第2章连续时间系统的时域分析

1、第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子系统的数学模型与传输算子 2.2 LTI系统的算子符号表示与传输算子系统的算子符号表示与传输算子 2.3 LTI因果系统的零输入响应因果系统的零输入响应 2.4 LTI因果系统的零状态响应因果系统的零状态响应 2.5 卷积及其性质卷积及其性质 2.6 LTI因果系统的全响应及其分解因果系统的全响应及其分解 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子系统的数学模型与传输算子 2.1.1 建立

2、LTI系统的数学模型 有两类建立系统模型的方法， 一是输入输出描述法， 二是状态变量描述法。 本章只讨论输入输出描述法。 用这种描述法， 连续时间LTI系统的数学模型是常系数线性微分方程； 离散时间LTI系统的数学模型是常系数线性差分方程（将在第五章讨论）。 由具体电路模型可以讨论系统数学模型的建立。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.1-1 RLC串联电路CF61iL(0)R5 i(t)e(t)L1 H第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.1-1 如图2.1-1所示的RLC串联电路， e(t)为激励信号， 响应为i(t)， 试写出其微

3、分方程。 解 这是有两个独立动态元件的二阶系统， 利用KVL定理列回路方程， 可得)()(1)()(teiCtidtdLtRti第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 上式是一个微、 积分方程， 对方程两边求导， 并代入系数， 整理为)()(6)(5)(22tedtdtitidtdtidtd这是二阶系统的数学模型二阶线性微分方程。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 一般有n个独立的动态元件组成的系统就是n阶系统(或n个一次线性微分方程组)。 一般电路系统的阶数等于独立的uC(t)与iL(t)的个数之和， 其中独立的uC(t)不能用其它uC(t)(可含电

4、源)表示； 独立的iL(t)不能用其它iL(t)(可含电源)表示。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.1-2 如图2.1-2所示电路， 判断系统阶数。 图 2.1-2 例2.1-2电路 C2R1f (t)C1R2C1C2C3f (t)R1R2(a)(b)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 解 (1) R1i1(t)+uC1(t)+uC2(t)=e(t)， uC2(t)=uR2(t)， 有两个独立的uC(t)， 所以该系统是二阶系统。 (2) uC1(t)=uC2(t)+uC3(t)， 是通过其它uC(t)表示的， 是非独立的uC(t)； 但u

5、C2(t)uC3(t)， 有两个独立的uC(t)， 所以该系统也是二阶系统。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.1.2 系统微分方程求解经典法 一般n阶LTI系统的微分方程为)()()()()()()()(111101111tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnnn第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 初始条件为y(0+), y(0+), , yn-1(0+)。 由上式可得系统的特征方程为 n+a1n-1+.+a n-1+an=0 (-1)(-2).(-n)=0 (2.1-1)由特征

6、方程可求得特征根。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 假设特征根均为单根1、2、.、n， 由其得到通解yh(t)的一般形式tinihieCty1)( (2.1-2) 式中i为特征根。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 微分方程特解的形式与激励形式相同， 如表2-1所示， 代入原方程中得到具体系数。 微分方程的解由通解与特解两部分组成， 即完全解为)()()()(1tyeCtytytyptiniphi(2.1-3) 由n个初始条件y(0+), y(0+), ., yn-1(0+)确定n个Ci系数。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时

7、域分析 这种由通解与特解求解系统响应的方法称为经典法， 注意到“高等数学”给出的初始条件一般是全响应(第一类)标准初始条件y(0+), y(0+), ., yn-1(0+)。 用经典法求解线性微分方程是高等数学的内容， 本书不再详述。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 表2-1 典型激励对应的特解 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.2 LTI系统的算子符号表示与传输算子系统的算子符号表示与传输算子 2.2.1 用算子符号表示微分方程 n阶LTI系统的数学模型是n阶常系数线性微分方程。 式(1.6-6)给出n阶线性微分方程的一般形式书写起来不方

8、便， 为了形式上简洁， 可以将微、 积分方程中的微、 积分运算用算子符号p与1/p表示， 由此得到的方程称为算子方程。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 微分算子 xdtdxpdtdpxdtdpxdtdpnnnnnn, (2.2-1) (2.2-2) 积分算子 xdxpdptt1,()1(2.2-3)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 这样， 例2.1-1电路的微分方程可以表示为 p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t) 式(1.6-6)的n阶线性微分方程可以用算子表示为 a0pny(t)+a1pn-1y(t)+.+an-1 py(t)+

