初中数学二次函数的应用(二)

1、 二次函数的应用目标指引 1运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义 2体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题 3经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，学会运用这种“转化的数学思想方法要点讲解 1在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型 2运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题学法指导 1当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取适宜的变量，建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：1变量的取值范围；2求最值时，宜用配方法 2有关最

2、大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答例题分析 【例1】如图，在ABC中，B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，沿着AB向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P，Q同时出发，问： 1经过几秒后P，Q的距离最短？2经过几秒后PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts，显然AP和BQ的长度分别为AP=t，BQ=2t0t6PQ的距离PQ=因此，只需求出被开方式5t212t+36的最小值，就可以求P，Q的最短距离 【解

3、】1设经过ts后P，Q的距离最短，那么： PQ= 经过s后，P，Q的距离最短 2设PBQ的面积为S， 那么S=BP·BQ=6t·2t=6tt2=9t32 当t=3时，S取得最大值，最大值为9 即经过3s后，PBQ的面积最大，最大面积为9cm2 【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围 【例2】某高科技开展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产生产每件产品的本钱为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年

4、销售量为20万件；销售单价假设增加10元，年销售量将减少1万件设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利额年获利额=年销售额生产本钱投资为z万元 1试写出y与x之间的函数关系式不必写出x的取值范围； 2试写出z与x之间的函数关系式不必写出x的取值范围； 3计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，销售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？ 4公司方案：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x元应确定在什么范围？ 【分析】此题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设

5、计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题 【解】1依题意知：当销售单价定为x元时，年销量减少x100万件 y=20x100=x+30 即y与x之间的函数关系式是y=x+30 2由题意可得： z=30xx405001500=x2+34x3200 即z与x之间的函数关系式为z=x2+34x3200 3当x=160时， z=×1602+34×1603200=320， 320=x2+34x3200， 即x2340x+28800=0 由x1+x2=得，160+x=340，x=180 即得到同样的年获利额，销售单

6、价还可以定为180元 当x=160时，y=×160+30=14， 当x=180时，y=×180+30=12 所以相应的年销售量分别为14万件和12万件 4z=x2+34x3200=x1702310， 当x=170时，z取得最大值为310 即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资 第二年的销售单价定为x元时，那么年获利额为： z=30xx40310=x2+34x1510 当z=1130时，即1130=x2+34x1510， 解得x1=120，x2=220函数z=x2+34x1510的大致图象如下列图 由图象可看出： 当120x

7、220时，z1130 第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内练习提升一、根底训练1函数y=的最大值是_2炮弹从炮口射出后飞行的高度h米与飞行的时间t秒之间的函数关系式为h=v0tsin5t2，其中v是发射的初速度，是炮弹的发射角，当v0=300米/秒，=30°时，炮弹飞行的最大高度为_米，该炮弹在空中飞行了_秒落到地面上3如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽AB=1.6米时，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，在图中的直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式为_ 4如图，直角三角形AOB中，ABOB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影局部的面积为S

8、，那么S与t之间的函数关系的图象为 5如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于 A2.80米 B2.816米 C2.82米 D2.826米6如图，今有网球从斜坡OA的点O处抛出，网球的抛物路线的函数关系是y=4xx2，斜坡的函数关系是y=x2，其中y是垂直高度，x是与点O的水平距离 1求网球到达的最高点的坐标； 2网球落在斜坡上的点A处，写出点A的坐标7某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，假设每箱以50元的

9、价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱 1求平均每天销售量y箱与销售价x元/箱之间的函数关系式； 2求该批发商平均每天的销售利润W元与销售价x元/箱之间的函数关系式； 3当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？8如下列图，一位运发动在距篮圈4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，到达最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，篮圈中心到地面的距离为3.05m 1建立如下列图的坐标系，求抛物线的解析式；2该运发动身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问球出手时，他跳离地面的高度是多少？二、提高训练9如图，

10、图中四个函数的图象分别对应的解析式是y=ax2；y=bx2；y=cx2；y=dx2那么a，b，c，d的大小关系为 Aa>b>c>d Ba<c<b<d Ca>c>b>d Dd>c>b>a 10为备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处挑射，正好射中了24m高的球门横梁，假设足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c如图有以下结论：a+b+c>0；<a<0；ab+c>0；0<b<12a其中正确的结论是 A B C D11如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm

11、，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，答复以下问题： 1设运动后开始第t秒时，五边形APQCD的面积为S单位：厘米2，写出S与t之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；2t为何值时S最小？并求出S的最小值12如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B，C，Q，R在同一直线L上，当C，Q两点重合时，等腰PQR以1cm/s的速度沿直线L按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰PQR重合局部的面积为S单位：cm2 1当t=3s时，求S的值； 2当t=5s时，求S的值；

12、3当5t8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值13如图，甲船位于乙船的正西方向26km处，现甲、乙两船同时出发，甲船以每小时12km的速度朝正北方向行驶，乙船以每小时5km的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？三、拓展训练14如图，在直角梯形ABCD中，A=D=90°，截取AE=BF=DG=x，AB=6，CD=3，AD=4，求： 1四边形CGEF的面积S关于x的函数关系式和x的取值范围； 2面积S是否存在最小值？假设存在，求出最小值；假设不存在，请说明理由； 3当x为何值时，S的数值等于x的4倍？答案:1 21125，30 3y=3.75x2 4D 5B 614，8 2A7， 71y=3x+240