韦达定理应用(资料)精编版

1、韦达定理的应用一、典型例题例 1：已知关于x 的方程 2x（ m 1） x 1 m=0的一个根为4，求另一个根。解：设另一个根为x1，则相加，得x例 2：已知方程x 5x 8=0 的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.解：又代入得，新方程为例 3：判断是不是方程9x 10x2=0 的一个实数根？解：二次实数方程实根共轭，若是，则另一根为，。以为根的一元二次方程即为.1例 4：解方程组解：设.A=5. x-y=5又 xy=-6.解方程组可解得例 5：已知 RtABC中，两直角边长为方程x（ 2m 7） x4m（ m2） =0 的两根，且斜边长为 13，求 S的值解：不

2、妨设斜边为C=13，两条直角边为a， b，则 2。又 a， b 为方程两根。ab=4m（ m-2）S但 a， b 为实数且m=5或 6当 m=6时，m=5 S.例 6： M为何值时，方程8x（ m 1） xm 7=0 的两根均为正数均为负数一个正数，一个负数一根为零互为倒数解： m>72不存在这样的情况。 m<7 m=7 m=15.但使不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30 分钟）1. 设 n 为方程 x mxn=0（ n0）的一个根，则 m n 等于2.已知方程x px q=0 的一个根为 2，可求得 p= ,q=3.若方程 x mx 4=0 的两根之差的平方为48，则 m的

3、值为（）A± 8 B.8 C.8 D. ±44.已知两个数的和比a 少 5，这两个数的积比a 多 3，则 a 为何值时，这两个数相等？5.已知方程（ a 3） x 1=ax 有负数根，求a 的取值范围。36.已知方程组的两组解分别为，求代数式a1b2+a2b1 的值。7.ABC中，AB=AC，A ，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 a=3,b 和 c 是关于 x 的方程 x mx2m=0的两个实数根，求ABC的周长。【试题答案】1. 1 2. 4 ， 1 3. A 4. a=1或 135. 3 a 2 提示：分 a= 3 以及 a 3 讨论求解6. 13例 1 已知 p

4、q198 ，求方程 x2 pxq 0 的整数根( 94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、 x2，不妨设 x1x2由韦达定理，得x1 x2 p，x1x2 q于是 x1x2 (x1 x2) p q 198 ，即 x1x2 x1 x21199 (x1 1)(x2 1)199 注意到 x11、x2 1 均为整数，解得 x1 2，x2 200 ；x1 198 ， x20例 2 已知关于 x 的方程 x2(12 m)x m1 0 的两个根都是正整数，求 m 的值解：设方程的两个正整数根为x1、x2 ，且不妨设 x1x2由韦达定理得4x1 x2 12m ，x1x2 m1于是 x1x2 x1

5、 x2 11，即 (x1 1)(x2 1)12 x1、 x2 为正整数，解得 x1 1，x2 5； x12，x2 3故有 m 6 或 7例 3 求实数 k，使得方程 kx2 (k 1)x (k1) 0 的根都是整数解：若 k 0，得 x1 ，即 k 0 符合要求若 k0，设二次方程的两个整数根为 x1、 x2 ，由韦达定理得 x1x2 x1 x22 ，(x11)(x2 1)3 因为 x1 1、x2 1 均为整数，所以例 4 已知二次函数 y x2 pxq 的图像与 x 轴交于 ( ，0)、 ( ，0)两点，且1，求证： p q1( 97四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程x2 px

6、q0 的两根为 、由韦达定理得p， q于是 pq， ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 1(因 1)一元二次方程根的判别式、 判别式与根的个数关系、 判别式与根、 韦达定理及其逆定理大纲要求1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况， 也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；54.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的根的判别

7、式 b2-4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根当 0 时，方程有两个相等的实数根，当 0 时，方程没有实数根2. 一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根是 x1， x2，那么 x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a(2)如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1 ，x2 ，那么 x1+x2=-P ，x1x2=q (3) 以 x1，x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1) 是x2-(x1+x2)x+x1x2=0 3. 二次三项式的因式分解 ( 公式法 ) 在分解二次三项式 ax2+bx+c 的因式时，如 果 可 用 公 式 求 出

8、 方 程ax2+bx+c=0的 两 个 根 是x1,x2 ， 那 么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 考查重点与常见题型1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况， 有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于 x 的方程 ax2 2x10 中，如果 a<0 ，那么根的情况是（）（ A）有两个相等的实数根 （ B）有两个不相等的实数根（ C）没有实数根 （ D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值， 有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设 x1， x2 是方程 2x2 6x 3 0 的两根，则 x12 x22 的值是（ ）（