9、any(t) =b0pmf(t)+b1pm-1f(t)+.+bm-1 pf(t)+bmf(t) (2.2-4)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 式(2.2-4)是算子方程。 算子方程中的每一项表示的是运算关系， 而不是代数运算。 模仿代数运算， 还可以将上式简化为 (a0pn+a1pn-1+.+an-1p+an)y(t) = (b0pm+b1pm-1+.+bm-1p+bm)f(t) (2.2-5) 若再令 D(p)=a0pn+a1pn-1+.+an-1p+ao (2.2-6a) N(p)=b0pm+b1pm-1+.+bm-1p+bm (2.2-6b)第第2章章 连续时间

10、系统的时域分析连续时间系统的时域分析 则称D(p)、 N(p)为算子多项式， 式(2.2-5)可进一步简写为 D(p)y(t)=N(p)f(t) (2.2-7) 式(2.2-7)是n阶线性微分方程的算子方程。 在这里， 我们利用了提取公因子的代数运算规则。 式(2.2-7)还可以进一步改写为)()()()(tfpDpNty(2.2-8)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 式中分母多项式D(p)表示对输出y(t)的运算关系， 分子多项式N(p)表示对输入f(t)的运算关系， 而不是两个多项式相除的简单代数关系。 算子表示的是微、 积分运算， 因此代数运算规则不能简单照套，

11、下面具体讨论算子的运算规则。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 (1) 可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开。 (p+a)(p+b)x=p2+(a+b)p+abx (2.2-9) 证 xabpbapabxdtdxadtdxbdtxdbxdtdxabxdtdxdtdbxdtdxadtdxbdtdadtdxbpap)()(222第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 这样例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)还可以表示为 (p+2)(p+3)i(t)=pe(t)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 (2) 算

12、子方程左、 右两端的算子符号p不能随便消去。 由 ， 解出x=y+C而不是x=y， 两者相差一个任意常数C， 所以不能由px=py得到x=y， 即px=py， 但xy。 这一结论可推广到一般的算子方程： D(p)x=D(p)y， 但xy dtdydtdx第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 (3) p、 1/p位置不能互换。xpxptxxdtdpxppxpxppt1)()(111因为 所以 (2.2-10) 而 )()()()(1txxxdxddpxpt第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 因此 xpxp1(2.2-11) 式(2.2-10)、 (2.2

13、-11)分别说明， 形式上先“除”后“乘”即先积分后微分的运算次序， 算子可消去； 形式上先“乘”后“除”即先微分后积分的运算次序， 算子不可消去。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.2.2 用算子电路建立系统数学模型 利用算子电路建立系统数学模型比较方便， 这种方法简称算子法。 它是先将电路中所有动态元件用算子符号表示， 得到算子电路； 再利用广义的电路定律， 建立系统的算子方程； 最后将算子方程转换为微分方程。 电感的算子表示可由其电压电流关系得到， 因为 )()()(tLpitidtdLtLLL (2.2-12)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的

14、时域分析 式中, Lp是电感算子符号， 可以理解为广义的电感感抗值， 式(2.2-12)可以理解为广义欧姆定律。 同理， 由电容上的电压电流关系得到 )(1)(1)(tiCpiCtCCtC (2.2-13) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 式中, 1/Cp 是电容算子符号， 可以理解为广义的电容容抗值， 式(2.2-13)也可以理解为广义欧姆定律。 将动态元件用算子符号表示， 可以得到算子电路。 下面举例说明由算子电路列写系统的微分方程的方法。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.2-1 例2.2-1的算子电路pCp61R5 i(t)e(

15、t)Lp p第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例 2.2-1 如图2.2-1所示RLC串联电路， 输入为e(t)， 输出为电流i(t), 用算子法列出算子方程与微分方程。 解 将图2.2-1中的电感、 电容用算子符号表示， 得到算子电路如图2.2-2所示， 利用广义的KVL, 列出算子方程式 )()()65(tetipp两边同时作微分运算（ “前乘”p）， 得算子方程 (p2+5p+6)i(t)=pe(t)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 由上面的算子方程写出微分方程为)()(6)(5)(22tedtdtitidtdtidtd 结果与例2.1-1

