概率统计第六章62抽样分布

1、一、样本均值分布一、样本均值分布定理定理 设总体设总体.,2NXnXXX,21是是X X的样本。的样本。nkkXnX11样本均值样本均值.,2nNX1, 02NnXZ（标准化）（标准化）)(22n记为记为2分布分布二、二、nXXX,21222212nXXX 21.1.定义定义: : 设随机变量设随机变量相互独立相互独立, ,都服从都服从标准正态分布标准正态分布N N(0,1), (0,1), 则称统计量：则称统计量：所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n n 的的分布分布. .注注: : 自由度是指自由度是指* *右端所含独立的随机变量的个数。右端所含独立的随机变量的个数。2分布的密

2、度函数为分布的密度函数为122210( ; ) 2(2)00nxnxexf x nnx 来定义来定义. .通过积分通过积分0,)(01xdttexxt其中伽玛函数其中伽玛函数)(x 2 2分布的密度函数曲线分布的密度函数曲线000)2(21);(2122xxexnnxfxnn2由由 分布的定义，不难得到：分布的定义，不难得到：)(21221nnXX),(),(222121nXnX且且X X1 1 , , X X2 2相互独立，相互独立，这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性. .2(2) (2) 设设则则222 ,2 En Dn（ ）0,1,(0,1) iiiEXDXXN证证：2422

3、()312,1,2, iiiDXEXEXin 22211(). nniiiiEEXEXn 所所以以22211()2 . nniiiiDDXDXn 21, iEX 24421()2xE Xxedx 23212xxde 223222113322xxxeex dx 应用中心极限定理可得，若应用中心极限定理可得，若则当则当n n充分大时，充分大时，)(2nXnnX2的分布近似正态分布的分布近似正态分布 N N (0,1).(0,1).(3)(3)对于给定的正数对于给定的正数10,称满足条件的点称满足条件的点为为分位点分位点. .分布的分布的上上(4) (4) 分布的分位点分布的分位点)(2n)(2n)

4、(2nnxf,x2( )n P4432分布表供查阅。分布表供查阅。例例8 .34)30(3025. 0225. 0n即即25. 0)(8 .34)30(8 .342ydyfP对于给定的对于给定的10称满足条件称满足条件2)(ydyf的点的点)(2n为为)(2n分布的分布的“上上100百分位点百分位点”)(2n yfx上侧上侧分位点。分位点。)(21n yfx)(22n2 yfx)(221n2双侧双侧2分位点。分位点。1 . 0当当时时下侧下侧分位点分位点44.12)20(21双侧双侧2分位点分位点851.10)20(221411.31)20(22)(2n分布的下侧分布的下侧分位点。分位点。),

5、(2N相互独立相互独立, , 都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则222211() ( )niiXn 问题问题 设设为什么？为什么？例例2 设总体设总体XN（0，0.32）, n =10,求求10211.44iiPX解解 X/0.3N（0，1），），21021() (10) 0.3iiX10211.44 iiPX102222111.44(10)160.1 0.30.3iiPXP休息片刻休息片刻T的密度函数为：的密度函数为：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxf 记为记为Tt(n).nYXT 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布.)(2n1

6、. 定义定义:设设 XN(0,1) ,Y则称变量则称变量, 且且 X 与与 Y 相互独立，相互独立，xt(n) t(n) 的概率密度为的概率密度为212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxf x（1 1）具有自由度为）具有自由度为 n n 的的 t t 分布的随机变量分布的随机变量 T T 的的当当n n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度充分大时，其图形类似于标准正态分布密度0);(nxfLimx（2 2）t t 分布的密度函数关于分布的密度函数关于 x x = 0 = 0 对称，且对称，且数学期望和方差为数学期望和方差为: : E E( ( T T ) = 0; ) = 0;

