浅谈交流电的向量表示法

1、浅谈交流电的向量表示法开封市供电公司、电工进网作业培训班辅导教师 胡慈丹我们都知道，当我们用交流电压表测量两相对地220V 之间的交流电压时，是380 V。测量两点电压，相当于两点对地（或对公共线）电压相减，这里为什么“220-2200”而是380呢？这要从交流电的向量谈起。1              什么是向量。向量也称矢量，就是带方向的量，我们平常所用的是算术量或代数量，是不带方向的。举个例子。某人从家中（图1中A 点）向北走3公里到 B点，然后再向西走4公里

2、到C点，如果问他走了多少路，那么：3+4=7，他走了7公里，这是算术量，但如果问他从家到停止的地方移动了多少距离，即位移多少，那么就“3+47”了。我们用比例尺量一下AC两点的长度，是5公里。图中带箭头的线段AB、BC、AC就是向量。2  交流电的向量。众所周知，交流电是随时间按正弦规律变化的，图2（a）以交流电压为例，表现了这一特性。图2左边圆形中，纵直径表示电压的比例尺，横直径从圆心O向右是开始轴。带箭头的线段，以Um为半径，以不变的角速度，以逆时针方向旋转，它与横轴的夹角跟着变化，它的垂直高度（线段在纵轴上的投影，就是正弦）代表的瞬时值也在变化，每经过一个时间t，就有相应的角度

3、和瞬时值与之对应。如此往复下去，向右展开为一条无限长的曲线，就是正弦曲线。图中“带箭头的线段”既有长度（Um），又有方向（角度），所以就是向量。交流电的向量是旋转向量，向量每旋转一周360º的时间称为一个周期，用T表示。每秒钟包含的周期数称为频率，用f表示。图中不同箭头表示了一个向量的不同角度。    向量旋转的角度又称为相位。向量在一个时间起点下所处的相位称为初相位。比如图2（a）中当开始（时间在0秒）时向量处在OA 位置，那么这个向量初相位就是0，对应于右边图2（a）的曲线。当开始（时间在0秒）时向量处在OB位置，那么这个向量初相位就是，曲

4、线示于图2（b）。表达式是：u=Umsin(t+)其中，u为瞬时值，Um为峰值，=2f为角速度，f为频率，我国为每秒50周（50赫芝），2相当于一周360°，t为时间秒，为初相位。电流表示相同。t=2ft表示向量在旋转，向量的某一瞬间位置由时间变量t决定的相位和初相位常数之和来确定。而以下我们研究向量分析和计算时，因为各向量都以同速旋转，向量的位置就由初相位、也就是相对位置来决定了。Um是交流电压的极大值、峰值或称振幅值，代表向量的长度。但这使用着很不方便，因为我们平时无法直接得到这个值，常将有效值用于向量中，比如220V,380V 等。有效值我们经常在使用，有的读者未必说得清楚。概

5、念是这样的：比如交流电压，数值每时每刻都在变化，没有一个稳定的值，那么怎样用稳定的方法表示呢？科学上让交流电和直流电分别带相同的电阻负载，当两者所发热量相等时，那么此时测到的直流电压就是交流电压，这是可以用理论计算出来的，等于交流电最大值（或峰值）的0.707倍，电流也是这样。交流电压或电流表也是按有效值原理制成的，故可以稳定地显示交流电的电压或电流有效值。我们平常非特别说明，都是指的有效值。有效值电压、电流、电动势用大写字母表示，如U、I、E等，如图2(a)曲线上的U。极大值用大写字母下脚加m表示,如Um、Im、Em等。现在再回到向量上来。不同的交流电向量有不同的初相位，他们之间的差称为相位

6、差。因频率相同（本文均指同频率），这个相位差是永久不变的，可以说是“相对静止”的。就 象几个人长跑比赛，在发令枪响时，各处于不同的起跑线上同时起跑，又始终坚持相同的速度，不管跑多少圈，他们的相对位置是不变的。于是我们就能以标明初相位的方式将诸多交流电的量表示出来。图3是两个电压向量， U 1的初相位为0，U2的初相位为。因逆时针方向    为正方向， U2引前U1一个角度。图4画出三相交流电压的向量图， UA初相位为0， UB 初相位240º； UC初相位120º；UA引前UB120º，UB引前UC120º，UC又

7、引前UA120º，此顺序称为正相序。 3交流电量（电压、电动势或电流）的相加。交流电路中，经常遇到两个及以上交流电的量（电压、电动势或电流）相加或相减的情况。比如两个同相位的交流电量相加，直接将两个有效值相加就行了，但我们经常遇到的是两个不同相位的交流电量相加，怎么办呢？一个办法是，将各瞬时值加起来，得到一条两者之和的正弦曲线，再取有效值。不过这样太麻烦了。第二个办法就是我们要讲的办法，只须将两者向量相加，得出向量和。因为曲线是由向量描绘的，向量按一定规则相加，也等于曲线相加，但方便多了。 4向量的加减运算作图法。41向量的加法运算平行四边形法。我们以图3向量为例，U1、U2相加，作

