矩阵位移法知识讲解

1、第10章 矩阵位移法10-1 概述10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 等效结点荷载10-7 计算步骤和算例10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析10-9 桁架及组合结构的整体分析10-1 概述10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1 1 一般单元一般单元ABCEDFABDEC结构的离散化结构的离散化10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵杆端力和杆端位移的符号杆端力和杆端位移的符号弯矩、转角：绕杆端弯矩、转角：绕杆端顺顺时针为正；时针为正；其它：与坐标轴同向为正。其它：与坐标轴同向为正。iE，I，

2、A，ljyxxy ：顺顺时针为正时针为正i j iuivjvjue1xF2yF1yF2xF1M2Me杆端位移杆端位移杆端力杆端力局部坐标系局部坐标系e10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵 1xFEA l 216y iFEI l 14MEI l 22MEI l 226yFEI l 3112yFEI l 216MEI l 226MEI l 3212yFEI l e11 11u 11v 2xFEA l ee一般单元的刚度方程和刚度矩阵一般单元的刚度方程和刚度矩阵10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1121112232321112222212111223232211222212612664621261

3、266264xyxyEAEAFuullEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllllEAEAFuullEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllll 10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵 123456FFFFFF 用用e表示表示111222xyxyFFMFFM e表示表示111222uvuv e用用 123456 e10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵 1122323233224453232622000012612600646200000012612600626400EAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllllEAEAFllEIEIEIEIFl

4、lllEIEIEIEIFllll 56 Fk 局部坐标下的单元刚度方程局部坐标下的单元刚度方程eeeeee10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵 323222323222000012612600646200000012612600626400EAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll e局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵2 2 单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质（1 1）单元刚度系数的意义）单元刚度系数的意义单位杆端位移引起的杆端力单位杆端位移引起的

5、杆端力（2 2）单元刚度矩阵是对称矩阵）单元刚度矩阵是对称矩阵反力互等定理反力互等定理（3 3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵矩阵行列式等于零，逆阵不存在。矩阵行列式等于零，逆阵不存在。解不解不唯一唯一由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移 （刚体位移（刚体位移+ +变形）。变形）。解解唯一唯一 Fk 1kF eeeeee10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵3 3 特殊单元特殊单元（1 1）连续梁单元的刚度方程）连续梁单元的刚度方程单元两端只有转角位移单元两端只有转角位移 1122323233224453232622000012

6、612600646200000012612600626400EAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllllEAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllll 56 10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵 33664224EIEIFllEIEIFll （2 2）桁架单元刚度方程）桁架单元刚度方程 1144EAEAFllEAEAFll eeeeee非奇异，可逆非奇异，可逆奇异，不可逆奇异，不可逆10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵（3 3）刚架中忽略轴向变形的梁单元刚度方程）刚架中忽略轴向变形的梁单元刚度方程 223232332255323266221261266

7、4621261266264EIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllll 奇异，不可逆奇异，不可逆eee10-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵1 1 单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵局部坐标系下局部坐标系下的杆端力的杆端力整体坐标系下整体坐标系下的杆端力的杆端力xyxyF(1)12F(3)F(2)F(4)F(6)F(5)xyxyF(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)ee1210-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵 1122123344554566cossinsincoscossinsincosFFFFFFFFFFFFFFFF 112

8、233445566cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001FFFFFFFFFFFF ee10-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵 FTF cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001T 1TTT 坐标转换矩阵（正交矩阵）坐标转换矩阵（正交矩阵）ee10-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵同理：同理： T 123456 其中其中: :整体坐标下整体坐标下的杆端位移的杆端位移ee10-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵1 1 整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵 Fk e