7、D D( ( T T ) = ) = n n / ( / ( n n - 2 ) , - 2 ) , 对对 n n 2 2 函数的图形函数的图形. .很大很大. .不难看到，当不难看到，当n n充分大时，充分大时，t t 分布近似分布近似N N (0,1) (0,1)分布分布. . 但对于较小的但对于较小的n n， t t分布与分布与N N (0,1)(0,1)分布相差分布相差 对于给定的正数对于给定的正数10,称满足条件称满足条件( )( )tPttnh tdt的点的点为为百分位点百分位点”。分布的分布的“上上)(nt100)(nt)(nt)(1nt例例4851. 2)25(2501. 00

8、1. 0tn)(2nt22)(2nt)()(1ntnt查查t t 分布表，附表分布表，附表3 3)()(221ntbnta当当201 . 0n时时 分布上侧分布上侧分位点分位点3253. 1)20(t 分布下侧分布下侧分位点分位点3253. 1)20()20(1tt 分布双侧分布双侧分位点分位点7247. 1)20(2t7247. 1)20()20(221tt( )baPatbh t dt t t的分布的双侧的分布的双侧分位点为满足分位点为满足),(),(2212nYnX21nYnXF =若若X F (n1,n2)， X的概率密度为的概率密度为 0001)()()()(),;(22222121

9、2112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnn1.1.定义定义: : 设设X X与与Y Y相互独立，相互独立，则称统计量则称统计量服从自由度为服从自由度为n n1 1及及 n n2 2 的的F F分布，分布，n n1 1称为第一自由度，称为第一自由度，n n2 2称为第二自由度，称为第二自由度，记作记作 F F (n1,n2).即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n n1.1.(2) X(2) X的数学期望为的数学期望为: :2)(22nnXE若若 n n2 2 2 2(1) (1) 由定义可见，由定义可见，121nXnYF F( n2,

10、n1)2. 2. 性质性质(3) F (3) F 分布的分位点分布的分位点对于给定的正数对于给定的正数10,称满足条件称满足条件1212(,)(,)( )Fn nP FFn ny dya的点的点为为分位点。分位点。分布的上分布的上),(21nnF),(21nnF),(21nnF 关于关于 F F 分布的重要结论分布的重要结论结结论论：112211(,)(,)Fn nFn n ),(21nnFF证明：若),(11),(1211211nnFFPnnFFP),(111211nnFFP),(11211nnFFP所以),(1),(21112nnFnnF),(/ 112nnFF又表中所给的表中所给的都是很

11、小的数，如都是很小的数，如0.01，0.05等等当当表中查不出，由性质（表中查不出，由性质（2）),(1),(12211nnFnnF即)9 ,12(95. 0F例：)12, 9(105. 0F357. 080. 21较大时，如较大时，如0.95， 定理定理 1 (1 (样本均值的分布样本均值的分布) )设设 X X1 1, ,X X2 2, , ,X Xn n 是取自正态总体是取自正态总体),(2 N则有则有),(2nNX ) 1 , 0( NnXZ的样本，的样本，N N 取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布X) 1() 1() 1 (222nSn 设设 X X1 1, , X

12、X2 2, , , , X Xn n 是取自正态总体是取自正态总体),(2 N2SX 和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, ,则有则有.)2(2相互独立和 SX的样本的样本, ,N N 取不同值时取不同值时222) 1(Sn的分布的分布222(1)(1)nSn 关关于于的的简简要要说说明明222211( ) ( )niiXn 22221(1)1( )niinSXX X 从从以以上上两两式式子子看看出出，仅仅 和和 不不同同1()0niiiXXX 但但是是，第第一一个个式式子子，自自由由，第第二二式式无无形形中中多多了了一一个个条条件件，减减少少了了一一个个自自由由度度2(1)n

13、 故故为为127,(0, 1 4)XXXXN设是总体的简单样本721()4iiPXX求72722121()4()(6)0.5iIiiXXXX772211()44()160.01iiiiPXXPXX 设设 X X1 1, , X X2 2 , , , X Xn n 是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本, ,2SX 和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, , 则有则有) 1(ntnSXT（与样本均值和样本方差有关（与样本均值和样本方差有关 的一个分布）的一个分布）当当zntn)(45).1() 1(),1 , 0(/222nSnNnX证明：则由则由t-t-分布的定义：