8、法示于图5。U1初相位为0，U2初相位为1，先以U2末端为起点作U1平行线，长度与U1相等，再在U1末端作U2的平行线，长度与U2相等；然后从原点出发连接对角线， 画上箭头，就是向量的和U3 ，2是其初相位。如图5.由平行四边形法派生出三角形法。只在U2末端作U1的平行线，连接三角形的底边即可。 假如我们来作图3左边两向量的相加，得出向量和，该和的幅度、相位、频率（交流电的三要素）具备，也能据此在右边描绘出曲线，而等于前两条曲线之和，所以向量相加和曲线相加是等效的。如果两个以上交流电量相加，先加好两个，再将这两个的和与第三量相加，依次类推。42 向量的减法运算减正等于加负。还用图3为例，作法如

9、图6。U3=U1- U2= U1+（-U2） 先作U2的反向延长线，并与U2长度相等得-U2，然后再用平行四边形法相加，得U1和U2之差U3 ，2是该向量差的初相位。作图时用比例尺和量角器，最后用比例尺测量运算结果。向量的加减运算精确的方法是几何法和复数法。5应用实例。51电压三角形。例1       交流电压U加于电感和电阻串联的电路上,如图(a),请作电压关系的向量图。作图：图7(a)为串联电路，交流电压U是电阻上的电压降UR与电感上的电压降UL的向量和。电流I为公共所有，作参考向量，取初相位为0，先作一水平向量I，如图7(b)

10、。电阻上的电压降UR根据理论与电流同相位，应作于电流I的向量上。电感上的电压降，根据理论其相位较电流越前90º，由此作向量UL，再用三角形法，作出UR与UL的向量和U。注意，UR和UL是不能作代数相加的。比如UR=100V， UR=120V，那么，他们的和不是220V，而用向量相加是156V（用勾股定理）。 图7(b) UR、UL 与U组成电压三角形，是电压U较电流I引前的角度。同样，仿此可以作出电阻与电容串联电路的电压三角形，不过在作电容上的电压降时，电压UC应滞后电流90º。52三相电压之和。在电压互感器二次回路中，有将三相电压线圈首尾分别相连，串联起来最后开口，如图8

11、A，称“开口三角”，作绝缘监视用。如果每相电压100V，在开口处接一个交流电压表V，当三相电压平衡时，会指示多少？这是三相电压的串联接法，开口处应该是三相电压相加，但不是300V。这是向量相加,看图8B。先用平行四边形法，将UB、UC相加，于是得出一条与UA方向相反、大小相等的向量- UA，再与UA相加，得零。当三相电压平衡时，三相电压之和为零。53三相电流之和。在电流互感器二次回路中,三相二次电流经过负载（仪表或继电器电流线圈）后，连接在一起，与N端相连，形成三相电流之和IN ，如图8B（a）。如果每相电流均为1A，当三相电流平衡时，图中所接交流电流表会指示3A吗？这是三相电流之向量和，不是

12、3 A。作图法与上例相仿，三相电流之和为零。但值得一提的是，工程中，常常采用A、C两相电流互感器，形成A、C两相电流之向量和，那么，IN=IA+IC= -IB。这时流过电流表的电流是1A。 54交流电的线电压。现在我们回到本文开头提到的问题，测量交流电两相对地电压均为220V的火线之间的电压，为什么是380V 。（火线对地电压称相电压，火线之间的电压称线电压）图9(a)是三只测量两相火线的交流电压表及测量接线。当每相对地电压均为220V 且三相电压平衡时，三只电压表均指示380 V。我们证明一个就够了。看图9(b)。跨接测量UA 、UB的线电压UAB，相当于：UAB=UA- UB=

13、UA+（- UB）利用三角法，在UA末端引一条与UB方向相反、大小相等的平行线段-UB，连接三角形底边，作UA与- UB的相加，即为UAB。现在来证明UAB的长度。很容易证明，UAB与UA的夹角是30º。从三角形顶点向底边作一条垂直平分线。那么，1/2 UAB=UAcos30º=0.866UAUAB=2×0.866 UA=1.732 UA当UA=220V时，UAB=2×0.866×220V=380V如果对三角函数掌握不够，用比例尺按题意作图，并用比例尺测量结果也是380V。注意UAB不能写作UBA，两者方向是相反的。55三相功率测量的“两元件法

14、”。电工测量中，对三相三线制有功功率或有功电能的测量，常采用“两元件法”。第一功率元件P1：取A相电流IA ，线电压UAB；第二功率元件P2：取C相电流IC ，线电压UCB；最后将两元件功率相加。本例要求画出向量图表示上述关系。先画出两元件法接线图如图10(a)。作向量图：先作三相电压向量图；作A、C两相电流IA、IC ，按一般功率因数，分别稍稍滞后UA、UC一个角度1、2；用74例作线电压UAB ；仿74例先作线电压UBC，再作UBC的相反向量UCB；标出第一元件UAB和IA的夹角30º+1以及第二元件UCB和IC的夹角30º-2。作图完毕。见图10（b）。功率计算公式为

15、：P1=IAUABCOS(30º+1)P2=ICUCBCOS(30º-2)P= P1+ P2= IAUABCOS(30º+1) + ICUCBCOS(30º-2) 用向量图分析接线原理，一目了然。现在有厂家生产的相位电压表或多功能测试仪表，可以在表计的显示屏上一次显示出图10（b）所示向量图来，非常直观，可以很方便地查出接线错误。 6结束语。    交流电表示为向量，力学、位移等都是空间向量，而交流电向量是按时间变化的量，是旋转向量。时间向量所以可以用空间向量表示，比如日晷，是按照太阳照射标杆在盘面上的投影的旋转表示时间的，这个盘面就是空间。对于交流电的向量，必需注意的是，不同量交流电必须是同频率