 00,)(0nnnnxba Rx ,0nnnxc Rx 则有则有 : nnnnnnxbxa 00其中其中knnkknbac 0以上结论可用部分和以上结论可用部分和的极限证明的极限证明 .nnnxa 0nnnxb 0设

14、幂级数设幂级数1.1.代数运算性质代数运算性质: :2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : 0nnnxa)(xS),(RR 幂级数幂级数的和函数的和函数在收敛区间在收敛区间内连续内连续, , 0nnnxa)(xS),(RR ),(RRx (2)(2)幂级数幂级数的和函数的和函数在收敛区间在收敛区间内可积内可积, ,可逐项积分可逐项积分. . xdxxs0)( 00nxnndxxa.110 nnnxna( (收敛半径不变收敛半径不变) )即即 xnnndxxa00)(在端点收敛在端点收敛,则在端点单侧连续则在端点单侧连续.且对且对 0nnnxa)(xS),(RR (3)(3)幂级

15、数幂级数的和函数的和函数在收敛区间在收敛区间内可导内可导, , 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次. 即即 0)()(nnnxaxs 0)(nnnxa.11 nnnxna( (收敛半径不变收敛半径不变) )例例6. 1nnxn求求幂幂级级数数的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发时级数发,)1,1(时时故当故当 x 1)(nnxnxS 1)(nnxx xxx12)1(xx . )(xS 11nnxnx 1nnxx散散,解解,)1()(11 nnnnxxS, 0)0( S显显然然两边积分得两边积分得001( )1xxS t dtdtt 2

16、1)(xxxS,11x )11( x,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxS 0( )(0)( )ln(1)xS xSS t dtx 即即例例7 求级数求级数 1)1(nnnnx的和函数的和函数.ln(1)x解解11(1),nnn nx 考考虑虑级级数数收敛区间收敛区间(-1,1),(-1,1),11( )(1)nnS xn nx 则则11()nnx 2()1xx 32,(1)x 12)1(nnnn故故11( )22S . 8 12)1(nnnn例例8 求求的和的和.11()nnx 四四 函数展开成幂级数函数展开成幂级

17、数1 函数的幂级数展开式泰勒级数函数的幂级数展开式泰勒级数问题问题: :2) 2) 如果能展开，如果能展开，na3) 3) 展开式是否唯一展开式是否唯一? ?1) 1) 在什么条件下才能展开成在什么条件下才能展开成如何计算？如何计算？0 xx 的的冪冪级数：级数： 00)(nnnxxa4) 在什么条件下在什么条件下 00)(nnnxxa收敛到收敛到)(xf)(xf)(0 xU )(0 xU nnnxxaxf)()(00 如果函数如果函数在在内具有任意阶导数内具有任意阶导数, , 且在且在 nnxxaxxaaxf)()()(0010有有)(0 xf,0a )(00 xfa 10021)()(2)

18、(nnxxnaxxaaxf10)(axf )(01xfa )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnnnnanxf!)(0)( !)(0)(nxfann 定义定义 设设)(xf在在0 x的某个领域内有任意阶导数的某个领域内有任意阶导数, 则幂级数则幂级数 000)()(!)(nnnxxnxf nnxxnxfxxxfxf)(!)()()(00)(000称为称为)(xf在在0 x处的处的泰勒泰勒(Taylor)级数级数， 而系数而系数 na!)(0)(nxfn称为称为泰勒系数泰勒系数。特别当特别当00 x时，时，幂级数幂级数 0)(!)0(nnnxnf nnxnfxff!)0()0()0(

19、)(称为称为)(xf的的麦克劳林麦克劳林(Maclaucin)级数级数。综上所述综上所述)(xf可以展开成幂级数可以展开成幂级数的必要条件是的必要条件是 10)(nnnxxa)(xf在在0 xx 的某个领域内有任意阶的某个领域内有任意阶导数，导数，且此幂级数必是且此幂级数必是)(xf在在0 x处的泰勒级数，处的泰勒级数，即即的幂级数展开式是唯一的。的幂级数展开式是唯一的。)(xf2 )(xf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于的充要条件的充要条件)(xf定理定理4 各阶导数各阶导数, )(0 xU则则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是是 f (

20、x) 的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:.0)(lim xRnn设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf 令令)()()(1xRxSxfnn )(limxRnn )()(lim1xSxfnn ,0 )(0 xUx knkknxxkxfxS)(!)()(000)(1 )(0 xUx 4)在收敛区间上考察当在收敛区间上考察当 n时，时，)(xf的泰勒公式的泰勒公式余项余项)(xRn1)1()!1()( nnxnf )0(之间之间与与介于介于x 是否趋向于是否趋向于零，零， 若是则所求的幂级数在收

21、敛区间上收敛于若是则所求的幂级数在收敛区间上收敛于)(xf3 函数展开成幂级数函数展开成幂级数(直接展开法直接展开法)步骤步骤1) 求求),(xf ),(,)(xfn2) 求求),(,),(),(0)(00 xfxfxfn 3) 写出写出x的幂级数的幂级数,!)0(0)( nnnxnf并求其收敛半径并求其收敛半径R例例9将函数将函数xexf )(展开成展开成x的幂级数。的幂级数。解解xnexf )()(), 2 , 1( n1)0()( nf), 1 , 0( n)(xf的麦克劳林级数的麦克劳林级数 0)(!)0(nnnxnf ! 212nxxxn收敛区间为收敛区间为),(1|( )| |(1

