第一章信号与系统的概念

1、信号与系统信号与系统 Signals and Systems第一章第一章 信号与系统的概念信号与系统的概念The conception of Signals and systems1.1 信号的概念信号的概念 1.1.1 信号的定义信号的定义信号（信号（signal）是运载信息的工具，在数学上表示为一个或多个自变量的函数，自变量通常是时间，信号表示为函数。正弦信号正弦信号是电子系统和信号处理技术领域常用到的一种信号，其形式为 。根据不同的应用场合和背景，正弦信号的振幅 、角频率 、初相 均可代表（运载）不同的信息。例一：00( )cos()f tAtA00图1.1.2 频移键控（FSK）信号的

2、波形频移键控（频移键控（FSK）信号）信号，常用于二进制数字通信中 。例二：图1.1.3 周期脉冲信号的波形例三：周期脉冲信号周期脉冲信号 1.1.2 因果信号、逆因果信号的概念因果信号、逆因果信号的概念 在信号处理中，常将信号值不恒为零的持续时间，称为信号持续时间信号持续时间（signal duration）。 下面简要给出与信号持续时间有关的几个术语，这些术语在后面的讨论中将得到应用。1.因果信号因果信号当 时，若信号 ，则称为因果信号因果信号（causal signal） 。 图1.1.5 因果信号(a)(b)0t ( )0f t 2.逆因果信号逆因果信号当时 ，若信号 ，则称为逆因果信

3、号逆因果信号或反因果信号反因果信号（anticausal signal）。 图1.1.6 逆因果信号(a)(b)0t ( )0f t 3.时限信号时限信号当 和 时（ ，且 、 均为有界量），若信号 ，则称信号为时限信号时限信号(finite-duration signal)。图1.1.7 (a)1tt2tt21tt1t2t( )0f t 时限信号强调，在一定的时限范围外，信号值恒为零。4.右边信号右边信号对有界量 ，当时 ，若信号 ，则称为右边信号（右边信号（right-sided signal）。 图1.1.7 (b)1t1tt( )0f t 因果信号一定是右边信号。5.左边信号左边信号对

4、有界量 ，当时 ，若信号 ，则称为左边信号左边信号(left-sided signal) 。 图1.1.7 (c)2t2tt( )0f t 逆因果信号一定是左边信号。 6.双边信号双边信号若信号不恒为零值的时间范围延伸到正、负无穷大，则称信号是双边信号（双边信号（two-sided signal）。图1.1.7 (d)1.2 信号的分类信号的分类 信号的分类，是指用不同的信号特征去考察信号得到不同的类型，就好似从不同的角度去观察人类会得到不同的结果一样，如，从肤色的角度去观察会得到黄种人、白种人、黑种人的类别；从财富的角度观察会有穷人和富人之分；从性别观察有男人和女人；等等。 1.2.1 确定

5、信号与随机信号确定信号与随机信号确定信号（确定信号（deterministic signal）是指可以用一个确定的数学表达式来描述的信号。 随机信号（随机信号（random signal）是指不能用一个确切的数学表达式来描述的信号，信号各时刻的值是一个随机变量，通常只能用统计方法研究其某些特征，如概率密度函数、均值、方差、相关函数等。( )2tf tte 是确定信号。电子系统中的噪声信号是一典型的随机信号。 1.2.2 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号连续时间信号（连续时间信号（continuous-time signal），），是指自变量是可以连续取值的信号。连续时间信号

6、有时也称为模拟信号。注意: 信号 ，尽管在 时信号无定义，但该信号仍是连续时间信号，因自变量 可取包括 在内的任意值。图1.2.1 方波信号是连续时间信号1( )ftt0t tt0t 离散时间信号离散时间信号(discrete-time signal)，是指仅在某些离散的时刻有定义，而在其他时间无定义的信号，且这些离散时刻通常取整数。离散时间信号也常被称为离散时间序列离散时间序列（discrete-time sequence）。）。图1.2.2 某地7月份日平均温度是离散时间信号例：计算机只能处理离散时间信号，因此，将日常的连续时间信号(如语音信号等)送给计算机处理之前，应先将其转换为离散时间

