矩形覆盖题解

1、第四题矩形覆盖矩形覆盖（存盘名NOIPG4）问题描述:在平面上有 n 个点（n <= 50），每个点用一对整数坐标表示。例如：当 n4 时，4个点的坐标分另为：p1（1，1），p2（2，2），p3（3，6），P4（0，7），见图一。这些点可以用 k 个矩形（1<=k<=4）全部覆盖，矩形的边平行于坐标轴。当 k=2 时，可用如图二的两个矩形 sl，s2 覆盖，s1，s2 面积和为 4。问题是当 n 个点坐标和 k 给出后，怎样才能使得覆盖所有点的 k 个矩形的面积之和为最小呢。约定：覆盖一个点的矩形面积为 0；覆盖平行于坐标轴直线上点的矩形面积也为0。各个矩形必须完全分开（边

2、线与顶点也都不能重合）。 输入:键盘输人文件名。文件格式为n kxl y1x2 y2. .xn yn （0<=xi,yi<=500) 输出:输出至屏幕。格式为：一个整数，即满足条件的最小的矩形面积之和。 输入输出样例d.in :4 21 12 23 60 7屏幕显示：4分析【题解一】1、本题的难度较大。如果你这样认为：即在假定已用i个矩形（面积和满足最小）覆盖所有点的基础上，穷举所有2个矩形合并成1个矩形（条件是：在所有合并方案中使合并后面积最小），从而使矩形个数减少为i-1那就错了，可是却可以通过前4组测试数据！正确的做法是对不同的K值分别进行计算，好在K值较小，否则.讨论：k=

3、1，只要求出n个点坐标的最大、最小值，就可求得矩形的位置与面积；k=2，有2个矩形，它们只有2种分布形式：左右式（flag=0），上下式（flag=1）12flag=021flag=1对于左右式，显然要先将所有点按横坐标升序排列，可将点1点i-1放入矩形1中，将点i点n放入矩形2中，求两矩形的面积之和；如果面积和比上一个值小，记下；让i从2循环到n,就可完成左右式的全部搜索；对于上下式，先将所有点按纵坐标升序排列，依此类推。k=3，有3个矩形，它们有6种分布形式：123flag=1123flag=0321flag=2123flag=3123flag=4123flag=5要用两重循环进行搜索：设

4、i,j为循环变量，将点1i-1放入矩形1中，点ij-1放入矩形2中，点jn放入矩形3中；点必须在放入前排好序（均为升序）：对于flag=0,所有点按横坐标排序；对于flag=1,所有点按纵坐标排序；对于flag=2,所有点先按横坐标排序，然后点in按纵坐标排序；对于flag=3,所有点先按横坐标排序，然后点1j-1按纵坐标排序；对于flag=4,所有点先按纵坐标排序，然后点1j-1按横坐标排序；对于flag=5,所有点先按纵坐标排序，然后点in按横坐标排序；至于k=4,4个矩形有22种分布形式，实在太复杂！幸好测试数据中没有K=4的情形(似乎有意放了一马？)。据说本题全国没有一人全对！（只要求

5、K=1，2，3）程序清单$A+,B-,D+,E+,F-,G-,I+,L+,N-,O-,P-,Q-,R-,S-,T-,V+,X+,Y+$M 65520,0,655360program NOIPG4; const maxn=50;maxk=3; type rect=record定义"矩形"数据类型 l,r,t,b:word;矩形的左边，右边，下边，上边距坐标轴的距离 end; vxy=record定义"点"数据类型 x,y:word;点的横、纵坐标 end; var ju:array1.maxkof rect; v:array1.maxn,0.2 of vx

6、y;v0:vxy; n,k,i,j,ii,jj:byte;f:text;filename:string; Smin,temp:longint; function intersect(jui,juj:rect):boolean;判断两矩形是否有公共点 var b1,b2,t1,t2,l1,l2,r1,r2:word; begin b1:=jui.b;b2:=juj.b;t1:=jui.t;t2:=juj.t; l1:=jui.l;l2:=juj.l;r1:=jui.r;r2:=juj.r; intersect:=(l2<=r1) and (l2>=l1) or (r2<=r1)

7、 and (r2>=l1) or (l2<=l1) and (r2>=r1) and (t2<=b1) and (t2>=t1) or (b2<=b1) and (b2>=t1) or (b2>=b1) and (t2<=t1); end; function area(ju:rect):longint;求矩形的面积 var temp:longint; begintemp:=ju.b-ju.t;area:=temp*(ju.r-ju.l);不能直接写成area:=(ju.b-ju.t)*(ju.r-ju.l);因为这样可能会溢出！ end;