9、A）15 （B）12 （C）6 （D）33在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题， 考查了考生分析问题、 解决问题的能力。考查题型1关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 中，如果 a<0 ，那么根的情况是（）（ A）有两个相等的实数根（ B）有两个不相等的实数根（ C）没有实数根（ D）不能确定2设 x1， x2 是方程 2x2 6x 3 0 的两根，则 x12 x22 的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）363下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（ A） 2y2+5=6y （B）x2+5=25 x（ C）

10、3 x22 x+2=0（D）3x2 26 x+1=04以方程 x22x 30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（ A） y2+5y 6=0 （B）y2+5y 6=0 （C）y25y 6=0 （D）y2 5y6=0 5如果 x1 ，x2 是两个不相等实数，且满足 x12 2x1 1， x22 2x2 1，那么 x1?x2 等于（ ） （ A ）2 （ B） 2 （C）1 （D） 1 6如果一元二次方程 x2 4x k20 有两个相等的实数根，那么 k7如果关于 x 的方程 2x2 (4k+1)x 2 k2 10 有两个不相等的实数根， 那么k 的取值范围是8已知 x1 ，x2 是方程

11、2x27x 40 的两根，则 x1 x2 ，x1?x2 ，（x1 x2）2 9若关于 x 的方程 (m2 2)x2 (m 2)x 1 0 的两个根互为倒数，则 m二、考点训练：1、 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2x=5 (2)9x2 6 2 +2=0 (3)x2 x+2=02、 当 m= 时，方程 x2+mx+4=0 有两个相等的实数根； 当 m= 时，方程 mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根；3、 已知关于 x 的方程 10x2 (m+3)x+m 7=0，若有一个根为0，则 m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为 3/5 ，则 m=，这时方程的两个根为 . 4、已知

12、32是方程 x2+mx+7=0 的一个根，求另一个根及m 的值。5、 求证：方程 (m2+1)x2 2mx+(m2+4)=0没有实数根。6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是15和 1+5。7、设 x1,x2 是方程 2x2+4x 3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2（3）x12+ x1x2+2 x1解题指导1、 如果 x2 2(m+1)x+m2+5 是一个完全平方式，则 m= ;2、 方程 2x(mx 4)=x2 6 没有实数根，则最小的整数 m= ;3、 已知方程 2(x 1)(x 3m)=x(m 4)两根的

13、和与两根的积相等，则 m= ;4、 设关于 x 的方程 x2 6x+k=0 的两根是 m 和 n，且 3m+2n=20 ，则 k 值为 ;5、 设方程 4x2 7x+3=0 的两根为 x1,x2 ，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1 x2 （3） x1 x2 （ 4） x1x22 12 x17 6.实数 s、t 分别满足方程 19s2 99s 1 0 和且 1999t t2 0 求代数式 (st 4s1)/t 的值。7. 已知 a 是实数，且方程 x2+2ax+1=0 有两个不相等的实根，试判别方程 x2+2ax+1 (1/2) (a2x2 a2 1)=0 有无实根？

14、8. 求证：不论 k 为何实数，关于 x 的式子 (x1)(x 2)k2 都可以分解成两个一次因式的积。9实数 K 在什么范围取值时，方程 kx2 2（ k 1）x（ K1） 0 有实数正根？独立训练（一）1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t 4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1) 7u=0, ;2、 若方程 x2 (2m 1)x+m2+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是;3、 一元二次方程 x2+px+q=0 两个根分别是 2+ 3 和 2 3 ，则 p= ,q= ;4、 已知方程 3x2 19x+m=0 的一个根是 1，那么它的另一个根

15、是，m= ;5、 若方程 x2+mx 1=0 的两个实数根互为相反数，那么m 的值是;6、m,n 是关于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式 mn= 。7、 已知关于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求 k 的值 ;8、 如果 和 是方程 2x2+3x 1=0 的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于+(1/ 和) +(1/ ) ;9、 已知 a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10. 取什么实数时，二次

16、三项式 2x2 (4k+1)x+2k2 1 可因式分解 .11.已知关于 X 的一元二次方程m2x2 2（3m） x 1 0 的两实数根为 , ，若 s1/ 1/ ，求 s 的取值范围。独立训练（二）1、 已知方程 x23x+1=0 的两个根为 , ，则 + = , = ;2、 如果关于 x 的方程 x2 4x+m=0 与 x2x2m=0 有一个根相同，则 m 的值为 ;3、 已知方程 2x2 3x+k=0 的两根之差为2又1/2，则 k= ;4、 若方程 x2+(a2 2)x 3=0 的两根是 1和 3，则 a= ;5、 方程 4x2 2(a-b)x ab=0 的根的判别式的值是;6、若关于 x 的方程 x2+2(m 1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为 ;7、 已知 p<0,q<0 ，则一元二次方程 x2+px+q=0 的根的情况是 ;8、 以方程 x2 3x 1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是;9、 设 x1,x2 是方程 2x2 6x+3=0