7、信号。简单的方法如图1.2.3所示，以时间 T为间隔对连续时间信号 ( )f t 进行取样，则可得到一数组,( 2 ),(),(0),( ),(2 )fTfTff TfT，可表为 ()f nf nT， , 2, 1,0,1,2,n f n便是一离散时间信号。 图1.2.3 对连续时间 信号进行取样1.2.3 实信号与复信号实信号与复信号实信号实信号(real signal)，是指可用一实数函数来描述的信号，即信号的取值是实数。前面给出的有关信号的例子都是实信号。下面再给出三个经常用到的实信号的例子。矩形信号（门函数）矩形信号（门函数） 1, /2( )(1.2.2)0, /2tg tt 图1.

8、2.4 门函数的波形函数 的下标 表示信号的宽度，表示该信号在 区间内为1，其余时间信号值为0。 g/2/2t 抽样信号（函数）抽样信号（函数） sin( )( )(1.2.3)tSa tt 抽样信号是信号处理中的一个重要信号，在 时，函数取得最大值1，而在 时（为非零整数），函数值为0，如图1.2.5所示。图1.2.5 0t tk三角脉冲信号三角脉冲信号 21, /2( )(1.2.4)0, /2ttq tt 图1.2.6 三角脉冲信号的波形复信号复信号(complex signal)，是指可用一复函数来描述的信号，即信号的取值可以是复数。就像在实际的日常生活中复数不存在一样，复信号本身也是

9、不存在的。但为了在某些信号处理中描述问题的方便，常人为地将两个实信号组合在一起，构成复信号。将正弦信号描述为 000( )( )( )( ) cos( )Re ( )Re ( )jtjtjtjtf ta ttta t ea t ee令复信号为( )( )( )( )cos( ( )( )sin( ( )jtv ta t ea ttja tt( )( )( )(1.2.5)v ti tjq t复信号的典型例子是正弦信号。 可以看出，复信号是由两个实信号 和 构成的，当然也可看成是由两个实信号 和 构成的，且( )( )cos( ( )i ta tt( )( )sin( ( )q ta tt或 2

10、2( )( )( )a ti tq t( )tan ( )( )q tti t( )i t( )q t( )a t( ) t1.2.4 周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号对连续时间信号 ，若存在一个非零的最小正数 ，等式 对任意时间均成立，则称 是周期信号周期信号。 称为信号 的基本周期基本周期，简称周期周期。对离散时间信号 ，若存在一个非零的最小正整数 ，等式 对任意时间 均成立,则称 是周期信号周期信号。 称为信号 的基本周期基本周期，简称周期周期。离散时间信号的周期是正整数。( )f tT()( )f tTf t( )f tT( )f t f nN f nNf nn f nN f

11、n 1.2.5 能量信号与功率信号能量信号与功率信号1232( )( )p tf t2( ) p nf n和 对连续时间信号 ,信号的能量定义为 2 lim( )TTTEf tdt对离散时间信号 ,信号的能量定义为2lim NNnNEf n信号的平均功率分别定义为 2 1lim( )2TTTPf tdtT21lim 21NNnNPf nN和对连续时间信号 ,离散时间信号 ,信号的瞬时功率分别定义为( )f t f n( )f t f n能量信号能量信号(finite-energy signal)：若信号的能量有界，平 均功率趋于零， ,0EP ,则称该信号为能量信号。功率信号功率信号(fini

12、te-power signal)：若信号的平均功率有界 能量趋于无穷大,P ,E ，则称该信号为功率信号。若信号的平均功率和能量均趋于无穷大，则称该信号为非能量、非能量、非功率信号。非功率信号。1.3 信号的自变量变换信号的自变量变换1.3.1 信号的时移信号的时移若已知信号 或 的波形，则信号 或 称为信号 或 的时移时移(time shifting)。(a) 信号的波形 (b) 时移(c) 时移图1.3.1 信号 及其时移( )f t f n0()f tt0f nn( )f t f n( )f t1.3.2 信号的时间反转信号的时间反转 若已知信号 或 的波形，则信号 或 称为原信号的时间