16、相同。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例 2.2-2 如图2.2-2(a)电路， f(t)为激励信号， 响应为i2(t)， 试用算子法求其算子方程与微分方程。 解 将图2.2-2(a)中的电感用算子符号表示如图2.2-2(b)所示， 利用广义网孔法列出两个算子方程 (3p+1)i1(t)-pi2(t)=f(t) -pi1(t)+(p+3)i2(t)=0 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 利用克莱姆法则， 解出 2/35)(21) 3102()(3130)(13)(222pptpfpptpfppppptfpti由式(2.2-6)与(2.2-7)

17、， 可写成 (p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)微分方程为)(5 . 0)(5 . 1)(5)(22tfdtdtytydtdtydtd第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 也可以写成 y(t)+5y(t)+1.5y(t)=0.5f(t) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.2-2 例2.2-2电路与算子电路 i1(t)i2(t)1 Hf (t)1 1 2 y (t)i1(t)i2(t)f (t)1 1 2 y(t)2pp(a)(b)2 H第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例 2.2-3 如图2.2-3(a)

18、所示电路输入为e(t)， 输出为i1(t)、 i2(t)， 用算子法求其算子方程与微分方程。 已知L1=1 H， L2=2 H， R1=2 ， R2=1 ， C=1 F。第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.2-3 例2.2-3电路与算子电路i1(t)i2(t)e(t)R1R2CL2L1i1(t)i2(t)e(t)p1/p2p(a)(b)2 1 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 解 将图2.2-3中的电感、 电容分别用算子符号表示如图2.2-3(b)所示， 利用广义网孔法,列算子方程组0)() 112()(1)()(1)()21(2121ti

19、pptiptetiptipp第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 为避免在运算过程中出现p/p因子， 可先在上面的方程组两边同时作微分运算, 即“前乘”p（当分子分母同时出现p时可约）， 得到 (p2+2p+1)i1(t)-i2(t)=pe(t) -i1(t)+(2p2+p+1)i2(t)=0 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 利用克莱姆法则， 解出)(355212) 3552()() 12(121111201)()(2322322221tepppppppppteppppppppptpeti第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 由

20、式(2.2-6)与(2.2-7)， 可得 (2p3+5p2+5p+3)i1(t)=(2p2+p+1)e(t) 微分方程为)()()(2)(3)(5)(5)(22211122133tetedtdtedtdtitidtdtidtdtidtd第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 用相同的方法， 可以得到 )()() 3552(3552)() 3552()(1) 13552()(12111120)(1)(223232323422222tetipppppptepppptpepppptpepppppptpeppti第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 微分方程为 )

21、()(3)(5)(5)(222222233tetitidtdtidtdtidtd第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.2.3 传输（转移）算子H(p) 由式(2.2-8)有)()()()(tfpDpNty我们定义传输（转移）算子H(p)为)()()(pDpNtH (2.2-14)这样， 系统的输出可以表示为 y(t)=H(p)f(t) (2.2-15)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.2-4 求例2.2-1激励为e(t)， 响应为i(t)的系统传输算子H(p)。 解 例2.2-1的算子方程为 (p+2)(p+3)i(t)=pe(t) 则由

22、得到 ) 3)(2()()() 3)(2()(ppppHtepppti第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例 2.2-5 求例2.2-2激励为f(t)， 响应为i2(t)的系统传输算子H(p)。 解 例2.2-2的算子方程为 (p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t) 则由2/355 . 0)()(2/355 . 0)(222ppppHtfpppti得到 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.2-6 求例2.2-3激励为f(t)， 响应为i1(t)时的系统传输算子H1(p)； 激励为f(t)， 响应为i2(t)时的系统传输算子H2(p)。