9、ee FTFT eeee TFkT eee 1FTkT eee TFTkT eee TkTkT ee Fk eee 1TTT 整体坐标下的单整体坐标下的单元刚度方程元刚度方程整体坐标下的整体坐标下的元刚度矩阵元刚度矩阵10-4 连续梁的整体刚度矩阵1 1 整体刚度矩阵的集成整体刚度矩阵的集成3 2 总体编码总体编码:只对只对0结点位移结点位移(结点力结点力)进行编码进行编码1 231 123 231F1F2F3 123FFFF (1)(2)(1)(2)局部编码局部编码: :对每个单元的杆端位移进行编码对每个单元的杆端位移进行编码122310-4 连续梁的整体刚度矩阵3 2 1 231只考虑单元

10、发生位移需要的结点力只考虑单元发生位移需要的结点力111121124224FiiFii 1111211233420240000FiiFiiF 扩展扩展231F1F2F3 =0 FK 10-4 连续梁的整体刚度矩阵3 2 231F1F21 231只考虑单元发生位移需要的结点力只考虑单元发生位移需要的结点力222233224224FiiFii 扩展扩展F3 =01122223223000042024FFiiFii FK 10-4 连续梁的整体刚度矩阵yx考虑两个单元发生位移需要的结点力考虑两个单元发生位移需要的结点力3 2 1 2313F1=F1 +F1F2=F2 +F2F3=F3 +F3 FFK

11、K FK 结点力列向量结点力列向量结点位移列向量结点位移列向量整体刚度矩阵整体刚度矩阵2110-4 连续梁的整体刚度矩阵22222222111111110000000000004242242442422424iiiiiiiiiiiiiiii KKK 展开展开单元的单元的贡献矩阵贡献矩阵单元的单元的贡献矩阵贡献矩阵 1122 12 单元贡献矩阵的形成单元贡献矩阵的形成单元的定位向量单元的定位向量 1223 23 单元贡献矩阵的形成单元贡献矩阵的形成单元的定位向量单元的定位向量换码重排座换码重排座10-4 连续梁的整体刚度矩阵换码重排座形成总刚：换码重排座形成总刚： 将整体坐标系下的单元刚度矩将整

12、体坐标系下的单元刚度矩阵按定位向量进行换码，然后，进行集成阵按定位向量进行换码，然后，进行集成。例题例题 试求连续梁的整体刚度矩阵试求连续梁的整体刚度矩阵123解解 (1)总体编码总体编码 (2)形成单元刚度矩阵形成单元刚度矩阵 11114224iikii 22224224iikii 33334224iikii 10-4 连续梁的整体刚度矩阵 000000000K 1111000004224iiiiK 122211214222402044iiiKiiiii 22221131100442242244iiiiiiiiKi 整体刚度矩阵置零整体刚度矩阵置零集成单元的刚度矩阵集成单元的刚度矩阵集成单元

13、的刚度矩阵集成单元的刚度矩阵集成单元的刚度矩阵集成单元的刚度矩阵 12 23 30 (3)换码重排座换码重排座10-4 连续梁的整体刚度矩阵2 2 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质结点发生单位位移需要的结点力结点发生单位位移需要的结点力（1 1）整体刚度矩阵系数的意义）整体刚度矩阵系数的意义（2 2）整体刚度矩阵是对称矩阵）整体刚度矩阵是对称矩阵（3 3）连续梁整体刚度矩阵是非奇异可逆矩阵）连续梁整体刚度矩阵是非奇异可逆矩阵反力互等定理反力互等定理连续梁是几何不变体系连续梁是几何不变体系,没有刚体位移没有刚体位移.（4 4）连续梁整体刚度矩阵稀疏、带状矩阵）连续梁整体刚度矩阵稀疏、带状矩阵

14、10-4 连续梁的整体刚度矩阵 121112222311114400000000000000000444224224422440044000nnnnnnnnniiiiiiiiiiiKiiiiiii 对于有对于有n个结点位移的连续梁，整体刚度矩阵为个结点位移的连续梁，整体刚度矩阵为稀疏：有许多零元素。稀疏：有许多零元素。带状：只有主对角行和两条副对角线的带状区域内有非零元素。带状：只有主对角行和两条副对角线的带状区域内有非零元素。10-5 刚架的整体刚度矩阵1 1 总体编码、局部编码总体编码、局部编码总 码总 码 : 只 对只 对0结点位移结点位移进 行 编 码进 行 编 码局码局码: :对每个

