泛函分析1H-文档资料

1、1泛函分析 大家以前多学过一些数学方面的课程，比如分析方面的数学分析、实（复）变函数等等，都是归并于经典分析，其思想是：如果某个量难以被直接了解，那就将它放到某个变化过程中去考虑，后通过对该过程的考察以获取所求量的信息，产生了变量、函数、极限、连续、微分和积分等基本概念。类似的，如果对某个变量（如函数）本身难以被直接了解，那能否转而研究一族变动的变量（如函数空间），然后通过施以变量一定的运算和极限，获得有关原变量的知识?参考书：应用泛函分析，薛小平（哈工大）、胡适耕（华中科技大）、程曹宗（北京工大） 以上学校图书馆都有，当然还有外文的，不列举了泛函分析导论及应用 加欧文克雷斯齐格 2345泛函

2、分析 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的数学分支，用的统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化，运用代数学、几何学等学科的观点和方法研究分析学的课题，可以看作无限维的分析学。 今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术的学科中，起着重要的作用，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析的最基本的内容：三个空间，四个定理6第一章 预备知识 1.集合 所谓集合，是指具有某种特定性质事物的全体，构成集合的“事物”称为集合的元素。 集合的表示方法：1.列举法；2.描述法。 相关的概念和符号：集合相等，子集，真子集，有限集，空集，无穷集合；数集的常用符号NQZRC。

3、注：对于给定的集合A，一元素a是否属于A是确定的。72.集合的运算 集合的交 、并、 差（A-B）、取余（A是B的子集，B-A）。 集合的运算性质：有限交（并）满足结合律，交换律和分配律；任意交（并）满足对偶原理 集合的笛卡尔积 集合列的上下极限83.映射 定义：设A、B是两个非空集合，若存在由A到B的一个对应关系f，满足对A中任意一元素x，都有B中唯一元素y（=f(x)）与之对应。 映射的分类：单的，满的，双射，逆映射、恒定映射 注：1.当B是数集时，映射f称为泛函；A、B都是数集时，映射f称为函数。 2. 即使逆映射不存在，也可以进行取原像运算. 3. 在A、B引入拓扑以后，就可以定义映射

4、的 连续的概念（开集的原像是开集）94.集合的基数 主要应用于无限集合的分类：可数集和不可数集。 集合AB对等（AB）：存在由A到B的双射f 对等关系是个等价关系（满足自反性、对称性和传递性）；证明常用Bernstein定理。 与自然数集对等的集合称为可数集或可列集，有限集和可数集统称至多可数集，其余的集合称为不可数集，例如闭区间0,1。 可数基数a，连续基数c。10 主要结论：1.可数集的子集至多可数； 2.有限或可数多个可数集合的并是可数集； 3.有限个可数集的直积是可数集； 4. 无限集必于它的某真子集对等，含可数子集；可数集的例子：整数集，有理数集，n维欧式空间中的有理点集。实数的基本

5、定理：确界存在原理、单调有界原理、闭区间套引理、聚点定理、有限覆盖定理等等都当成已知115. Lebesgue积分 N-L积分的可积的函数类不够广泛，积分运算很不灵活，1902年，法国的Lebesgue引入新积分（另一方法分划求和取极限）。 相关概念：L-测度，可测集合（函数） 相关结果：Lusin定理、Egoroff定理、Fubini定理、Riesz定理等等。 L-积分与R-积分的关系。 函数列的收敛：逐点、一致、以测度。 更详细的知识大家可以查阅有关实变函数的参考书。1213选择公理 泛函分析的研究必须首先承认一些事情 选择公理：设C为一个由非空集合所组成的集合,那么，我们可以从每一个在C

6、中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。 Zorn引理：设（P,）是偏序集，若P的每一个全序子集在P中都有上界，则P必有极大元 良序原理：所有集合能被良序化。换句话说，对每一个集合来说，都存在一种排序方法，使得它的所有子集都有极小元素 Zorn引理是集论的一个重要工具，与选择公理，良序原理都是彼此等价的,主要应用于数学上存在性定理的证明，而不具体描述寻求的方法。 14第一章 距离空间 1.1 距离空间的定义和例子 1.2 距离空间的拓扑 1.3 距离空间的稠密性 1.4 距离空间的可分性 1.5 距离空间的完备性 1.6距离空间的紧性 1.7 不动点定理及其应用1

7、51617181920212223常用的几个公式 赫尔德不等式：p,q1,1/p+1/q=1,则 等号相等当且仅当它们线性相关1111111() () ,0| ( ) ( )|(| ( )|) (| ( )|)pqpqiiiiiiiiipqpqEEEababa bx t y tdtx tdty tdt级数形式：积分形式：24常用的几个公式 Minkowski不等式：设p不小于1,则 等号相等当且仅当它们线性相关111111111() )(| )(| )(| ( )( )|)(| ( )|)(| ( )|)ppppppiiiiiiippppppEEEababx ty tdtx tdty tdt级

8、数形式：积分形式：25例子 以出租车距离定义的平面距离空间; 序列空间 函数空间Ca,b; 离散距离空间; R上函数|x-y|2；|x-y|1/2是距离吗？ Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合（总数为8）,元素x，y的距离是x，y中不同的对应分量的个数。 在开关和自动化理论以及编码理论中都有重要的应用。,1pllp26 距离空间的拓扑 空间引入距离，才有了空间上映射的连续性概念（开集的原像是开集） 称X的子集B(x,r)=y;p(x,y)1）在上面定义的距离意义下都是完备的、可分的 不可分距离空间，例如有界序列空间 （利用0，1中点是不可数多个） Ca,b按L1距离就

