金融风险管理主成分分析

1、主成分分析主成分分析因素分析因素分析23探索性因素分析探索性因素分析4验证性因素分析验证性因素分析5主成份分析與因素分析主成份分析與因素分析l 主成份分析 (PCA) 与因素分析是利用不同的方法來减少变量数 (Jolliffe, 2010) 参见：Jolliffe, I. T. (2010). Principal Component Analysis (2nd ed.). New York: Springer.l PCA 的主要目的是将p个变量，缩减到 m个主成份(principal components)，在这同时尽量保留p个变量的variation6一、主成份分析的基本概念一、主成份分析的

2、基本概念(1/2)l 若欲将变量减少成少数几个互相独立的线性组合变量，亦即潜在变量或成份，就必须使用主成份分析。l 主成份分析法是考虑将资料中原有的p个变数做线性组合得到k个新变数。通常k比p小很多。l 主成份分析法的另一项功能是能将彼此间具有相关关系的p个变量，经过线性组合后成为k个彼此间相关系数为0的新变量，此过程称为萃取（Extraction）。l 使经由线性组合而得到的成份之变异数为最大，使觀測值在這些成份上顯示出最大的個別差異來。一、主成份分析的基本概念一、主成份分析的基本概念(2/2)l 主成份分析除了用来简化变量间之关系外，可用来缩减某一组欲进行多变量分析之变量的数目。l 主成份

3、分析也可将各变量的原始分数转为主成份分数，以供进一步的统计分析。l 主成份分析还可用来建构多种具有不同衡量单位变量之综合指针。l 主成份亦可根据其负荷量来对主成份命名。l 例如：以身高与体重来建构块頭指标、以成长率与市场占有率来建构行销绩效指标。二、主成份的萃取二、主成份的萃取 (1/2)1、计算相关矩阵或共变量矩阵估计共同性(community，或称共通性)：若是相关矩阵则共同性设为1；若是共变量矩阵则共同性为各变数的变异数。2、从相关矩阵或共变数矩阵中，萃取主成份。3、決定因素的數目。4、因素命名與結果解釋。Financial Risk Management Tools, Measurem

4、ent, and Future Trends二、主成份的萃取二、主成份的萃取 (2/2)l 假设有p个数字变量，则可计算出p个主成份。l 共同性会等于1，亦即没有误差项，故此公式不写出误差项。l 主成份分析重视的是变异数，因素分析重视的则是共变异数。为使变异数达到最大，通常进行主成份分析后不再转轴，而因素分析则需要转轴。l 主成份分析使观察值在这些主成份乃显示出最大的个别差异。因素分析的目的是找出共同性。主成份萃取的運算原理主成份萃取的運算原理 l 使组合 ，在 下，Var(y)=aa最大的解a是矩阵的最大特征值（eigenvalue）所对应的特征向量（eigenvector）l 最大特征值所

5、对应的特征向量a是使Var(y)=aa最大的解。l 假设本范例有身高与体重两变量，为了提高每位学生的分辨能力，要使线性组合 的变异数愈大愈好。在的限制下，找 、 值使 最大。主成份分析可使用共变异数矩阵，亦可使用或相关系数矩阵进行分析，一般当單位不同时以使用相关矩阵较佳。以共变数矩阵来萃取主成份以共变数矩阵来萃取主成份 l通常是未知的，故以求出样本共变异矩阵S代替 。 以相关系数矩阵来萃取主成份以相关系数矩阵来萃取主成份 l 以相关矩阵R取代共变异数矩阵S，再求特征值、特征向量。l 以S与R做主成份分析的结果可能会有很大的差别，以S做主成份分析，容易受使用变量单位的影响。在SPSS的FACTO

6、R程序中的Extraction框中，尽量勾选Correlation(R)非Covariance(S)。 主成份分析的特点与观念主成份分析的特点与观念 （一）直交性。（二）特征值就是主成份的变异数。（三）所有主成份的变异数总和与所有变量之变异数总 和相等。（四）主成份解释的变异数比例。（五）主成份负荷（loading）。（六）共同性（Communality，h2）。（七）主成份分数（Score）。直交性直交性1、第j个特征向量（即系数向量）与第j1个特征向量直交：亦即 。在本例中， 。2、第j个主成份与第j1个主成份直交：亦即 。特征值就是主成份的变异数特征值就是主成份的变异数 l l在本例中

7、l同理可得 jjyVar)(1211814. 1814. 05 . 05 . 0)707. 0707. 0()(xxVaryVar2212186. 0814. 05 . 05 . 0)707. 0707. 0()(xxVaryVar所有主成份的变异数总和与所有主成份的变异数总和与所有变量之变异数总和相等所有变量之变异数总和相等 l l在本例中l而且可得 piipjjxVaryVar11)()(000. 2186. 0814. 1)()(21yVaryVar000. 2000. 1000. 1)()(21xVarxVarFinancial Risk Management Tools, Measu

8、rement, and Future Trends主成份解释的变异数主成份解释的变异数比例比例 l l l在本範例中，1.814+.186=2。 pxVaryVaryVaryVarjpiijpiijpjjj111ppii1Financial Risk Management Tools, Measurement, and Future Trends主成份负荷（主成份负荷（loading） l 主成份负荷指第j个主成份 与第i个变数 的相关系数(亦称负荷)。l 第一主成份与身高的相关系数为l 第一主成份与体重的相关系数为ijjixysarij952. 0814. 1707. 011xyr952.

9、0814. 1707. 021xyr共同性共同性(Communality， h2 ) l 第j个主成份解释变量xi的变异数比例称为共同性，写成l 在主成份分析前，初步的（Initial栏）对每一个变数皆为1，经萃取后（Extraction栏）每一个j变量的共同性为 （ ） ，其中k为特征值大于1的变数。l (第一主成份解释身高的比例)l (第二主成份解释身高的比例)1、当用来解释变异量的主成份个数取的愈多时，共同性 愈高2、当所有主成份都取时， 都等于1 3、只取同一個主成份時，所能解釋各變數的共同性總和為2ijh2jhpkj1907. 0952. 02211211 hrxy093. 0305

10、. 02221212 hrxyhi2hi21.222)1(22221ipiikkiiihhhhhhijjjpjjpijihhhhh22222112.表表：主主成份分析的观念与成份分析的观念与关系汇总比较表关系汇总比较表 表表：主主成份分析的共同性、特征值与主成份负荷量之关系成份分析的共同性、特征值与主成份负荷量之关系( (用矩阵用矩阵S时时) )表表 Financial Risk Management Tools, Measurement, and Future Trends主成份分数（主成份分数（Score）l 经过主成份萃取后已可得到每个主成份下每个变数的系数（权重），如此就可得到每笔数据经过主成份转换后的主成份分数。 l 后续的分析将不再使用原始变量，而是主成份的综合指标。至于要如何计算每一笔数据的主成份分数呢？S