8、procedure insert(v:vxy;var ju:rect);将点放入矩形 begin if v.x<ju.l then ju.l:=v.x; if v.x>ju.r then ju.r:=v.x; if v.y<ju.t then ju.t:=v.y; if v.y>ju.b then ju.b:=v.y; end; procedure init;初始化 begin write('Input filename:');readln(filename); assign(f,filename);reset(f);readln(f,n,k); for

9、 i:=1 to n do begin read(f,vi,0.x,vi,0.y); vi,1.x:=vi,0.x;vi,1.y:=vi,0.y; end; for i:=1 to n-1 do按横坐标升序排列各点，存入vi,0 for j:=i+1 to n do if vi,0.x>vj,0.x then begin v0:=vi,0;vi,0:=vj,0;vj,0:=v0; end; for i:=1 to n-1 do按纵坐标升序排列各点，存入vi,1 for j:=i+1 to n do if vi,1.y>vj,1.y then begin v0:=vi,1;vi,1:

10、=vj,1;vj,1:=v0; end; end; procedure solve;核心计算 begin smin:=maxlongint; case k of 1:beginK=1的情形 ju1.b:=vn,1.y;ju1.t:=v1,1.y; ju1.r:=vn,0.x;ju1.l:=v1,0.x; smin:=area(ju1); end; 2:for jj:=0 to 1 do beginK=2的情形 flag=0,1的情形 ju1.b:=v1,jj.y;ju1.t:=v1,jj.y; ju1.r:=v1,jj.x;ju1.l:=v1,jj.x; for i:=2 to n do be

11、gin insert(vi-1,jj,ju1);将第i-1点放入矩形1 ju2.b:=vi,jj.y;ju2.t:=vi,jj.y;将第i至n点放入矩形2 ju2.r:=vi,jj.x;ju2.l:=vi,jj.x; for ii:=i+1 to n do insert(vii,jj,ju2); if not intersect(ju1,ju2) then begin如果两矩形不交叉 temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if temp<smin then smin:=temp; end; end; end; 3:begin f

12、or jj:=0 to 1 do begin flag=0,1的情形 ju1.b:=v1,jj.y;ju1.t:=v1,jj.y; ju1.r:=v1,jj.x;ju1.l:=v1,jj.x; for i:=2 to n-1 do begin insert(vi-1,jj,ju1); ju2.b:=vi,jj.y;ju2.t:=vi,jj.y; ju2.r:=vi,jj.x;ju2.l:=vi,jj.x; if intersect(ju1,ju2) then continue; for j:=i+1 to n do begin insert(vj-1,jj,ju2); ju3.b:=vj,jj

13、.y;ju3.t:=vj,jj.y; ju3.r:=vj,jj.x;ju3.l:=vj,jj.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,jj,ju3); if intersect(ju2,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if temp<smin then smin:=temp; end; end; end; flag=2的情形:先竖直划分大矩形；再在右矩形中水平划分 ju1.b:=v1,0.y;ju1.t:=v1,0.y; ju1.r:=v1,0.x;ju1

14、.l:=v1,0.x; for i:=2 to n-1 do begin for ii:=1 to n do vii,2:=vii,0;所有点按横坐标升序排列，存入vi,2 for ii:=i to n-1 do将点i至n按纵坐标升序排列，存入vi,2 for jj:=ii+1 to n do if vii,2.y>vjj,2.y then begin v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0; end;结果：所有点先按横坐标升序排列，然后点i至n按纵坐标升序排列 insert(vi-1,2,ju1);将第i-1点放入矩形1 ju2.b:=vi,2.y;ju2.t

15、:=vi,2.y;将第i点放入矩形2 ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x; if intersect(ju1,ju2) then continue; for j:=i+1 to n do begin insert(vj-1,2,ju2);将第j-1点放入矩形2 ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y;将第j至n点放入矩形3 ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3); if intersect(ju2,ju3) then continue; temp:=0;for ii

16、:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if temp<smin then smin:=temp; end; end; flag=3的情形 for j:=3 to n do begin for ii:=1 to n do vii,2:=vii,0; for ii:=1 to j-2 do for jj:=ii+1 to j-1 do if vii,2.y>vjj,2.y then begin v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0; end; ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y; ju3.r:=vj,2.x

