高数空间解析几何学 平面与空间直线的方程

1、1水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形曲面的实例：曲面的实例：第四节第四节 曲面和空间曲线曲面和空间曲线一一 曲面及其方程曲面

2、及其方程2一般研究空间曲面主要考虑一般研究空间曲面主要考虑两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程3例例 1 1 求与原点求与原点O及及)4 , 3 , 2(0M的距离之比为的距离之比为2:1的的点的全体所组成的曲面方程点的全体所组成的曲面方程. 解解设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx

3、.911634132222 zyx所求方程为所求方程为4例例 2 2 已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求线线段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程. 设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解5zxyo例例3 3 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移

4、移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c6例例 4 4 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为R的的球球面面方方程程. 解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 1. 球面球面7播放播放定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿

5、定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL2、柱面、柱面8柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面9从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12

6、222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y10定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放3、旋转曲面、旋转曲面11xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点点M到到z轴轴的的距距离离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd12将将 代入代入2211,yxyzz 0),(1

7、1 zyf , 0,22 zyxfyoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕z轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程.得方程得方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf13例例5 5 直直线线L绕绕另另一一条条与与L相相交交的的直直线线旋旋转转一一周周，所所得得旋旋转转曲曲面面叫叫圆圆锥锥面面两两直直线线的的交交点点叫叫圆圆锥锥面面的的顶顶点点，两两直直线线的的夹夹角角 20叫叫圆圆锥锥面面的的半半顶顶角角试试建建立立顶顶点点在在坐坐标标原原点点，旋旋转

8、转轴轴为为z轴轴，半半顶顶角角为为 的的圆圆锥锥面面方方程程xozy解解 yoz面上直线方程为面上直线方程为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 14例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕x轴轴和和z轴轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面15（ 2） 椭椭 圆圆 012222xczay绕绕y轴轴 和和z轴轴 ；绕绕y轴轴旋旋转转绕

9、绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面（3）抛抛物物线线 022xpzy绕绕z轴轴；pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面16 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考题思考题17思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆心在圆心在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴为中心轴

10、的圆柱面轴为中心轴的圆柱面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程18 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：二、空间曲线及其方程二、空间曲线及其方程 1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程19例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx

11、表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.20例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.21 )()()(tzztyytxx 当给定当给定1tt 时，就得到曲线上的一个点时，就得到曲线上的一个点),(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全，随着参数的变化可得到曲线上的全部点部点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程22 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间

12、，运动到M点点 例例 3 3 如如果果空空间间一一点点M在在圆圆柱柱面面222ayx 上上以以角角速速度度 绕绕z轴轴旋旋转转，同同时时又又以以线线速速度度v沿沿平平行行于于z轴轴的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常数数），那那么么点点M构构成成的的图图形形叫叫做做螺螺旋旋线线试试建建立立其其参参数数方方程程A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo23螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 2

13、4 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影25如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面26类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yo

14、z面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy27例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx28所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z29例例5 5 求求抛抛物物面面xzy 22与与平平面面 02

15、zyx 的的截截线线在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,30（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx31例例6： 求椭圆抛物面求椭圆抛物面zxy 222与抛物柱面与抛物柱面zx 22的交线关于的交线关于xoy面的投影柱面和面的投影柱面和在在xoy面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程.,22222 zxzxy解：交线方解：交线方 程为程为消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的

16、投影为面上的投影为xoy.0122 zyx32部分空间立体或曲面在坐标面上的投影部分空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面33例例7.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去34面上的投影为面上的投影为在在则交线则交线xoyC . 0, 122zyx一个圆一个圆,面上的投影为面上的投影为所求立体在所求立体在 xoy. 122 yx35空间曲线的一般

17、方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程四、小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT36一、一、 填空题：填空题：1 1、 与与Z轴和点轴和点)1,3,1( A等距离的点的轨迹方程是等距离的点的轨迹方程是_；2 2、 以点以点)1,2,2( O为球心，且通过坐标原点的球面为球心，且通过坐标原点的球面方程是方程是_；3 3、 球面：球面：07442222 zyxzyx的球心是的球心是点点_，半径，半径 R _ _；4 4、 设曲面方程设曲面方程22ax+ +

18、22by+ +22cz=1=1，当，当ba 时，曲面可由时，曲面可由xoz面上以曲线面上以曲线_绕绕_轴旋轴旋转面成，或由转面成，或由yoz面上以曲线面上以曲线_ 绕绕_轴旋转面成轴旋转面成 ; ;练练 习习 题题375 5、 若若柱柱面面的的母母线线平平行行于于某某条条坐坐标标轴轴，则则柱柱面面方方程程的的特特点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 曲曲面面1422 zyx是是由由_ _ _ _ _ _ _ _绕绕_ _ _ _ _ _ _ _ _ _轴轴放放置置一一周周所所形形成成的的；7 7、 曲曲面面222)(yxaz 是是由由_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

19、_ _ _ _ _绕绕_ _ _ _ _ _轴轴旋旋转转一一周周所所形形成成的的；8 8、 方方程程2 x在在平平面面解解析析几几何何中中表表示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在在空空间间解解析析几几何何中中表表示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；9 9、 方方 程程422 yx在在 平平 面面 解解 析析 几几 何何 中中 表表 示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 在在 空空 间间 解解 析析 几几 何何 中中 表表 示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .38

20、二二、 画画出出下下列列各各方方程程所所表表示示的的曲曲面面：1 1、222)2()2(ayax ；2 2、14922 zx ；3 3、22xz . .39练习题答案练习题答案一、一、1 1、0112622 zyxz； 2 2、0244222 zyxzyx；3 3、(1,-2,2),4(1,-2,2),4； 4 4、, 1, 1, 1222222222222ybyaxzczbyzczax yczby, 12222 ； 5 5、不含与该坐标轴同名的变量；、不含与该坐标轴同名的变量； 6 6、xoy面上的双曲线面上的双曲线yyx, 1422 ； 7 7、面面yoz上的直线上的直线 zayz, ；

21、8 8、平、平y行于行于轴的一条直线轴的一条直线, ,与与面面yoz面平行的平面；面平行的平面； 9 9、圆心在原点、圆心在原点, ,半径为半径为 2 2 的圆的圆, ,轴为轴为轴轴z, ,半径为半径为 2 2 的圆柱面的圆柱面. .40二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴41二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲

22、面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴42二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴43二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴44二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面

23、上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴45二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴46二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴47二、旋转曲面二、旋转曲

24、面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴48二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴49二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋

25、转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴50二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴51二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴52定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动

26、的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL53定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL54定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为

27、柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL55定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL56定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL57定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动