15、对每个单元的杆端位单元的杆端位移 进 行 编 码移 进 行 编 码(2)(1)(3)(5)(4)(6)(5)(4)(6)(1)(3)(2)ACB123400000yx10-5 刚架的整体刚度矩阵2 2 整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030100k 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100k 10-5 刚架的整体刚度矩阵3 3 换码重排座换码重排座 T12300

16、4 4(1)(2)(3)(6)1234(1)1 300000(2)2012303010(3)303010050(6)403050100K（1 1）集成单元）集成单元定位向量定位向量10-5 刚架的整体刚度矩阵 41230303001230(1)(2)(3)1234(1)1000(2)2010(3)30403010030301005030501000K （2 2）集成单元）集成单元定位向量定位向量 T123000 10-5 刚架的整体刚度矩阵 43123123030302005030501030300001000K 总体刚度矩阵为总体刚度矩阵为10-5 刚架的整体刚度矩阵4 4 铰结点的处理铰结

17、点的处理45C1ABD7C21326 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100kk 总体编码：铰结点的两个总体编码：铰结点的两个杆端转角位移分别编码。杆端转角位移分别编码。10-5 刚架的整体刚度矩阵 4300300123012303010030503(1)(2)(3)(4)(5)(6)1234567(1)100000(2)2000(3)300010(4)40000

18、0(5)5000(6)600070000000300123012303050030 1000K 集成单元集成单元10-5 刚架的整体刚度矩阵继续集成单元继续集成单元 412303003010030030012301230301003050(1)(2)(3)1234567(1)100000(2)2000(3)300010400003003001230123030503050006000700000000 100K 10-5 刚架的整体刚度矩阵继续集成单元继续集成单元 41230300301030030012301230301003050(1)(2)(3)123456710000020003000

19、10(1)400000(2)503003001203012006000(3)7300000123030300503010000003100K 10-5 刚架的整体刚度矩阵总刚总刚 43123003123012303020030503030000000000100000003121230312300003030000000303015030001000K 10-6 等效结点荷载2 2 等效结点荷载的形成等效结点荷载的形成F2PF1P没有结没有结点位移点位移PE33PF PE11PF 只有结只有结点位移点位移F3PE22PPF E1E21P23PE3PPFPFPF PEPF 1P2PE2PE33E

20、1PFFFPP 10-6 等效结点荷载(1)PF(2)PF(3)PF(4)PF(5)PF(6)PF(3)PF(1)PF(2)PF(4)PF(5)PF(6)PF1P2P3(1)P(3)PP0FFFFF 1 0 2 0 0 0T (1)P(4)P(3)P(6)1P2P3PPFFFFFFF 1 0 2 1 0 3T F2PF1PF3P10-6 等效结点荷载(3)PF(1)PF(2)PF(4)PF(5)PF(6)PF(1)P1P2P3P(3)P0FFFFF 1 0 3 0 0 0T F2PF1PF3P(1)P(1)P1P1P1P2P2P2P(3)P(3)P3P3P3P(6)P(3)P1P2P3PFFF

21、FFFFFFFFFFFFFFF 10-6 等效结点荷载(1)P(1)P1P1P1P2P2P2P(3)P(3)1P2P3P3PP33P(6)P(3)P12PEEE3PPFFFFFFFFFFFFPFFFFFF 3 3 等效结点荷载的集成步骤等效结点荷载的集成步骤（1 1）确定局部坐标系下的单元固端力）确定局部坐标系下的单元固端力（2 2）计算整体坐标系下的单元等效结点荷载）计算整体坐标系下的单元等效结点荷载 TP(1)P(2)P(3)P(4)P(5)P(6)PeeeeeeeFFFFFFF TTEPE(1)E(2)E(3)E(4)E(5)E(6)eeeeeeeePTFPPPPPP 10-6 等效结点