17、;ju3.l:=vj,2.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3); for i:=2 to j-1 do begin ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y; ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x; for ii:=i+1 to j-1 do insert(vii,2,ju2); ju1.b:=v1,2.y;ju1.t:=v1,2.y; ju1.r:=v1,2.x;ju1.l:=v1,2.x; for ii:=2 to i-1 do insert(vii,2,ju1); if intersect(ju1,ju2) or

18、 intersect(ju2,ju3) or intersect(ju1,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if temp<smin then smin:=temp; end; end; flag=4的情形 for j:=3 to n do begin for ii:=1 to n do vii,2:=vii,1; for ii:=1 to j-2 do for jj:=ii+1 to j-1 do if vii,2.x>vjj,2.x then begin v0:=vii,2;

19、vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0; end; ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y; ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3); for i:=2 to j-1 do begin ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y; ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x; for ii:=i+1 to j-1 do insert(vii,2,ju2); ju1.b:=v1,2.y;ju1.t:=v1,2.y; ju1.r:=v1,2.x;ju1.l:=

20、v1,2.x; for ii:=2 to i-1 do insert(vii,2,ju1); if intersect(ju1,ju2) or intersect(ju2,ju3) or intersect(ju1,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if temp<smin then smin:=temp; end; end; flag=5的情形 ju1.b:=v1,1.y;ju1.t:=v1,1.y; ju1.r:=v1,1.x;ju1.l:=v1,1.x; for i:=2 to

21、n-1 do begin for ii:=1 to n do vii,2:=vii,1; for ii:=i to n-1 do for jj:=ii+1 to n do if vii,2.x>vjj,2.x then begin v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0; end; insert(vi-1,2,ju1); ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y; ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x; if intersect(ju1,ju2) then continue; for j:=i+1 to n do begin in

22、sert(vj-1,2,ju2); ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y; ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x; for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3); if intersect(ju2,ju3) then continue; temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii); if temp<smin then smin:=temp; end; end; end; end; end; begin主程序 init; solve; writeln(smin); end.

23、点评：压轴题 据说，本次复赛主要是前三题的竞争，可见本题能得分的人相当少，但是K=1应该说是送分的，K=2也是比较容易的。通过测试，发现在K=3的第4、5组测试数据中仅用到了flag=1的情形，也就是说，只要写出flag=1的程序段就OK了（没写flag=0,2,3,4,5的同学偷着乐?）。【题解二】具体方法是将每个点极角排序然后就是一个经典的DP了：fi,j,k=min(fi,j,k,fi,t,k-1+st+1,j)另外注意要DP两次因为可以是横着的也可以是竖着的具体实现参见以下代码：var  n,m,i,t,ans,last:longint;  x,

24、y:array1.51 of integer;procedure sort(l,r:integer);var  i,j,mid,t:integer;begin  i:=l;j:=r;mid:=x(l+r) shr 1;  repeat    while(xi<mid) do inc(i);    while(xj>mid) do dec(j);    if i<=j then  

25、    begin        t:=xi;xi:=xj;xj:=t;        t:=yi;yi:=yj;yj:=t;              inc(i);dec(j);      end

26、;  until i>j;  if i<r then sort(i,r);  if l<j then sort(l,j);end;procedure qsort(l,r:integer);var  i,j,mid,t:integer;begin  i:=l;j:=r;mid:=y(l+r) shr 1;  repeat    while(yi<mid) do inc(i);   &#

27、160;while(yj>mid) do dec(j);    if i<=j then      begin        t:=xi;xi:=xj;xj:=t;        t:=yi;yi:=yj;yj:=t;         &

28、#160;    inc(i);dec(j);      end;  until i>j;  if i<r then qsort(i,r);  if l<j then qsort(l,j);end;function hight(l,r:integer):integer;var  i,smax,smin:integer;begin  smax:=0;smin:=maxint;

29、60; for i:=l to r do    begin      if yi>smax then smax:=yi;      if yi<smin then smin:=yi;    end;  hight:=smax-smin;end;function min(x,y:longint):longint;begin  if x&l

30、t;y then min:=x else min:=y;end;procedure Dynamic;var  j,k,p:integer;  s:array1.50,1.50 of longint;  f:array1.50,1.50,1.4 of longint;begin  for i:=1 to m do    for j:=1 to m do      for k:=1 to n do  

31、      fi,j,k:=300000;  for i:=1 to m do    for j:=i to m do      begin        si,j:=(xj-xi)*hight(i,j);        fi,j,1:=si,j; 

32、     end;  for p:=1 to m do    for i:=1 to m-p do      begin        j:=i+p;        for k:=2 to n do      