23、 解 由 35521)()(355212)()(355212)(23223212321ppppHteppppppHtepppppti可得 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 我们注意到此例H1(p)与H2(p)的分母多项式相同。 由H(p)的定义， 不难看出系统传输算子的分母多项式是系统的特征多项式。 它仅与系统的结构、 参数有关， 与激励以及激励加入的端口无关。 所以同一系统， 系统的结构、 参数一定， 无论激励以及激励加入的端口如何改变， 其传输算子的分母多项式都不会改变。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.3 LTI因果系统的零输入响应因

24、果系统的零输入响应 2.3.1 零输入响应 零输入响应与激励无关， 其数学模型是齐次微分方程。 将f(t)=0， 代入式(2.2-7)的算子方程， 得到 D(p)y(t)=0 (2.3-1) 式(1.9-1)中D(p)是系统的特征多项式， D(p)=0是系统的特征方程， 使D(p)=0的值是特征方程的根， 称为系统的特征根。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 首先讨论一阶齐次微分方程的一般情况， 再讨论二阶齐次微分方程的一般情况， 最后是n阶齐次微分方程的一般情况。 一阶齐次微分方程为 (p-)y(t)=0 y(0-) (2.3-2) 第第2章章 连续时间系统的时域分析

25、连续时间系统的时域分析 由系统的特征方程p- =0， 得特征根p= ， 其解（零输入响应）的一般形式为 y(t)=y(0-)e t t0 (2.3-3) 由式(2.3-3)可知， 此时解的一般模式取决于特征根 ， 而解的系数由初始条件确定。 二阶齐次微分方程的一般算子形式为 (p2+a1p+a0)y(t)=0 y(0-), y(0-) (2.3-4) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 由p2+a1p+a0=(p-1)(p-2)=0， 得到二阶系统的两个特征根1、2。 与一阶齐次微分方程相同， 二阶齐次微分方程解的模式取决于两个特征根1、2， 其表达式为 (2.3-5)0

26、)(2121teCeCtytt式中, 系数C1、 C2由两个初始条件y(0-)、y(0-)确定。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 y(0-)=C1+C2 y(0-)=1C1+2C2 (2.3-6) 解此方程组， 求出C1、C2， 从而确定了二阶系统的零输入响应。 以上是二阶系统特征根不同的情况， 如果p2+a1p+a0=(p-)2=0， 特征根相同， 则是二阶重根， 此时二阶齐次微分方程解的形式为 y(t)=C1et+C2tet t0 (2.3-7)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 系数C1、 C2仍由两个初始条件y(0-), y(0-)确定

27、y(0-)=C1 y(0-)=C1+C2 n阶齐次微分方程的算子形式为 (pn+an-1pn-1+.+a1p+a0)y(t)=0 y(0), y(0)y(0), ., yn-1(0) (2.3-8)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 式中， y(0), y(0), y(0), ， yn-1(0)为第二类标准初始条件。由特征方程 D(p)=pn+an-1pn-1+.+a1p+a0 =(p-1)(p-2).(p-n)=0 得到n个特征根1、 2、 .、n， n阶齐次方程解的模式取决于这n个特征根， 表达式为0)(12121yCieeCeCeCtynittnttin(2.3-9

28、) n个系数C1、C2、.、Cn由n个初始条件y(0)、y(0)y(0)、.、yn-1(0)确定。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 y(0)=C1+C2+.+Cn y(0)=1C1+2C2+.+nCn yn-1(0)=1n-1C1+2n-1 C2+.+nn-1Cn (2.3-10)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 式(2.3-10)可用矩阵形式表示为421112114211111)0()0()0(CCCyyynnnnn(2.3-11) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 常数C1、.、Cn可用克莱姆法则解得， 或用逆矩阵表

29、示为)0()0()0(111111211421421nnnnnyyyCCC第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.3-1 已知系统的传输算子H(p)= 2p/(p+3)(p+4) ， 初始条件yzi(0)=1， ， 试求系统的零输入响应。 解 特征根1=-3, 2=-4 由式(2.3-8)， 零输入响应形式为 yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t t0 将特征根及初始条件y(0)=1， y(0)=2代入式(2.3-6) 1=C1+C2 2=-3C1-4C2 2)0(ziy)4)(3(2)(ppppH 解出 C1=6 C2=-5 yzi(t)=6e-3t-5e-4t