22、荷载将结点荷载在等效荷载列阵中定位；将结点荷载在等效荷载列阵中定位；将每个单元的等效结点荷载换码重排座，进行累加。将每个单元的等效结点荷载换码重排座，进行累加。（3 3）整体结构的等效结点荷载）整体结构的等效结点荷载 EP10-6 等效结点荷载例题例题8kN6kN7kNm5m4.8kN/m10kN2.5m2.5m P0121001210F （1 1）局部坐标系下的单元固端力）局部坐标系下的单元固端力 P045045F 21348kN4kN4kN5kNm5kNm12kN12kN10kNm10kNm4.8kN/m解解10-6 等效结点荷载 TEP0121001210PTF （2 2）整体坐标系下的

23、单元等效结点荷载）整体坐标系下的单元等效结点荷载 TEP010000041000004000100055000010040001004000000155PTF 10-6 等效结点荷载集成单元集成单元 E01210110706P 集成单元集成单元 E40012105610107P 单元定位单元定位 E1022517P 结构的等效结点荷载结构的等效结点荷载（3 3）结构的等效结点荷载）结构的等效结点荷载 E61007P 结点荷载定位入座结点荷载定位入座单元等效结点集成单元等效结点集成 T1 2 3 0 0 4 T1 2 3 0 0 010-6 等效结点荷载例题例题 求等效结点荷载求等效结点荷载解解

24、 TP03020 030 20F TP0155 015 5F(1)局部坐标下的单元固端力局部坐标下的单元固端力(2)整体坐标下的单元等效结点整体坐标下的单元等效结点 荷载荷载4m15kN/m40kN2m30kN30kN20kNm20kNm15kN/m15kN15kN5kNm5kNm15kN/m TEPT01550155PTF TEPT0302003020PTF 10-6 等效结点荷载集成单元集成单元 E0400P 集成单元集成单元 E5150405200P 单元定位向量单元定位向量 E15555P 结构的等效结点荷载结构的等效结点荷载 T0 0 0 0 0 1 T0 0 1 0 2 3 (3)

25、 结点等效结点荷载集成结点等效结点荷载集成结点荷载定位入座结点荷载定位入座 E040020P 10-7 计算步骤和算例(1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵形成局部坐标系下的单元刚度矩阵(2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵形成整体坐标系下的单元刚度矩阵(3)“换码重排座换码重排座”，形成整体结构的刚度矩阵，形成整体结构的刚度矩阵2 形成刚度矩阵形成刚度矩阵1 确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载(1)形成局部坐标系下的单元固端力形成局部坐标系下的单元固端力(2)形成整体坐标系下的单元等效结点荷载形成整体坐标系下的单元

26、等效结点荷载(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体结构的等效结点荷，形成整体结构的等效结点荷载载10-7 计算步骤和算例4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1)整体坐标系下的单元杆端位移整体坐标系下的单元杆端位移(2)局部坐标系下的单元杆端位移局部坐标系下的单元杆端位移(3)局部坐标系下的单元杆端内力局部坐标系下的单元杆端内力10-7 计算步骤和算例例题例题 做图示刚架的内力图做图示刚架的内力图12m1kN/m6mABCD21ABCD43解解 1 确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码5

27、610-7 计算步骤和算例2 形成刚度矩阵。形成刚度矩阵。383.30083.30002.316.9402.316.9406.9427.806.9413.91083.30083.30002.316.9402.316.9406.9413.906.9427.8kk 352.50052.50000.583.7400.583.4703.7427.803.4713.91052.50052.50000.583.4700.583.4703.4713.903.4727.8k (1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。10-7 计算步骤和算例 01010000010100100001

28、TT (2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。 T32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.86.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8kkTkT kk 10-7 计算步骤和算例(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载 TTT1 2 3 0 0 01 2 3 4 5 64 5 6 0 0 0 354.8106.9452.500083.883.4700.583.476.943.4755.603