33、    for t:=i to j-1 do            fi,j,k:=min(fi,j,k,fi,t,k-1+st+1,j);      end;  ans:=min(ans,f1,m,n);end;begin  assign(input,'t4.in');reset(input);  a

34、ssign(output,'t4.out');rewrite(output);  readln(m,n);  for i:=1 to m do    readln(xi,yi);  xm+1:=maxint;ym+1:=maxint;  ans:=maxlongint;  sort(1,m);  t:=x1;last:=1;  for i:=2 to m+1 do   &

35、#160;if xi<>t then      begin        qsort(last,i-1);        t:=xi;        last:=i;      end;  Dynamic;&

36、#160; for i:=1 to m do    begin      t:=xi;      xi:=yi;      yi:=t;    end;  sort(1,m);  t:=x1;last:=1;  for i:=2 to m+1 do  

37、;  if xi<>t then      begin        qsort(last,i-1);        t:=xi;        last:=i;      end;  D

38、ynamic;  writeln(ans);  close(input);close(output);end.【题解三】  好吧，我承认，此题真正地震撼了我，我无语。   K明明是1到4的取值，由于数据最大K为3，然后所有的做法竟然都是分情况模拟！K=1时如何，K=2时有哪些分的情况。（上下分，左右分），K=3的时候6种情况。    每次都要排序X,Y坐标，算面积。$A+,B-,D+,E+,F-,G-,I+,L+,N-,O-,P-,Q-,R-,S-,T-,V+,X+,Y+$M 65520,0,6

39、55360program NOIPG4;const maxn=50;maxk=3;type rect=record定义"矩形"数据类型          l,r,t,b:word;矩形的左边，右边，下边，上边距坐标轴的距离        end;        vxy=record定义"点"数据类型  

40、60;       x,y:word;点的横、纵坐标        end;var ju:array1.maxkof rect;      v:array1.maxn,0.2 of vxy;v0:vxy;      n,k,i,j,ii,jj:byte;f:text;filename:string;      Smin

41、,temp:longint;function intersect(jui,juj:rect):boolean;判断两矩形是否有公共点    var b1,b2,t1,t2,l1,l2,r1,r2:word;    begin      b1:=jui.b;b2:=juj.b;t1:=jui.t;t2:=juj.t;      l1:=jui.l;l2:=juj.l;r1:=jui.r;r2:=juj.r;  

42、0;   intersect:=(l2<=r1) and (l2>=l1) or (r2<=r1) and (r2>=l1) or (l2<=l1)           and (r2>=r1) and (t2<=b1) and (t2>=t1) or (b2<=b1) and (b2>=t1)           o

43、r (b2>=b1) and (t2<=t1);    end;function area(ju:rect):longint;求矩形的面积    var temp:longint;    begin      temp:=ju.b-ju.t;      area:=temp*(ju.r-ju.l);    end;procedure insert(v:vxy;var

44、 ju:rect);将点放入矩形    begin      if v.x<ju.l then ju.l:=v.x;      if v.x>ju.r then ju.r:=v.x;      if v.y<ju.t then ju.t:=v.y;      if v.y>ju.b then ju.b:=v.y;  

45、0; end;procedure init;初始化    begin      write('Input filename:');readln(filename);      assign(f,filename);reset(f);readln(f,n,k);      for i:=1 to n do begin        r

46、ead(f,vi,0.x,vi,0.y);        vi,1.x:=vi,0.x;vi,1.y:=vi,0.y;      end;      for i:=1 to n-1 do按横坐标升序排列各点，存入vi,0        for j:=i+1 to n do       &#

47、160;  if vi,0.x>vj,0.x then begin            v0:=vi,0;vi,0:=vj,0;vj,0:=v0;          end;      for i:=1 to n-1 do按纵坐标升序排列各点，存入vi,1      &#

48、160; for j:=i+1 to n do          if vi,1.y>vj,1.y then begin            v0:=vi,1;vi,1:=vj,1;vj,1:=v0;          end;    end;procedure solv

49、e;核心计算    begin      smin:=maxlongint;      case k of        1:beginK=1的情形            ju1.b:=vn,1.y;ju1.t:=v1,1.y;     &

50、#160;      ju1.r:=vn,0.x;ju1.l:=v1,0.x;            smin:=area(ju1);          end;        2:for jj:=0 to 1 do beginK=2的情形   &#