30、t0 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.3-2 已知电路如图2.3-1所示， 开关K在t=0时闭合， 初始条件i2(0-)=0， i2 (0-)=-1 A/s。 求零输入响应i2(t)。 解 先求e(t)i2(t)时的H(p) 0) 11()() 1(2121ipiteiip (p+1)i1-i2=e(t) -pi1+(p+1)i2=0 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.3-1 例2.3-2电路i1(t)i2(t)e(t)K1 1Ft 01H第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 tjtjizeCeCtijpjpp

31、ppDppppHpptpepppptepi)2321(2)2321(122222)()2321)(2321(1)(1)(1)(1110)(1第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 32321)2321()2321()0()0(21212212jCjCCjCjiCCi解出 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 代入初始条件 023sin322323131)(21232321)2321()2321(2ttejeeeejejtittjtjttjtjzi第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.3.2 初始条件标准化 第一类标准初始条件y(0+

32、)、y(0+)、.、yn-1(0+)是全响应初始条件。 它包含两部分： 标准零输入初始条件yzi(0+)、 yzi (0 +)、 .、 yn-1zi(0+)， 以及标准零状态初始条件yzs(0+)、 yzs (0+)、 .、 yn-1zs(0+)。 利用电容电压及电感电流一般不会突变， 即 iL(0-)=iL(0+)、 vC(0-)=vC(0+)， 以及具体电路方程， 可将系统的非标准初始条件转变为标准化初始条件。 下面举例说明如何将初始条件标准化。第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.3-2 例2.3-3电路第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析

33、 例2.3-3 已知电路如图2.3-2， 且iL(0-)=1 A， vC(0-)=10 V， 求izi(t)。 解) 3)(2()(65)()()()()65()()()65(22ppppHpptpftitpftipptftipp第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 D(p)=(p+2)(p+3), 1=-2, 2=-3 izi(t)=C1e-2t+C2e-3t t0 标准初始条件应为izi(0+)与izi(0+)， 这需要将非标准的初始条件iL(0-)=1 A， vC(0-)=10 V标准化， 即要将iL(0-)、vC(0-)转变为完全响应的初始条件i(0+)、 i(0+

34、)。 因为i(t)=iL(t)， 并且电感电流一般不会突变，所以有iL(0-)=iL(0+)=i(0+)=1 A； 而i(0+)就要由0+电路解出， 列0+电路方程为)()()()(5tfttidtdtiC第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 令t=0+代入上式， 得 5i(0+)+i(0+)+vC(0+)=0 将vC(0-)=vC(0+)， 且f(t)=0代入上式， 有 5+10+i(0+)=0 由上式解得标准初始条件为i(0+)=1 A及 i(0+)=-15 A/s， 解出131215321213121CCCCCC第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析

35、 代入izi(t)得到 izi(t)=-12e-2t+13e-3t t0第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.3-3 例2.3-4电路 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.3-4 电路如图2.3-3所示， 已知iL(0-)=1 A， vC(0-)=1 V， 求i2zi(0+)， i2zi (0+), i2zi(t)。 解 此题也有非标准化初始条件转化为标准化初始条件的问题。 由回路方程组： 0)()()()(21211tiiRteiiRidtdLC第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 将e(t)=0、 t=0+、 i1

36、=iL以及R、 L、 C参数值代入， 得到 i1 (0+)+i1(0+)-i2(0+)=0 (A) -i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0 (B) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 由式(A)， i2(0+)=i1(0+)-vC(0+)=0, 代入式(B) i1 (0+)+i1(0+)=0 i1 (0+)=-i1(0+)=-1 A/s 对式(B)求导 -i1 (0+)+i2 (0+)+vC (0+)=0第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 因为 ， 代入上式)0(0)0(|20CtCidtdCsAiii/1)0()0()0()0(112得到标

37、准化初始条件： sAii/10)0(22，与例2.3-2的标准化初始条件相同， 解得结果相同， 不再重复。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.3-5 电路如图2.3-4(a)所示， 开关在t=0时， 由“1”到“2”。 求i(0)， i(0)及电流i(t)的零输入响应。 解 图2.3-4(a)是有两个动态元件的二阶系统， 其中AuAiCL2 . 1562354)0(8 . 0545 . 112)0(第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.3-4 例2.3-5电路2Kt 0f2(t) 2 Vf1(t) 4 V1FiC(t)iL(t)H412

38、3i(t)f1(t) 4 Vi(t)iC(t)(a)(b)1 i1(t)i2(t)p41231 p1第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 换路后的算子电路如图2.3-4(b)所示。 列网孔算子方程 0)25. 05 . 11 ()() 1(0)25. 05 . 11(1)(1)11 (22112121121ippitpfiipipiptfipip整理 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 将i1(t)=i(t)代入上式， 解得)5 . 25 . 125. 0()() 15 . 125. 0(1) 15 . 125. 0)(1()() 15 . 125.