22、)!nneRxxn | |1|(1)!xnexn 0()n 所以所以201!2!nnxnxxxexnn (,)x 例例10 将将xxfsin)( 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: )()(xfn )0()(nf得级数得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为其收敛半径为 , R对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满其余项满足足 )( xRn)1(sin(2 n! )1( n1 nx! )1(1 nxn12 kn),2,1,0( k3! 31x 5! 51x 12)!12(1)1(nnxn n0kn2 ,)1(k ,0),( xxsin 123)!12()1(! 31nnxnxx 0

23、12)!12()1(nnnxn20( 1)cos(2 )!nnnxxn 类似可推出类似可推出:),( x212111( 1)2 !(2 ) !nnxxn 例例11 将函数将函数mxxf)1()( 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数, 其中其中m为任意常数为任意常数 . 解解: 易求出易求出 , 1)0( f,)0(mf , )1()0( mmf, )1()2)(1()0()( nmmmmfn于是得于是得 级数级数 mx1 2!2)1(xmm由于由于1lim nnnaaRnmnn 1lim1 nxnnmmm!)1()1(级数在开区间级数在开区间 (1, 1) 内收敛内收敛. 因此对任意常数因此对

24、任意常数 m, 11, )( xxF 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1( 1! )1()1()1(111)(nxnnmmxmmxF xmxF1)()()1(xFx ),(xmF mxxF)1()( xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF 1)0( F则则为避免研究余项为避免研究余项 , 设此级数的和函数为设此级数的和函数为 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1( xmxm1)1()11( x称为称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：(1) 在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与 m 有关有关 .(2) 当当 m 为正整数时为正整数时

25、, 级数为级数为 x 的的 m 次多项式次多项式, 上式上式 就是代数学中的就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得由此得 对应对应1,2121 m的二项展开式分别为的二项展开式分别为xx2111 2421x 364231x )11( x 48642531x111 x24231x 3642531x )11( x 486427531xx21 111 x2x3x)11(x nnx)1(x )11(11120 xxxxxxnnn4 函数展开成幂级数函数展开成幂级数(间接展开法间接展开法)211x11x 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例12

26、 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 因为因为21nxxx )11(x把把 x 换成换成2x 211x nnxxx242)1(1)11( x, 得得将所给函数展开成将所给函数展开成 幂级数幂级数. 例例13 将函数将函数21( )2f xxx 展开成展开成x的幂级数的幂级数.解解21( )2f xxx 111321xx 211122 1xx 0122nnnx | 1,2x | 2x 11x 0( 1)nnnx | 1,x| 1x 21( )2f xxx 102nnnx 10132nnnx 01( 1)3nnnx 1011( 1) 32nnnnx | 1x min1,2 例例

27、14 将函数将函数)1ln()(xxf 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: xxf 11)()11()1(0 xxnnn从从 0 到到 x 积分积分, 得得ln(1)x,1)1(01 nnnxn定义且连续定义且连续, 区间为区间为.11 x11x11x 上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛 ,有有在在而而1)1ln( xx所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛00( 1)dxnnnxx 011xdxx 00( 1)xnnnx dx 特别取特别取x =1可得可得 11)1(41312112lnnn因此因此 11)1()1ln(nnnxn

28、x nnxnxx12)1(2111 x例例15 将函数将函数21( )(1)f xx 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 2001( )(1)xxf x dxdxx 111x 01( 1)nnnx 11x 21( )(1)f xx 0( )xf x dx 0(1( 1)nnnx 1( 1) ()nnnx 11( 1)nnnnx 0( 1) (1)nnnnx 11x 例例16 将将3412 xx展成展成 x1 的幂级数的幂级数. 解解: )3)(1(13412 xxxx)3(21)1(21xx 141 21 x 4121 x 222)1(x nnnx2)1()1( 81141 x 224

29、)1(x nnnx4)1()1( nnnnnx)1(2121)1(3220 )31( x)21( x 181 41 x1五五 函数的幂级数展开式的一些应用函数的幂级数展开式的一些应用1 近似计算近似计算,21 naaaA,21naaaA 12.nnnraa误差误差两类问题两类问题: : 1.1.给定项数给定项数, ,求近似值并估计精度求近似值并估计精度; ;2.2.给出精度给出精度, ,确定项数确定项数. .关健关健: :通过估计余项通过估计余项, ,确定精度或项数确定精度或项数. .常用方法常用方法: :1.1.若余项是交错级数若余项是交错级数, ,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解

30、决; ; 2. 2.若不是交错级数若不是交错级数, ,则放大余和中的各项则放大余和中的各项, ,使之成为等使之成为等 比级数或其它易求和的级数比级数或其它易求和的级数, ,从而求出其和从而求出其和. .例例17175,10 .e 计计算算 的的近近似似值值 使使其其误误差差不不超超过过解解,!1! 2112 nxxnxxe1,x 令令1111,2!en 得得余和余和: : )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn 510,nr 欲欲使使5110 ,!n n 只只要要5!10 ,n n 即即58 8!32256010 , 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 例例18 计算计算5240.104 32r8231!2541 12331!35941 16431!4514941 )31511(324045 9926. 200741. 03 的近似值的近似值, 精确到精确到 282811811131!254134105 . 0 13 43151 8231!2541 12331!35941解解: 553243240 514)1(331 例例191930sinsin9,3!.xxx 利利用用计计算算的的近近似似值值 并并估估计计误误差差解解20sin9sin