13、反转时间反转(time reversal)，即求信号关于纵轴的对称波形。 图1.3.2是图1.3.1(a)中信号 的时间反转变换 。图1.3.2 信号的时间 反转变换( )f t f n()ftfn( )f t()ft( )f t1.3.3 信号的时间尺度变换信号的时间尺度变换 1.连续时间信号的时间尺度变换连续时间信号的时间尺度变换时间尺度变换(time scaling)就是将信号的时间变量 替换为变量 （ ）。 (a) 信号 的波形 (b) 信号 的波形(c) 信号 的波形图1.3.3 信号 及其尺度变换tat0a ( )f t(2 )ft1()2ft( )f t2. 离散时间信号的展宽和

14、压缩设离散时间信号 的波形如图1.3.4(a)所示，其时间展宽 倍的情况可表示为 1, 0nfnNf nN为 整倍数， 其它 f nN 1.4 信号的基本运算信号的基本运算1.4.1 两信号相加两信号相加两信号相加，是指两信号对应时刻的信号值（函数值）相加，得到一个新的信号。12( )( )( )f tf tf t或12 (1.4.1)f nfnfn(a) 信号 波形 (b) 信号 波形 (c) 信号 波形 图1.4.11( )f t2( )f t12( )( )( )f tf tf t两信号的相加 1.4.2 两信号相乘两信号相乘两信号相乘，是指两信号对应时刻的信号值相乘，得到一个新的信号。

15、(a) 信号 波形 (b) 信号 波形 (d) 信号 波形图1.4.1两信号的相乘1( )f t2( )f t12( )( )( )f tf t f t12( )( )( )f tf t f t或 12 (1.4.2)f nf n f n1.4.3 连续时间信号的导数和积分连续时间信号的导数和积分信号 的导数，就是对函数 关于时间变量 求导，为( )( )df tf tdt( )( )df tftdt( )f t( )f tt(1)()( )( )(1.4.3)mmdftftdt定义信号 的积分为( 1)( )( )(1.4.4)tftfd再积分( 2)( 1)( )( )tftfdk次积分(

16、)(1)( )( )tkkftfd ( )f t将求导和积分两种运算统一表示为()( ) 0( )( ) 0( ) 0mf tmmftf tmf tmm的 阶导数,的阶积分,(1.4.5)根据函数的微积分理论，按式(1.4.4)对信号 先积分，再求导，仍为信号 。( 1)( )( )( )tddftfdf tdtdt(1.4.6)( )f t( )f t( )f t1.4.4 离散时间信号的差分和累加离散时间信号的差分和累加一阶后向差分一阶后向差分(backward difference) 1(1.4.7)f nf nf n一阶前向差分一阶前向差分(forward difference) 1

17、(1.4.8)f nf nf n实际应用中，常用到的是后向差分。12差分 1f nf nf n仍然是时间n的函数，是信号 f n与其右移一个单位信号 1f n之差。 32 1f nf nf n 定义信号的二阶差分为 4m阶差分定义为11 1mmmf nf nf n 离散时间信号 的累加累加(summation)运算，十分相似于连续时间信号的积分，其定义为( 1) (1.4.11)nkfnf k同积分运算类似，可定义离散时间信号 的m次累加 ()(1) (1.4.12)nmmkfnfk( 1)( 1)( 1) 1fnfnfn1 nnkkf kf kf n f n f n对式(1.4.11)的累加

18、结果再作差分运算为1.4.5 信号的奇、偶分解信号的奇、偶分解定义 或（ ）的偶部(even part)为1( ) ( )()2ef tf tft 的奇部(odd part)为 1( ) ( )()2of tf tft( )ef t是偶函数，( )of t为奇函数，且( )( )( )eof tf tf t( )f t f n( )f t例1.4.1 求图1.4.2(a)所示离散时间信号 f n的偶部 ef n和奇部 。 of n解：按照前面式(1.4.13)和式(1.4.14)信号偶部和奇部的定义，得偶部 ef n和奇部 如图1.4.2(c) of n和1.4.2(d)所示。 (a) 信号

