半角旋转问题

1、几何变换中的半角旋转问题例题：已知：ABC是等腰直角三角形，ACB90°，M，N为斜边AB上两点，如果MCN45°求证: AM2BN2MN2 变式1：由此问题可以产生如下问题ABC是等腰直角三角形，ACB90°， M，N为斜边AB上两点，满足AM2BN2MN2求MCN的度数是上面例2的逆问题，建议利用图形的旋转变式2：正方形ABCD中，边长为4，点E在射线BC上，且CE=2,射线AM交射线BD于N点，且EAN=45°，则BN的长为 3 2 或52 或2 。方法1：图1：正方形的边长为4，BD=42，AE=25 , 由AODBOE，相似比为2：1， 则BO

2、=423，设ON=x , DN=823 x，由旋转得：OB2+DN2=ON2, x= 图2图3方法同上方法2：用旋转相似来解变式3： 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90°,它们的斜边长为2，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF,AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设BE=m ,CD=n.(1) 求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；(2) 以ABC的斜边BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）。在边BC上找一点D，使BD=CE

3、，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2 ; (3) 在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。学生卷例题：已知：ABC是等腰直角三角形，ACB90°，M，N为斜边AB上两点，如果MCN45°求证: AM2BN2MN2 变式1： 已知：ABC是等腰直角三角形，ACB90°， M，N为斜边AB上两点，满足AM2BN2MN2求MCN的度数变式2：已知：正方形ABCD中，边长为4，点E在射线BC上，且CE=2,射线AM交射线BD于N点，且EAN=45°，则BN的长为 变式3： 如图1

4、，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90°,它们的斜边长为2，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF,AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设BE=m ,CD=n.(4) 求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；(5) 以ABC的斜边BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）。在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2 ; (6) 在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成

5、立，请证明，若不成立，请说明理由。1 如图正方形ABCD中，以A为顶点做PAQ=45°，AP，AQ分别交直线BC，CD于E，F。（1） 求证：CEF的面积=正方形ABCD的面积（或者问AC，CE，CF三者的数量关系）（2） 把PAQ绕点A旋转到如图所示的位置时，设此时AQ的反向延长线交直线CD于F，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，试说明理由。（3） 在（2）的条件下，若设AQ交直线BC于G，若BG=3，BE=2，求EF的长。（提示在2页）2 已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶角与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N（1） 当M，N分别在边BC，CD上时，如图1，求证：BM+DN=MN（2） 当M，N分别在边BC，CD所在的直线上