14、分布的定义：) 1() 1() 1(/22ntnSnnX) 1(/ntnSX即：且它们独立。且它们独立。Y N (2,2 2) ： Y1，Y2，,Yn2 ，它们相互独立，它们相互独立，则则22121212(,)XYNnn12221212()()(0,1)XYNnn若若 X N (1,12) ： X1，X2，,Xn1（1） 定理定理 4 (4 (两总体样本均值差的分布两总体样本均值差的分布) ) )2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，设),(),(2221NYNXYX 和分别是这两个样本的样本分别是这两个样本的样本且且 X X 与与Y Y 独立

15、独立, ,X X1 1, ,X X2 2, , ,1nX是取自是取自X X的样本的样本, ,取自取自Y Y的样本的样本, ,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差, ,均值均值, ,2221SS 和则有则有Y Y1 1, ,Y Y2 2, , ,2nY是是 定理定理 5 (5 (两总体样本方差比的分布两总体样本方差比的分布) ) ) 1, 1(2122222121nnFSS，设),(),(222211NYNXYX 和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X X与与Y Y独立独立, ,X X1 1, , X X2 2, , ,1nX是取自是取自X X的样本的样本, ,取自取自Y

16、Y的样本的样本, ,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差, ,均值，均值，2221SS 和则有则有Y Y1 1, ,Y Y2 2, , ,2nY是是样本样本设设 X: X1，X2，Xn2211() 1niiSXXn11 niiXXn 1. 2.若若 XN（0，1），则），则2221( ) niiXn222212= ( ) /()/nXXtt nnXXXn2222121111122222221222() /()(,) ()() /nnXXXnnnFF nnnnXXXn2(,)XNn(0 ,1)XzNn (1)/XTt nSn2222(1)(1)nSn2212()(1)niiXXn

17、四四大大统统计计量量2221()( )niiXn121212() () (2)11wX Yt nnSnn222112212(1)(1),2wnSnSSnnY N (2,2 2) ： Y1，Y2，,Yn2 ，它们相互独立，它们相互独立，则则22121212(,)XYNnn12221212()()(0,1)XYNnn若若 X N (1,12) ： X1，X2，,Xn1（1）（2）当当12 =22 =2时，时，2211122222/(1,1)/SF nnS（3）设设X1,X2,X3,X4是总体是总体N（0，1）的样本，则：）的样本，则：12341 XXXX（ ）服从什么分布？222212342 XX

18、XX（ ）服从什么分布？1222343 XXXX（ ）服从什么分布？221222344 XXXX（ ）服从什么分布？请回答：请回答：设设X1,X2,X3,X4是总体是总体20,XN的样本212234()()XXYXX求的分布 221234(0, 2)(0, 2)XXNXXN，221234(0, 2)(0, 2)XXNXXN，21223421, 12XXYFXX1212222()/22/2YYYYZSS 1291262789 ,)11( ) ()631XXXYXXXYXXX 2设是来自正态总体N( ,的样本记92212272()1()2iiYYSXYzS求的分布(2)t212 YY -YZZ强强

19、调调与与 独独立立，与与 独独立立2,(0,)128X ,X,XN 设设是是来来自自于于总总体体的的一一个个样样本本例题分析例题分析221234225678(X -X )() Y=()()XXXXXX求求的的分分布布22XN( ,), X,( )12X ,XXn 设总体样本来自设总体样本来自未知 则下列结论正确未知 则下列结论正确n222ii=1n22ii=1n22i2i=1n222i2i=11(A) S =(X -X) (n-1)1(b) (X -X) (n-1)1(c) (X -X) (n-1)1(d) S =(X -X) (n)n-1n 请回答请回答：设总体设总体XN（，2），），X1，X2，X8为为一个样本，则（一个样本，则（ ）成立。）成立。(2) t (7)8X（1） t (8)8X(4) t (8)8Xs(3) t (7) 8Xs请回答请回答：设：设 是来自正态总体是来自正态总体N(N(，2 2）的样本，）的样本， 是样本均值，记是样本均值，记12,nXXXX22111()1niiSXXn22211()niiSXXn22311()1niiSXnniiXnS1224)(11( )