39、0(25. 05 . 1111125. 05 . 1101)(2122122211ppptfpppppptfpppppppptpfi第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 因是二阶系统， 所以0)()5)(2(46107465 . 275. 125. 015 . 125. 0)(522122222teCeCtypppppppppppppHttzi 因为所给出的是非标准初始条件， 所以要将非标准初始条件转化为标准初始条件。 初始值等效电路如图2.3-5所示（电容相当于短路， 电感相当于开路）。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.3-5 例2.3-

40、5零输入等效电路第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 由图2.3-5可得 )0()0()0(2 . 1)0()0(11ziCCCziiRdtdCdtdCiARi第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 所以 sAiiCRdtdiLzizi/2)0()0(1)0(1由 izi(0+)=C1+C2=-1.2 izi (0+)=-2C1-5C2=2 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 解出 1523421CC 最后 0)15234()(52tAeetittzi第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 以上初始条件标准化是电容电

41、压及电感电流不会突变的一般情况， 对电容电压及电感电流有突变（电容电流或电感电压有冲激信号时）的特例， 可利用电荷守恒与磁链守恒定理进行标准化的工作， 有兴趣的读者可参阅有关书籍。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.4 LTI因果系统的零状态响应因果系统的零状态响应 2.4.1 单位冲激响应h(t) 输入为单位冲激信号(t)时， 系统的零状态响应定义为单位冲激响应， 简称冲激响应， 记为h(t)， 如图2.4-1所示。 h(t)由传输算子表示为 h(t)=H(p)(t) (2.4-1a) 或记为 (t)h(t) (2.4-1b)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续

42、时间系统的时域分析 图 2.4-1 单位冲激响应 H(p)(t)h(t)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 n阶线性系统的传输算子为 01110111)(apapapbpbpbpbpHnnnmmmm(2.4-2) 为分析简便， 更突出求解单位冲激响应的基本方法， 假设H(p)的分母多项式D(p)均为单根， 将分母多项式D(p)分解， 并代入式(2.4-1a)， 得到第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 将其展开为部分分式之和)()()()()(21tppppNthn)()()()()()()(1122112211thtpktpktpktpktpkpkp

43、kthiniiininnnn(2.4-3a) (2.4-3b) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 式中 )()(tpkthiii(2.4-3c) 式(2.4-3b)中的系数k1kn由待定系数法确定， 上式表明一个n阶系统可以分解为n个一阶子系统之和。 首先讨论一阶系统的单位冲激响应的一般表示， 再将结果推广至高阶系统。 式(2.4-3c)是一阶子系统的单位冲激响应的算子表示。 由式(2.4-3c)，分别得到一阶系统的算子方程及微分方程为第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 对式(2.4-4b)的微分方程求解， 先在式(2.4-4b)的等式两边同时乘以

44、 )()()()()()(tkthdttdhtkthpiiiiiii (2.4-4a)(2.4-4b) tietitiiitiiietkethdttdhe)()()(第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 得到了hi(t) 的全微分， 即tie)( )()(tkhethedtdiiitii对上式两边同时积分 )(_)0()()(| )()( )(_0_0_0tukhthetukhedkdheiiitititiitiii第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 由于因果系统的hi(0-)=0， 因此一阶子系统冲激响应的一般项为)()()(tukiethpkpHt

45、iiiii(2.4-5) 代入式(2.4-3b)， 得到n阶系统的单位冲激响应为)()()()(1211211tuektuekekekththtinitnttinin(2.4-6) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.4-1 求例2.2-2系统单位冲激响应h(t)。 解 例2.2-2的传输函数由待定系数法分解为 3322) 3)(2()(ppppppH利用式(2.4-5)， 可得 h(t)=(3e-3t-2e-2t)u(t)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.4-2 例2.4-2电路 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域