29、.4713.91052.50054.8106.9400.583.47083.883.4703.4713.96.943.4755.6K 10-7 计算步骤和算例3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载(1)形成局部坐标系下的单元固端约束力形成局部坐标系下的单元固端约束力(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体坐标系下的等效结点荷，形成整体坐标系下的等效结点荷载载(2)形成整体坐标系下的单元等效结点荷载形成整体坐标系下的单元等效结点荷载 TP033033F TTEP303303PTF TE303000P10-7 计算步骤和算例4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移 EKP 1233

30、45654.8106.9452.5003083.883.4700.583.4706.943.4755.603.4713.931052.50054.8106.94000.583.47083.883.47003.4713.96.943.4755.60 T8475.1328.48245.1396.5 10-7 计算步骤和算例 T8475.1328.48245.1396.5 5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1) 确定整体坐标系下的杆端位移确定整体坐标系下的杆端位移 T8475.1328.4000 T8475.1328.48245.1396.5 T8245.1396.5000 TTT1 2 3

31、 0 0 01 2 3 4 5 64 5 6 0 0 0 10-7 计算步骤和算例 01 08475.131 0 005.1384700 128.428.401 00001 0 00000 100T T8475.1328.48245.1396.5 01 08245.131 0 005.1382400 196.596.501 00001 0 00000 100T (2) 确定局部坐标系下的杆端位移确定局部坐标系下的杆端位移10-7 计算步骤和算例5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力 P383.30083.3005.13002.316.9402.31 6.94847306.9427.806.9

32、4 13.928.431083.30083.3000002.316.9402.316.940306.9413.906.9427.803FkF 0.431.242.090.434.768.49 10-7 计算步骤和算例 P352.50052.5008471.2400.583.4700.583.475.130.4303.7427.803.4713.928.42.091052.50052.5008241.2400.583.4700.583.475.13003.4713.903.4727.896.5FkF .433.04 P383.30083.3005.130.4302.316.9402.31 6.9

33、48241.2406.9427.806.94 13.996.53.041083.30083.30000.4302.316.9402.316.9401.2406.9413.906.9427.804.FkF 3810-7 计算步骤和算例 T0.431.243.040.43 1.244.38F T1.24 0.43 2.091.240.43 3.04F T0.43 1.242.09 0.43 4.768.49F 1kN/m1.24kN2.09kNm4.76kN8.49kNm0.43kN0.43kN0.43kN0.43kN2.09kNm3.04kNm1.24kN1.24kN1.24kN3.04kNm1

34、.24kN4.38kNm0.43kN0.43kN10-7 计算步骤和算例6 画出内力图画出内力图2.098.494.383.041.244.761.240.43M图图(kNm)FQ图图(kN)0.430.431.24FN图图(kN)10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析1C1ABD4C2123 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100kk 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 例题例题 求整体刚度矩

35、阵求整体刚度矩阵. 已知整体坐标系的单元刚度矩阵已知整体坐标系的单元刚度矩阵.10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析集成单元集成单元 430030030030010050500000100000000100K 解解 112032415063 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 1C1ABD4C212310-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析集成单元集成单元 4000010050000100000050100123030100K 4120301203003000030030303010030

36、0501012030120300300003000303050300100k 1120324050601C1ABD4C212310-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 4000010050050010001230300000100123030101000K集成单元集成单元1C1ABD4C2123 112034405060 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100k 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析总刚总刚 40200500501003030100240100030003K 10-8 忽略

37、轴向变形时矩形刚架的整体分析例题例题 做图示刚架的内力图做图示刚架的内力图12m1kN/m6mABCD21ABCD13解解 1 确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析2 形成刚度矩阵形成刚度矩阵(1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。383.30083.30002.316.9402.316.9406.9427.806.9413.91083.30083.30002.316.9402.316.9406.9413.906.9427.8kk 352.50052.50000.583.7400

38、.583.4703.7427.803.4713.91052.50052.50000.583.4700.583.4703.4713.903.4727.8k 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 01010000010100100001TT (2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。 T32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.86.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8kkTkT kk 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析(3) “换码重排座换码