9、不是完备的,它的完备化空间是L1（存在连续函数序列，L1收敛到不连续的可积函数） 有理数点构成的距离空间也不完备l35距离空间的完备化 我们知道有理直线Q是不完备的，但可以扩展为完备的实直线R。 空间不完备时，考虑问题就要特别小心，将不完备空间完备化是个有意义的工作处理方程解的存在性问题时，在不完备的距离空间中解方程，即使近似解的序列是基本列，也不能保证该序列有极限，从而不能保证方程在该空间内有解。 我们还希望完备化后得到的空间能是唯一的最好，相差不多也好。 等距映射、距离空间X，Y是等距的 等距映射一定是同胚的；等距的距离空间，由距离导出的性质全一样，故当仅限于考虑与距离有关的性质时，彼此可

10、以不加区分。363738距离空间的紧性 设A的距离空间X的子集，称A是紧的，如果A的任意一个开覆盖都存在有限子覆盖（如果A中任意一个序列都存在一个子列收敛于A中某点）；称A是列紧的，如果A中任意一个序列都存在一个子列收敛于X中某点。 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧）空间。 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的，也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是紧空间，有界开集N是列紧的。 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。39距离空间的紧性 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意r0，都有A中有限个点，满足以其为心，r为半径的开球的并覆盖

11、了A。 相关结论：1.全有界集是有界的，可分的； 2.列紧集是全有界的；（反证法） 3.若X是完备距离空间，列紧等价于全有界。 Ca,b的子集A是列紧的充要条件是A是一致有界且等度连续的。40距离空间的紧性 设X是距离空间，则下述结论成立 1. X是紧的当且仅当X是列紧的 2. 紧空间X的闭子集M是紧的。 3. X的列紧的子集是有界集。 紧集的连续象是紧集 紧集上的连续函数是一致连续的，能取到最大值和最小值。 空间X是有限维的当且仅当X的闭单位球是紧集。 非紧的空间，可以通过一点紧致化，进而利用紧空间的性质来研究41小结 我们讨论距离空间的基本性质 距离空间就是赋予距离的集合，是三维立体空间概

12、念的推广，二者既有相同又不完全相同。 研究的空间的目的，在于把由实际问题归纳出来的某些集合抽象为具有某种属性的空间，从而利用数学上已有的结论去分析他们的性质。 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其它的学科也能看到广泛的应用。424300*xCauchyx*,(,)(,)(,)0Banach1.nnnTXTx xTx TxTx xTT定理证明：随便给定一点 ，压缩算子 逐次作用，得到了一个列，由空间 的完备性，极限点存在且唯一 不动点就得到了.。该定理（压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在性和唯一性的问题

13、，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用中 未必是，是压缩时，命题仍然成立。注： 该原理是求解代数方程、微分方程但、积分方002.x0( *,)(,)1nnaxxTx xa程、以及数值分析迭代算法的收敛性的理论依据，是数学和工程计算中最经常使用的方法之一。迭代序列中可以任意取，可以对近似不动点给予误差估计44动态控制系统状态轨线的存在性和唯一性 控制论中，确定性动态控制系统可以用如下常微分方程来描述 x(t)表示时间段T上系统的状态轨线（函数），是n维的向量函数，u(t)是控制输入函数，都视为距离空间中的点。 上式等价于如下形式的积分方程：00( ), ( )( , ( ), ( ),T ,.f

14、x tx x tF t x t u ttt t0( )( , ( ), ( ),T.ttx txFxudt45 定理：对由上式所描述的系统，假设T是有界区间， 是连续的，即 注：只要常微分方程满足定理条件，就可以利用数值积分和迭代算法来求方程的近似解（Picard逐次逼近法）:F TXUX映射121211|( ,( ), ( )( ,( ), ( )|( )|( )( )|( )0,( ),( )XXF t x t u tF t x t u tM ux tx tM ux tx tX其中0(1)( )0( )( ,( ), ( ),( ),T, nN.tnntxtxFxudx txt 46定理定

15、理3（Picard）设 是矩形 上的二元连续函数，设 ，又 在D上关于x满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对任意的 ，有 ，那么方程 在区间 上有唯一的满足初值条件 的连续函数解，其中 min . 压缩映射原理不仅证明了方程 解的存在性和唯一性，而且也提供了求解的方法逐次逼近法，即只要任取 ，令 ，则解 。如果在（3）中，令 ，则有 （4）（4）式给出了用逼近解x的误差估计式。,f t x00=,Dt xtta xxb,f t xMt xD,f t x , ,t xt vD,f t xf t vK xv,dxf t xdt00=,Jtt 00 x tx1,baMK Txx0 xX0n

16、nxT xlimnnxxn 01,1mmd xxd x x47以及隐函数存在定理48 例：线性代数Ax=b均可写成x=Cx+D，如果矩阵C满足条件|C|1,则该方程有唯一解，且可以由迭代求得 练习：利用压缩映像原理证明方程x=a sinx只有唯一解x=0，其 中0a1。 隐函数定理：设函数 f(x,y)在带状区域D中处处连续，且处处有关于y的偏导数。如果存在常数mM,满足 则方程f(x,y)=0在区间a,b上必有唯一的连续函数y=g(x)作为解。其中0( , ).ymfx yMD( , ):,.x yaxby 49 121211221 , ,1()( )( )( , ( ), , .( , )( ) , , , ,11|()( )()( )| |( )( ,( )( )( ,( )|( )C a bTTxxf x