46、分析 例2.4-2 如图2.4-2所示电路， 输入为电流源i(t)， 输出为电容电压vC(t)， 试求系统的冲激响应h(t)。 解 由广义KCL列算子节点方程)(107)7(10)()(1 . 071)()()(1 . 07)()()()(2tipppttippttitppttititiCCCCCL第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 )()320350()(53/2033/5052)5)(2()7(10107)7(10)(52212tueethpppkpkpppppppHtt表2-2列出了部分H(p)与其对应的h(t)， 可以直接应用。 第第2章章 连续时间系统的时域分析

47、连续时间系统的时域分析 表2-2 H(p)所对应的h(t) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.4.2 系统的零状态响应yzs(t) 当系统的初始状态（储能）为零时， 其响应是零状态响应yzs(t)。 利用系统的单位冲激响应以及LTI系统的时不变性、 比例性以及积分特性， 我们可以得到因果系统的零状态响应yzs(t)。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 根据LTI系统的时不变性， 当输入移位时， (t)h(t)输出也移位， 可以得到 (t-)h(t-) (2.4-7) 根据LTI系统的比例性， 当输入乘以强度因子f()时， 输出也乘以强度因子f

48、()， 又得到 f()(t-)f()h(t-) (2.4-8) 最后利用LTI系统的积分特性， 若输入信号是原信号的积分， 输出信号亦是原信号的积分， 可以得到 dthfdtftt)()()()(00第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 式(2.4-9)得到的正是因果系统的零状态响应yzs(t)。 我们注意到， 这种求解响应的方法与以往求解微分方程不同， 故称之为时域法； 又由于式(2.4-9)是数学卷积运算的一种形式， 因此也称卷积法。 当已知f(t)、 h(t)时， 系统的零状态响应可用式(2.4-9)的卷积计算。 卷积计算时， 积分变量为， t仅是参变量， 计算时按常

49、数处理。 即 dthftytzs)()()(0(2.4-9) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 卷积计算的具体步骤： 第一步是变量转换， 将f(t)变为f()， h(t)变为h(t-)； 第二步是将f()与h(t-)两个函数相乘； 第三步确定积分上、 下限， 也就是找到f()h(t-)相乘后的非零值区； 最后， 对f()h(t-)积分得出零状态响应yzs(t)。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.4-3 例2.4-3电路 f (t)i(t)1H1 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 例2.4-3 如图2.4-3所示电

50、路， 已知激励f(t)=u(t)， 用时域法求i(t)。 解 (pL+R)i(t)=f(t) )()(11)()()(tuethppHRpLtftit第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 将f(t)、 h(t)代入式(2.4-9)()1 ()() 1()(|)()()()()()()()(0)(0)(0)(00tuetueetueetudedtuuedtueuthftitttttttttttt 从以上求解过程， 可以看到时域法是利用系统的冲激响应， 借助卷积积分来完成系统的零状态响应求解。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.5 卷积及其性质卷积及

51、其性质 2.5.1 卷积 卷积积分指的是两个具有相同自变量t的函数f1(t)与f2(t)相卷积后成为第三个相同自变量t的函数y(t)。 这个关系表示为dtfftftfty)()()()()(2121(2.5-1) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 式(2.5-1)是卷积的一般形式， 与2.4节式(2.4-9)公式比较， 若令f1()=f()， f2(t-)=h(t-)， 则变量置换、 相乘、 积分等运算相同,仅积分限不同。 下面说明两者不同的原因， 即当f1(t)、 f2(t)受到某种限制时， 由卷积的一般公式可以得到与式(2.4-9)相同的表示式。 第第2章章 连续时

52、间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 设f1(t)为因果信号， 即f1(t)=f1(t)u(t)， 而f2(t)不受此限， 则有 dtffdtfuftftf)()()()()()()(212121(2.5-2) 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 再设f2(t)为因果信号， 即f2(t)=f2(t)u(t)， 但f1(t)不受此限， 则 dtffdtutfftftf)()()()()()()(212121(2.5-3)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 最后设f1(t)、 f2(t)均为有始信号， 即f1(t)=f1(t)u(t)， f2(t)=f

