第一章直线和平面平面的基本性质之一教学目标1.了解三个

1、第一章第一章 直线和平面直线和平面 平面的基本性质之一平面的基本性质之一 教学目标教学目标1了解三个公理及公理3的三个推论；2了解推论1的证明过程教学重点和难点教学重点和难点公理3的引入与掌握及推论1的证明是教学的重点也是教学的难点教学设计过程教学设计过程师：上节课我们讲过平面是原名，没有方法定义，所以平面的性质只能以公理的形式给出，我们今天就来研究以公理形式给出的平面的性质（当教师说完上述话后，拿出一根小棍作为直线的模型，一矩形硬纸板作为平面的模型，让学生自己也拿同样的模型，师生一起观察然后，再提出问题）师：直线与平面有几种位置关系？生：有三种位置关系：平行，相交，在平面内师：相交时，直线与

2、平面有且只有几个公共点？ 生：有且只有一个公共点 师：当直线与平面有几个公共点时，我们就能判定直线在平面内？生：只要有两个公共点师：对，这就是公理1（同时板书）公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（如图1）这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线师：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中我们只把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以：点A在直线a上，记作Aa；生：不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线（这时教师用手动矩形硬纸板，表示同意学生的意见，并说）师：我们只能用有

3、限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解（同时板书）公理公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（如图2）a关于公理3的引入，可用类比思想，按如下步骤进行师：如何确定一条直线？生：过两点可以确定一条直线师：为什么过一点不能确定一条直线？生：因为过一点可以有无数条直线，所以过一点不能确定一条直线，而过两点有并且只有一条直线，所以说过两点可以确定一条直线师：过一点能不能确定一个圆？生：不能，因为过一点可以有无数个圆，而且这无数个圆的圆心、半径都在变师：过两点能不能确定一个圆？生：不能

4、，因为过两点的圆也有无数个，这无数个圆的圆心都在以这两点为端点的线段的垂直平分线上师：过不在一直线上的三点A，B，C能不能确定一个圆？生：能连AB，BC，作AB，BC两线段的垂直平分线相交于O，以O为圆心，OA为半径作圆，因为圆心、半径都是唯一确定的，所以圆也是唯一确定的 师：通过复习我们了解了直线的确定和圆的确定现在我们要来研究平面的确定 过一点能不能确定一个平面？（这时教师用一根小棍的一端作为空间的一个点，用一矩形硬纸板作为过这个点的平面，同时用手在硬纸板不离开小棍的一端条件下而能“动”起来）我们来看一看这个模型生：不能，因为过一点可以有无数个平面师：过两点能不能确定一个平面？（这时教师用

5、相交两个小棍的两个端点作为空间两点，再用硬纸板作为过这两点的平面，教师用手使这个平面仍然“动”起来）我们来看这个模型生：不能，因为过两点仍有无数个平面师：过不在一直线上的三点能不能确定一个平面？（这时教师用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点，当把作为平面的硬纸板放在上面时，这时作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，就不满足题目中条件的要求）我们来观察这个模型（如图3）生：能因为过这三点的平面有一个而且只有一个师：这就是我们今天所要讲的公理3公理公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面（如图4）师：例如一扇门用两个合页和一把锁就可以固

6、定了，但要注意，锁与合页不能放在同一直线位置上，否则，门也无法固定师：以上我们讲了三个公理，下面我们来应用这三个公理证明三个推论推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面已知：点 A，直线 a，A a（如图 5） 求证：过点 A 和直线 a 可以确定一个平面 证明：证明：存在性 因为 A a，在 a 上任取两点 B，C 所以过不共线的三点 A，B，C 有一个平面（公理 3） 因为 B，C， 所以 a（公理 1） 故经过点 A 和直线 a 有一个平面 唯一性：如果经过点 A 和直线 a 的平面还有一个平面，那么 A，a ， 因为Ba， Ca，所以B，C（公理1）故不共线的三点A，

7、B，C既在平面内又在平面内所以平面和平面重合（公理3）所以经过点A和直线a有且只有一个平面有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”类似地可以得出下面两个推论：推论推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面（如图6） 推论推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面（如图7） 下面应用平面的基本性质证明空间有关点和直线的共面问题（空间的几个点和几条直线，如果都在同一平面内，简单地说它们“共面”，否则说它们“不共面”）例例1 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内（如图8）已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C 求证：直线AB，BC，AC共面 证法一：证法一：因为 ABAB

8、=A， 所以直线 AB，AC 确定一个平面（推论 2） 因为 BAB，CAC， 所以 B，C， 故 BC （公理 1） 因此直线 AB，BC，CA 都在平面内，即它们共面a 证法三：证法三： 因为 A，B，C 三点不在一条直线上， 所以过 A，B，C 三点可以确定平面（公理 3） 因为 A，B，所以 AB （公理 1） 同理 BC ，AC ，所以 AB，BC，CA 三直线共面 这个例题证完后，教师可以提出两个问题让学生思考 师：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？ 证法二：证法二： 因为 A 直线 BC 上， 所以过点 A 和直线 BC 确定平面（推论 1） 因为 A， BBC，所以 B 故 AB ， 同理 AC ， 所以 AB，AC，BC 共面 生：不能，因为三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以共面，也可以不共面（这时学生可用手中的三个小棍作为模型来说明什么情况共面，什么情况不共面）师：这个题我们能不能推广？即把这题改为：四条直线两两相交且不过同一点，则这四条直线必共面；也可以把这题推广为更一般地的情况：n条直线两两相交且不过同一点，则这n条直线必共面，当然这两种推广的情况的证明与例1类似，这里只要求你们了解这两种情况，不要求你们去证明师：由例1的证明可知，要证明空间的点、直线共面，可以先由某些元