39、重排座”，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载 32.316.94 06.9427.8100000K 集成单元集成单元21ABCD13 112032405060 32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.86.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8k 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载 352.5 52.552.5 52.527.913.9

40、13.927.82.31106.9406.940K 集成单元集成单元21ABCD13 112032415063 352.50052.50000.583.7400.583.4703.7427.803.4713.91052.50052.50000.583.4700.583.4703.4713.903.4727.8k 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载集成单元集成单元21ABCD13 112033405060 32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.8

41、6.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8k 327.81312.316.946.942.092.316.946.7.19427.883.927.8K 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 34.626.946.946.9455.613.9106.9413.955.6K 整体刚度矩阵整体刚度矩阵3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载(1)形成局部坐标系下的单元固端约束力形成局部坐标系下的单元固端约束力 TP033033F(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体坐标系下的等效结点荷，形成整体坐标系下的等效结点荷载载

42、(2)形成整体坐标系下的单元等效结点荷载形成整体坐标系下的单元等效结点荷载 TTEP303303PTF TE330P T1 02 0 0 0 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移 EKP 13234.626.946.943106.9455.613.936.9413.955.60 T83826.197.9 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1)由结点位移，确定各单元的局部坐标系下的杆端位移由结点位移，确定各单元的局部坐标系下的杆端位移 T838026.1000 T838026.1838

43、097.9 T838097.9000 TTT1 02 0 0 01 02 1 031 03 0 0 0 T83826.197.9 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 01 083801 0 00083800 126.126.101 00001 0 00000 100T T838026.1838097.9 01 083801 0 00083800 197.997.901 00001 0 00000 100T 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力 P383.30083.30000002.316.9402.31 6.9483831.206.942

44、7.806.94 13.926.131083.30083.3000002.316.9402.316.940306.9413.906.9427.803FkF 52.0904.758.41 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 P352.50052.500838000.583.4700.583.4700.4303.7427.803.4713.926.12.091052.50052.500838000.583.4700.583.4700.4303.4713.903.4727.897.93.09FkF P383.30083.3000002.316.9402.31 6.948381.2506.94

45、27.806.94 13.997.93.091083.30083.3000002.316.9402.316.9401.2506.9413.906.9427.804.47FkF 10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 T0 1.252.09 0 4.758.41F T0 0.43 2.09 00.43 3.09F T01.253.09 0 1.254.47F1kN/m1.25kN2.09kNm4.75kN8.41kNm1.25kN3.09kNm1.75kN4.47kNm0.43kN0.43kN2.09kNm3.09kNm6 画出内力图画出内力图10-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析2.0

46、98.414.473.091.254.751.260.43M图图(kNm)FQ图图(kN)0.430.431.25FN图图(kN)10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析1 1 桁架桁架（1 1）局部坐标系下的单元刚度方程）局部坐标系下的单元刚度方程 11421111eeFEAlF 112233441010000010100000eeFFEAlFF (1)(2)(1)(3)(2)(4)扩大为四阶形式扩大为四阶形式10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析（2 2）坐标转换矩阵）坐标转换矩阵 cossin00sincos0000cossin00sincoseT 去掉一般单元中与弯矩对应的行

47、和列去掉一般单元中与弯矩对应的行和列（3 3）集成整体刚度矩阵）集成整体刚度矩阵方法方法:换码重排座换码重排座. 但结点转角位移不编码但结点转角位移不编码.10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析ABCD10kN10kNll1234例题例题 试求桁架杆内力。试求桁架杆内力。 各杆各杆EA相同。相同。1 确定坐标系、单元确定坐标系、单元 和结点位移编码和结点位移编码解解10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析2 形成刚度矩阵。形成刚度矩阵。(1)形成局部坐标系下形成局部坐标系下 的单元刚度矩阵。的单元刚度矩阵。1010000010100000kkkkEAl 101000001010200