51、160;        flag=0,1的情形            ju1.b:=v1,jj.y;ju1.t:=v1,jj.y;            ju1.r:=v1,jj.x;ju1.l:=v1,jj.x;        

52、    for i:=2 to n do begin              insert(vi-1,jj,ju1);将第i-1点放入矩形1              ju2.b:=vi,jj.y;ju2.t:=vi,jj.y;将第i至n点放入矩形2     

53、;         ju2.r:=vi,jj.x;ju2.l:=vi,jj.x;              for ii:=i+1 to n do insert(vii,jj,ju2);              if not intersect(ju1,ju

54、2) then begin如果两矩形不交叉                temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii);                if temp<smin then smin:=temp;   

55、;           end;            end;          end;        3:begin         

56、   for jj:=0 to 1 do begin flag=0,1的情形              ju1.b:=v1,jj.y;ju1.t:=v1,jj.y;              ju1.r:=v1,jj.x;ju1.l:=v1,jj.x;     

57、0;        for i:=2 to n-1 do begin                insert(vi-1,jj,ju1);                ju2.b:=vi,jj.y;ju2.t:=vi,jj.y

58、;                ju2.r:=vi,jj.x;ju2.l:=vi,jj.x;                if intersect(ju1,ju2) then continue;        

59、60;       for j:=i+1 to n do begin                  insert(vj-1,jj,ju2);                  ju3.b:=vj,

60、jj.y;ju3.t:=vj,jj.y;                  ju3.r:=vj,jj.x;ju3.l:=vj,jj.x;                  for ii:=j+1 to n do insert(vii,jj,ju3); 

61、;                 if intersect(ju2,ju3) then continue;                  temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii);  

62、60;               if temp<smin then smin:=temp;                end;              end;&#

63、160;           end;          flag=2的情形:先竖直划分大矩形；再在右矩形中水平划分          ju1.b:=v1,0.y;ju1.t:=v1,0.y;          ju1.r:=v1

64、,0.x;ju1.l:=v1,0.x;          for i:=2 to n-1 do begin            for ii:=1 to n do vii,2:=vii,0;所有点按横坐标升序排列，存入vi,2            for ii:=i to n-1 do

65、将点i至n按纵坐标升序排列，存入vi,2              for jj:=ii+1 to n do                if vii,2.y>vjj,2.y then begin         

66、0;        v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0;                end;结果：所有点先按横坐标升序排列，然后点i至n按纵坐标升序排列            insert(vi-1,2,ju1);将第i-1点放入矩形1

67、            ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y;将第i点放入矩形2            ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=vi,2.x;            if intersect(ju1,ju2) then continu

68、e;            for j:=i+1 to n do begin              insert(vj-1,2,ju2);将第j-1点放入矩形2              ju3.b:=vj,2.y;ju3.t

69、:=vj,2.y;将第j至n点放入矩形3              ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x;              for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3);         &#

70、160;    if intersect(ju2,ju3) then continue;              temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii);              if temp<smin then smin:=temp;

71、60;           end;          end;          flag=3的情形          for j:=3 to n do begin     &#

72、160;      for ii:=1 to n do vii,2:=vii,0;            for ii:=1 to j-2 do              for jj:=ii+1 to j-1 do        

73、;        if vii,2.y>vjj,2.y then begin                  v0:=vii,2;vii,2:=vjj,2;vjj,2:=v0;              

74、0; end;            ju3.b:=vj,2.y;ju3.t:=vj,2.y;            ju3.r:=vj,2.x;ju3.l:=vj,2.x;            for ii:=j+1 to n do insert(vii,2,ju3

75、);            for i:=2 to j-1 do begin              ju2.b:=vi,2.y;ju2.t:=vi,2.y;              ju2.r:=vi,2.x;ju2.l:=

76、vi,2.x;              for ii:=i+1 to j-1 do insert(vii,2,ju2);              ju1.b:=v1,2.y;ju1.t:=v1,2.y;           &

77、#160;  ju1.r:=v1,2.x;ju1.l:=v1,2.x;              for ii:=2 to i-1 do insert(vii,2,ju1);              if intersect(ju1,ju2) or intersect(ju2,ju3) or   

78、             intersect(ju1,ju3) then continue;              temp:=0;for ii:=1 to k do temp:=temp+area(juii);           &

79、#160;  if temp<smin then smin:=temp;            end;          end;          flag=4的情形          for j:=

80、3 to n do begin            for ii:=1 to n do vii,2:=vii,1;            for ii:=1 to j-2 do              for jj:=ii+1 to j-1 do             &