19、的波形 f n(b) 信号 的波形fn(c) 信号 的偶部 波形 f n ef n图1.4.2 信号 f n的奇偶分解(d) 信号 的偶部 波形 f n of n1.5 单位冲激信号和单位阶跃信号单位冲激信号和单位阶跃信号 1.5.1 离散时间单位冲激信号和单位阶跃信号离散时间单位冲激信号和单位阶跃信号1.离散时间单位冲激信号 n离散时间单位冲激信号（离散时间单位冲激信号（unit impulse signal）定义为 1, 0 (1.5.1) 0, 0nnn显然有 1nn 图1.5.1 离散时间单位冲激信号 n2.离散时间单位阶跃信号 u n离散时间单位阶跃信号（离散时间单位阶跃信号（uni

20、t step signal）的定义为 1, 0 (1.5.2) 0, 0nu nn图1.5.2 离散时间单位阶跃信号 u n3. 和 的关系 n u n 1(1.5.3)nu nu n1, 0 0, 0(1.5.4)nknku nn与 是互为差分和累加的关系。 n u n1.5.2 连续时间单位冲激信号和单位阶跃信号连续时间单位冲激信号和单位阶跃信号0( )lim( )tt1.连续时间单位冲激信号 ( ) t1, 2( )0, 2ttt图1.5.4 信号 的波形( ) t方波的面积 恒为1。图1.5.5 单位冲激 t信号 的波形2.连续时间单位阶跃信号( )u t( )u t 1, 0( )(

21、1.5.9) 0, 0tu tt图1.5.6 单位阶跃信号 的波形连续时间单位阶跃信号和单位冲激信号，常被称为奇异信号奇异信号（singular signal）（或奇异函数）（或奇异函数）3. 和 间的关系( ) t( )u t1,0( )( )(1.5.10)0,0ttdu tt ( )( )(1.5.11)du ttdt例1.5.2 求门函数 ( )gt 的导数。解： ( )gt 可用阶跃信号表示为( )()()22gtu tu t所以，对 ( )gt求导为( )( )()()22dgtgtttdt图1.5.7 门函数 ( )gt及其导数的波形1.5.3 单位冲激信号的性质单位冲激信号的性

22、质1.单位冲激信号是偶信号 nn( )()tt2.单位冲激信号的筛选性00 nf nnnf n对离散时间信号 ， ( ) ( )(0)f tt dtf 一般地，设 在 处连续，有0tt00( ) ()( )f ttt dtf t( ) ( )(0) ( )f ttft000( ) ()( ) ()f tttf ttt对连续时间信号 ， f n( )f t( )f t3.单位冲激信号的各阶导数及其筛选性()()00( )()( 1)( )(1.5.18)mmmf ttt dtft 特别地，当 时，有()()( )( )( 1)(0)(1.5.19)mmmf tt dtf 0tt00( ) ()(

23、 )f ttt dtf t因为 两边对参变量 求导m次为 0t()00( 1)( )()( )mmmf ttt dtft)所以例1.5.3 求信号 ( ) ( )(2)f tt u tu t的一阶和二阶导数。 解：信号 ( )f t的波形如图1.5.9(a)所示。 （1）在 或 时，信号 0t2t ( )0f t ，所以( )0ft 0t2t ， 或 02t 时，因为 ( )f tt，有 ( )1, ft02t ( )ft的数学表达式可写为( ) ( )(2)2 (2)ftu tu tt1.5.9(a)也可直接根据 的表达式求 ( )f t( )ft。因为 ( ) ( )(2)f tt u t