48、00kkEAl (2)形成整体坐标系下形成整体坐标系下 的单元刚度矩阵。的单元刚度矩阵。 0100100000010010TT T0000010100000101kkTkTEAl 10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析 110011001001120011T T1111111111112 21111kTkTEAl 1010000010100000kkEAl 110011001001120011T T1111111111112 21111kTkTEAl 10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体刚度矩，形成整体刚度矩阵阵 TTT1 2 0 01

49、2 3 43 4 0 0 TTT0 0 0 01 2 0 03 4 0 0 集成单元集成单元 0000010000000000EAKl 00000100001010000010100000000000EAKl 集成单元集成单元10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析 10100100101000000010EAKl 集成单元集成单元 1010010010100001EAKl 集成单元集成单元 101001001010112 22 2112 22 20001EAKl 集成单元集成单元10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析 112 222 211102 22 212 21002 22 2

50、1010012112 22 2EAKl 集成单元集成单元 1.350.35100.351.3500101.350.35000.351.35EAKl 整体刚度矩阵整体刚度矩阵10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载只有结点集中荷载，可直接写出只有结点集中荷载，可直接写出 TE101000P 4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移 EKP 12341.350.3510100.351.350010101.350.350000.351.350EAl T126.9414.4221.365.58EA 10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析5

51、求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1) 局部坐标系下的杆端位移局部坐标系下的杆端位移 TTT1 2 0 01 2 3 43 4 0 0 TTT0 0 0 01 2 0 03 4 0 0 T26.9414.4221.365.58 T26.9414.4200 T21.365.5800 T0000 T126.9414.4221.365.58EA 10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析 010 026.9414.42111 00 014.4226.940 001000 01 000TEAEA T26.9414.4221.365.58 010 021.365.58111 00 05.5800

52、001000 01 000TEAEA (2)整体坐标系下的杆端位移整体坐标系下的杆端位移10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析 0 110 026.948.851111 10 014.4229.250 0110020 01 100TEAEA 110 021.3611.16111110 05.5819.050 0110020 01100TEAEA 10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1)计算局部坐标下的杆端内力计算局部坐标下的杆端内力 101 014.4214.420 0 0 026.9401 0 10014.420 0 0 000EAlF

53、klEA 101 026.945.580 0 0 014.4201 0 1021.365.580 0 0 05.580EAlFklEA 10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析 101 05.585.580 0 0 021.3601 0 1005.580 0 0 000EAlFklEA 101 0000 0 0 0001 0 10000 0 0 000EAlFklEA 101 08.856.260 0 0 029.2501 0 1006.2620 0 0 000EAlFkEAl 10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析 101 011.167.890 0 0 019.0501 0 10

54、07.8920 0 0 000EAlFkEAl ABCD-5.5814.4-6.267.89-5.580FN(kN)10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析2 2 组合结构组合结构区分梁式杆和桁架杆区分梁式杆和桁架杆.对梁式杆采用梁单元刚度方程和相应的计算公式对梁式杆采用梁单元刚度方程和相应的计算公式; 对桁架杆采用桁架单元刚度方程和相应的计算公式对桁架杆采用桁架单元刚度方程和相应的计算公式.10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析例题例题 试求图示组合结构的内力。已知横梁的试求图示组合结构的内力。已知横梁的EA=2EI。 吊杆的吊杆的E1A1=EI/20。10kN/m15m20m20

55、m20m1234561 确定坐标系、单元和结点位移编码确定坐标系、单元和结点位移编码解：解：10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析20020000.030.300.030.300.3400.322020020000.030.300.030.300.3200.34EIkkk 110.0400.04000000.0400.0400000kkE A 2 形成刚度矩阵形成刚度矩阵(1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵形成局部坐标系下的单元刚度矩阵10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析(2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。 kkkk T110.02560.01920.02560.01920.01920.01440.01920.01440.02560.01920.02560.01920.01920.01440.01920.0144kTkTE A 0.80.6000.60.800000.80.6000.60.8T 10-9 10-9 桁架及组合结构的整体分析 T110.02560.01920.02560.01920.01920.01440.01920.01440.02560.01920.02560.0