瞬时速度与导数(上课用)

1、1.1.2瞬时速度与导数平均变化率的概念：平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0). 则当x0时，商称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率。00()()f xxf xyxx一一. .平均速度平均速度已知物体作变速直线运动已知物体作变速直线运动, ,其运动方程为其运动方程为s ss s( (t t)()(表示位移表示位移, ,t t表示时间表示时间),),求物体在求物体在t t0 0时刻的速时刻的速度度如图设该物体在时刻如图设该物体在时刻t t

2、0 0的位移是的位移是(t(t0 0) )OAOA0 0, ,在时刻在时刻t t0 0 + +t t 的位移是的位移是s s(t(t0 0+ + t)=t)=OAOA1 1, ,则从则从t t0 0 到到 t t0 0 + +t t 这段时间内这段时间内, ,物体的位移是物体的位移是: :tsttttsttsv 0000_)()()()()(0001tsttsOAOAs 在时间段在时间段 内，物体的平均速度为内，物体的平均速度为:00()tttt 平均速度：平均速度： 反映了物体运动时的快慢程度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非但要精确地描述非匀速直线运动匀速直线运动,就要知道就要知

3、道物体在每一时刻运动的快物体在每一时刻运动的快慢程度慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映也既需要通过瞬时速度来反映.问题情境问题情境: 跳水运动员从跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动秒后运动员相对于水面的高度为员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试试确定确定t=2s时运动员的速度。时运动员的速度。(1)计算运动员在计算运动员在2s到到2.1s(t2,2.1)内的内的平均速度。平均速度。(2.1)(2)13.59(/ )2.1 2HHvm s (2)计算运动员在计算运动员

4、在2s到到2+t s(t2,2+t)内的平均速度。内的平均速度。时间区间时间区间 t t 平均速度平均速度22，2.12.10.10.1-13.59-13.592,2.012,2.010.010.01-13.149-13.1492,2.0012,2.0010.0010.001-13.1049-13.10492,2.00012,2.00010.00010.0001-13.10049-13.100492,2.000012,2.000010.000010.00001-13.100049-13.1000492,2.0000012,2.0000010.0000010.000001-13.1000049-

5、13.10000490,?tv观察当趋近于 时 平均速度 有什么样的变化趋势时间区间时间区间 t t 平均速度平均速度1.91.9，22 0.10.1 -12.61 -12.611.99,21.99,2 0.010.01 -13.051 -13.0511.999,21.999,2 0.0010.001 -13.0951 -13.09511.9999,21.9999,2 0.00010.0001 -13.09951 -13.099511.99999,2 1.99999,2 0.00001 -13.0999510.00001 -13.099951. 1 .13,22,2,0,都趋近于一个确定的值平

6、均速度时一边趋近于还是从大于一边的从小于即无论时趋近于当我们发现tt该常数可作为运动员在该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。时的瞬时速度。度：，也可以计算出瞬时速一般地，对任一时刻0tt9 . 45 . 6t 8 . 9tt5 . 6t9 . 4tt9 . 42tt 5 . 6t9 . 410tt5 . 6tt9 . 410tthtth02002002000）（）（）（）（）（5 . 6t 8 . 90t0时，上式右边趋近于趋近于当s/m5 . 6t 8 . 9t00），运动员的速度是（这就是说，在时刻之间的平均变化率到）在（以上分析表明，函数tttth00tthtth00）（）（5 . 6

7、t 8 . 90t0时，趋于常数趋近于当时刻的瞬时速度我们把它称为0tlts趋近于一个常数比值 设物体作直线运动所经过的路程为设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。 以以t0为起始时刻，物体在为起始时刻，物体在 t时间内的平均速度为时间内的平均速度为 vttfttfts)()(00就是物体在就是物体在t0时刻时刻的的瞬时速度瞬时速度，即，即 所以当所以当 t0时，时，ttfttfts)()(00。二、瞬时速度二、瞬时速度00()( )0f ttf ttlt 当时,一个常数三、函数的瞬时变化率：三、函数的瞬时变化率： 函数函数y=f(x)，在，在x0及其附近有意义及其附近有意义，自变量自变

8、量在在x=x0附近改变量为附近改变量为x 平均变化率为平均变化率为00()()f xxf xyxxf(x0+x)f(x0).则函数值相应的改变则函数值相应的改变y=00()()f xxf xyxx 当当x 0 时，时，常数常数 l 常数常数 称为函数称为函数f(x)在点在点x0的瞬时变化率的瞬时变化率l000()()limxf xxf xlx 上述过程记作上述过程记作000000|lim.x xxf xxf xfxyfxx 记作或即 处的在我们称它为函数处的瞬时变化率是在函数一般地00000,lim,xxxfyxxfxxfxxxfyx导数 00.fxfxx表示函数点y在处的导数=数就是瞬时速度

9、因此位移对于时间的导数就是加速度因此速度对于时间的导000000 )()(lim )()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx( )()xfxyy或或即即00()( )( )limlimxxyf xxf xyfxxx 如果函数如果函数 f(x)在开区间在开区间 (a,b) 内每一点都可导，内每一点都可导，就说就说f(x)在开区间在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间内可导这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值内每一个确定的值 x，都对应着一个确定的导，都对应着一个确定的导数数 这样就在开区间这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫

10、做数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间在开区间(a,b)内的内的导函数导函数，简称为，简称为导数导数，记作，记作 fx四、导函数四、导函数例1.求 在点x=1处的导数变式变式1.1.求求 的导数的导数xy1xy1由定义求导数（三步法由定义求导数（三步法）步骤步骤:求求y=x2+2在点在点x=1处的导数处的导数解：解：xxxxxyxxxy2)(22)()21 (2)1(22222|201xyxyx时，当);()()1 (00 xfxxfy求函数的增量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均变变化化率率.lim)()3(00 xyxfx取极限，得导数（求极限时，若经整理后分母不

11、含求极限时，若经整理后分母不含 ，则令其为，则令其为0即可）即可）x2) 1 (/f,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211,0000 xxxxxyx时当. 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由的值。求且出及其附近有定义，在、已知函数例00,21|20 xyxxxyxx例3火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？ 解：火箭的运动方程为h(t)=100t gt2，21在t附近的平均变化率为22211100()() 100221100()2ttg tttgtttgt tt

12、gtt =100gt gt。 12当t0时，上式趋近于100gt。可见t时刻的瞬时速度h(t)=100gt。 令h(t)=100gt=0，解得10010010.2( )9.8tsg 所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.例4一正方形铁板在0C时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀，当温度为tC时，边长变为10(1+at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。解：设温度的增量为t，则铁板面积S的增量S=1021+a(t+t)2102(1+at)2 =200(a+a2t)t+100a2(t)2. 因此 =200(a+a2t)+100a2t. St令t0， 得S/= .200(a+a2t)st练习题xfxfx3) 1 ()1 (lim0C3133Cxxf1)(axafxfax)()(lima