中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法

1、中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法圆与圆位置关系是初中几何的一个重要内容，也是学习中的难点，本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。例1. 如图1，O1和O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD/EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证：CE=DF。图1分析：CE和DF分别是O1和O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，那么可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，那么易证明。证明：连结AB因为

2、又所以即CE/DF又CD/EF所以四边形CEFD为平行四边形即CE=DF2. 作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。例2. O1和O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。求的度数。图2分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解。解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。连结O1、O2，交AB于C，那么。分别在和中，利用锐角三角函数可求得故当AB位于O1、O2同侧时，如图3图3那么综上可知或3. 两圆相切，作过切点的公切线利用弦切角定理沟通两圆中角的关系例3. 如图4，O1和O2外切于点P，A

3、是O1上的一点，直线AC切O2于C，交O1于B，直线AP交O2于D。求证PC平分。图4分析：要证PC平分，即证而的边分布在两个圆中，难以直接证明。假设过P作两圆的公切线PT，与AC交于T易知由弦切角定理，得又是的一个外角所以又从而有即PC平分4. 两圆相切，作连心线利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题。例4. 如图5，O1与半径为4的O2内切于点A，O1经过圆心O2，作O2的直径BC，交O1于点D，EF为过点A的公切线，假设，求的度数。图5分析：是弦切角，要求其度数，需将其转化为圆周角或圆心角，因此连结O1O2、O1A，那么O1O2必过点A，且O2A为O1的直径，易知。连结DA，那么于是

4、又为锐角所以从而有5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。例5. 如图6，O1与O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切O1、O2于点C、D、B、A，且其夹角为，求两圆的半径。图6分析：如图6，连结O1O2、O1A、O2B，过点O2作，构造，下面很容易求出结果。请同学们自己给出解答。与当今“老师一称最接近的“老师概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问?示侄孙伯安?诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。于是看，宋元时期小学老师被称为“老师有案可稽。清代称主考官也为“老师，而一般学堂里的先生那么称为“老师或“教习。可见，“

5、老师一说是比较晚的事了。如今体会，“老师的含义比之“老师一说，具有资历和学识程度上较低一些的差异。辛亥革命后，老师与其他官员一样依法令任命，故又称“老师为“教员。与当今“老师一称最接近的“老师概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问?示侄孙伯安?诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。于是看，宋元时期小学老师被称为“老师有案可稽。清代称主考官也为“老师，而一般学堂里的先生那么称为“老师或“教习。可见，“老师一说是比较晚的事了。如今体会，“老师的含义比之“老师一说，具有资历和学识程度上较低一些的差异。辛亥革命后，老师与其他官员一样依法令任命，故又称“老师为“教员。答案：两圆的半径分别为3和1“师之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生而来。其中“师傅更早那么意指春秋时国君的老师。?说文解字?中有注曰：“师教人以道者之称也。“师之含义，如今泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师的原意并非由“老而形容“师。“老在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老“师连用最初见于?史记?，有“荀卿最为老师之说法。渐渐“老师之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师当然不是今日意义上的“老师，其