24、u t可看成函数 t和另一个函数 ( )(2)u tu t 的乘积，根据两函数相乘的求导规则，有( ) ( )(2) ( )(2)f tu tu tttt根据式(1.5.17)，即 000( ) ()( ) ()g tttg ttt，有 ( )0 ( )0ttt， (2)2 (2)ttt所以( ) ( )(2)2 (2)ftu tu tt（2）对 ( )ft继续求导，可得如图1.5.9(c)所示的结果 ( )ft ，也可用表达式描述为( )( )(2)2(2)ftttt1.5.9(c)例1.5.4 证明 1()( )atta0a ,证明：令 ，有rat1( ), 0 ()1( ), 0 r d

25、raaat dtr draa1( ), 0 1( ), 0 r draar draa1( ) 1r draa且, 0()0, 0tatt1.6 系统的概念系统的概念1.6.1 系统的定义系统的定义系统系统(system)是用于产生、处理、传输信号的物理装置，在数学上表示为输入信号与输出信号间的一种映射关系(mapping)。图1.6.1 系统为一映射关系( ) ( )y tM f t对积分器，其输入输出关系可表示为( )( )ty tfd1.6.2 系统的相互连接系统的相互连接1.系统的并联系统的并联(parallel interconnection)结构如图1.6.2所示，输入信号 同时作为

26、系统 和系统 的输入信号，两个系统响应的和便是整个系统的响应 ，可用数学关系描述为12( )( )( )(1.6.3)y ty ty t且11( ) ( )y tMf t,22( ) ( )y tMf t图1.6.2 两个系统的并联( )f t1M2M( )y t2.系统的级联11() ()y tM f t,21( ) ( )y tM y t将上两式合二为一，可表示为21( ) ( )(1.6.5)y tMMf t图1.6.3 两个系统的级联系统的级联也称为系统的串联串联(series interconnection)。3.系统的反馈连接系统的反馈连接反馈连接(feedback interco

27、nnection)如图1.6.4，输入信号 与系统 的输出信号 相加，得到信号 ，图1.6.4 系统的反馈连接1( ) ( )(1.6.6)y tM e t且( )( )( )e tf tb t,2( ) ( )b tMy t( )f t2M( )b t( )e t( )e t再作为系统 的输入信号，得到系统的响应 。1M( )y t1.7 系统的性质系统的性质1.7.1 系统的记忆性或动态特性系统的记忆性或动态特性如果一个连续时间系统，任意 时刻的响应 仅与 时刻的输入 有关，而与其他时刻的输入 无关，则称该系统为非记忆系统非记忆系统(memoryless system)（或系统无记忆性），

28、否则为记忆系统记忆系统(system with memory )。系统的记忆性有时也称为系统的动态特性(dynamics)。0t0( )y t0t0( )f t( )f t系统的记忆特性强调系统的响应是否仅与当前时刻的输入有关1.7.2 系统的因果性系统的因果性如果一个连续时间系统，任意 时刻的响应 与 以后的输入f(t)无关，则称该系统为因果系统（因果系统（causal system），或系统具有因果性（因果性（causality），），否则为非非因果系统因果系统。0t0( )y t0t如果一个连续时间系统,任意 时刻的响应 与 以前的输入f(t)无关,且与 以后的输入f(t)有关,这样的系

29、统常被称为逆因果系统或反因果系（逆因果系统或反因果系（anticausal system）。0t0t0t0( )yt系统的因果特性强调的是系统的响应是否与未来的输入有关 系统的记忆性和因果性是两个容易混淆的概念，举例说明。例一：连续时间系统输入 ( )f t和响应 ( )y t 间的映射关系为2( )2 ( )( )y tf tft由于该系统任意 0t时刻的响应 0( )y t仅与 0t时刻的输入 0( )f t有关，故其为非记忆系统；且 0t时刻的响应 0( )y t与 0t以后的输入( )f t无关，故其为因果系统。 例二：离散时间系统由于该系统任意 0n时刻的响应 0y n除与 0n时刻