53、2(t)u(t)， 将上面的结果代入式(2.5-1)， 不难得到 此式与式(2.4-9)相同， 表明式(2.4-9)正是在因果信号、 因果系统条件下卷积公式的特例。 0)()()()(21021tdtfftftft第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.5.2 任意函数与(t)、 u(t)卷积 (1) f(t)*(t)=f(t) (2.5-4) 证 dtftfdttfdtfttf)()()()()()()()()(111 从f(t)与(t)卷积结果可知(t)是卷积的单位元。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 (2) f(t)*(t-t1)=f(t-

54、t1) (2.5-5) 证 )()()()()()()(111111ttfdttttfdttftttf第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 由式(2.5-5)可知，任意函数与(t-t1)卷积，相当于该信号通过一个延时（移位）器，如图2.5-1所示。 图 2.5-1 (t t1)f (t)f (tt1)延 时t1f (t)f (tt1)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 (3) dftutf)()()(2.5-6) 由式(2.5-6)可知， 任意函数与u(t)卷积， 相当于信号通过一个积分器， 如图2.5-2所示。 图 2.5-2 u(t)f (t)y

55、(t)f (t)y (t)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.5.3 卷积的性质 1. 时移 f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0) =f1(t-t0-t1)*f2(t) =f1(t)*f2(t-t0-t1) (2.5-7) 证 dttftfttfttf)()()()(12011201第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 令-t0=x， 代入上式， 得)()()()()()(102112011201tttftfdtxtftfttfttf 同理可证式(2.5-7)的其它形式。 当f1(t)、 f2

56、(t)、 f3(t)分别满足可积条件时， 一些代数性质也适合卷积运算。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2. 交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) (2.5-8) 证 dtffdxtffdtfftftf)()()()()()()()(12122121（令t-=x, d=-dt） （再令x=）第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 f2(t)*f1(t)也称为卷积的第二种形式， 式(2.5-8)实际应用意义如图2.5-3所示。 图 2.5-3 交换律的实用定义 h(t)f (t)y (t)f (t)h(t)y (t)第第2章章 连续时

57、间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 3. 分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) (2.5-9) 证)()()()()()()()()()()()()()(31213121321321tftftftfdtffdtffdtftfftftftf式(2.5-9)实际应用意义如图2.5-4所示。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.5-4 分配律的实用定义f2(t) f3(t)f1(t)y (t)f2(t)f3(t)f1(t)y (t)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 4. 结合律 f1(t)

58、*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) (2.5-10) 证ddtfffdtfdfftftftf)()( )()()()()()()(321321321第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 令-=x， =+x， d=dx， 代入上式)()()()()( )(321321tftftfddxxtfxff式(2.5-10)实际应用意义如图2.5-5所示。 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.5-5 结合律的实用定义f2(t)f3(t)f1(t)y (t)f2(t) f3(t)f1(t)y (t)*第第2章章 连续时间系统的时域分

59、析连续时间系统的时域分析 2.5.4 卷积的图解法 卷积的图解法是计算卷积的基本方法， 优点是可以直观确定积分限、 积分条件， 并且作图方便。 图解法具体步骤为 (1) f(t)f()， 函数图形不变， 仅t。 (2) h(t)h(t-)， 它包括两部分运算: 折叠h(t)h()h(-)； 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 移位 ， t是h(-)与h(t-)之间的“距离”。 (3) 将折叠移位后的图形h(t-)与f()相乘。 (4) 求h(t-)与f()相乘后其非零值区的积分（面积）。 举例说明图解法的具体应用方法。 t0 右移 第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时

60、间系统的时域分析 例2.5-1 f(t)、 h(t)如图2.5-6所示， 求y(t)=f(t)*h(t)。 图 2.5-6 例2.5-1的f(t)、h(t)012Ef (t)t10te2th(t)第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 解 具体计算如图2.5-7所示。 )2(1 2) 1(1 2)2(2)2() 1(1 2)()2(2)1(2)1(2)2(2)1(2tueEtueEtueeEtutueEtyttttt第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 图 2.5-7 例2.5-1图解法示意图E012f ()h (t)10 t10t01h ()t0(a)