30、的输入 0f n有关外，还与时刻的输入 1y nf nf n01n 01f n 有关，故该系统为记忆系统。 尽管该系统 0n时刻的响应 0y n与 0n以前的输入 01f n 有关，但与 0n以后的输入 f n无关，故该系统为因果系统。1.7.3 系统的可逆性系统的可逆性“不同的输入产生不同的响应”，则系统是可逆的。1( )f t2( )f t设信号、 通过系统的响应分别为1122( ) ( ),( )( )y tM f ty tM f t12( )( )f tf t12( )( )y ty t如果，一定有成立，则称系统具有可逆性(invertibility)，或称为可逆系统（invertib

31、le system）。例如，对系统 ( )( )y tf t，如果 21( )( )f tf t ，显然两个输入是不相同的，但响应都为 1( )( )y tf t， 故该系统是不可逆的。 可逆系统由于其输入和响应间存在一一对应关系，如果系统的响应已知，则可通过一个逆映射，求出原来的输入信号。这个逆映射便是原系统的逆系统（逆系统（inverse system）。1.7.4 系统的稳定性系统的稳定性( )f t1( )(1.7.2)f tA ( ) ( )y tM f t2( )(1.7.3)y tA 1A2A( )f t对任意有界信号 ，即 满足 如果其通过系统的响应 一定有 其中 、 是有界常

32、数，则称系统是稳定系统稳定系统(stable system)，或系统具有稳定性（稳定性（stability）。稳定系统的定义也可简述为，如果“有界的输入产生有界的响应”，则系统是稳定的。系统稳定是设计一个系统的基本要求，对一个不稳定的系统，任意一个很小的输入（扰动），系统的响应都将趋于无穷大，这时响应与输入信号无关，或系统的响应不受输入信号控制。例如，系统 3( )( )y tft是一个稳定系统，因为对 1( )f tA ，有 312( )y tAA ，所以系统是稳定的。再如， ( )( )y tft系统也是一个不稳定系统，因为当输入信号( )( )f tu t时，其响应 ( )( )y tt

33、是趋于无穷大的。不稳定系统也有其特殊的用途，如电子系统中的许多信号发生器，便是利用系统的不稳定性实现的。 1.7.5 系统的时不变性系统的时不变性设信号 通过系统的响应为现有另一输入信号 ，其通过系统的响应为如果对任意 ，一定有 成立，则称系统是时不变系统时不变系统(time-invariant system)。( ) ( )y tM f t10( )()f tf tt11( ) ( )y tM f t0t10( )()y ty tt( )f t时不变性的物理意义为，如果一个输入信号通过一个时不变系统的响应已求得，则该输入信号时延后通过系统的响应，就是原响应的时延。因此，系统的时不变性可简述为

34、，“时延的响应等于响应的时延”。1.7.6 系统的线性系统的线性系统的齐次性（齐次性（homogeneity）定义为：若信号 1( )f t通过系统的响应为 ，如11( ) ( )y tM f t，现有另一输入，是常数，其响应为 21( )( )f taf t22( )( )y tM f t果21( )( )y tay t ，则称系统具有齐次性。a系统的可加性可加性(additivity)定义为：若信号 1( )f t，如果11( ) ( )y tM f t，现有另一输入( ) ( )y tM f t，则称12( )( )( )f tf tf t，其响12( )( )( )y ty ty t2

35、2( )( )y tM f t2( )f t通过系统的响应分别为 应为系统具有可加性。同时满足齐次性和可加性的系统，称为线性系统线性系统(linear system)。线性系统的定义也可描述为： 若信号 1( )f t，2( )f t的响应分别为 12( ),( )y ty t，令信号 12( )( )( )f tf tf t12,a a是常数，且设 ( )f t的响应为 ( )y t，如果 1122( )( )( )y ta y ta y t 一定成立，则称该系统为线性系统。线性和的响应等于响应的和 系统的线性（linearity）和时不变性(time invariance)是信号与系统中两个最重要的概念，同时满足线性和时不变性的系统，称为线性时不变系统（linear, time invariant system ），简称为LTI系