第一节微分中值定理

1、1引理引理罗尔定理罗尔定理方程根的判定方程根的判定拉格朗日定理拉格朗日定理柯西中值定理柯西中值定理几何意义几何意义有限增量公式有限增量公式函数的单调性函数的单调性单调区间单调区间第三章第三章 中值定理和导数的应用中值定理和导数的应用2引理引理( (费马定理费马定理）：）：若函数若函数y=f(x)（1）在在x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义且在且在x0 取得最值；取得最值；（2 2）在在x0处可导。处可导。则则f (x0)=0. 证明思路证明思路证：证： 不妨设不妨设f(x0)是是x0某邻域内的最大值某邻域内的最大值 0)()(0000 xfxxfxx 时时时时0)()(lim)( 0000

2、xxfxxfxfx 0 x 0)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx 0 x )( )( :)(000 xfxfxfx 可导，必有可导，必有点点而在而在0)( 0 xf故故 x0处可导处可导不妨设不妨设f(x0)最大最大 0)( 0 xf0)( 0 xf00 ()()fxfx0()0fx3abABCxyO ;,1上上连连续续在在若若baxf ;,2内内可可导导在在ba 0 f .3bfaf ，则则至至少少有有一一点点ba, 使得使得注意注意：（1 1）条件并非缺一不可；）条件并非缺一不可；（2）罗尔定理的条件充分而非必要。）罗尔定理的条件充分而非必要。证明的关键是证明的关键是： 是区

3、间的内点；是区间的内点；a ab b。4证明思路证明思路: :M=mM=mf(x)=Cf(x)=C( (a,b)a,b)内任意点可为内任意点可为 MmMmM,mM,m不可能都在端点取得，不可能都在端点取得，设设MM由区间内某点取得由区间内某点取得f(a)=f(b)f(a)=f(b)由引理可得结论由引理可得结论引理引理( (费马定理费马定理）：）：若函数若函数y=f(x)（1）在在x0的某邻域内有的某邻域内有定义且在定义且在x0 取得最取得最值；值；（2 2）在在x0处可处可导。导。则则f (x0)=0. ;,1上上连连续续在在若若baxf ;,2内内可可导导在在ba 0 f .3bfaf ，则

4、则至至少少有有一一点点ba, 使得使得5 abafbff 结论等价于：结论等价于： 上上连连续续，在在若若baxf, 内内可可导导，在在baxf,，使使得得至至少少有有一一点点ba, abfafbf 或：或： 0abafbff ABCab xfy )()(afbf xOy xLy axabafbfafyAB的方程为：的方程为： axabafbfafxL xLxfx 在 ba,上满足罗尔定理的条件，且上满足罗尔定理的条件，且 abafbfxfx 6证证 满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x 0abafbffLf 则必然则必然),(ba使得使得 abafbff 即即所以所以 ab fafbf证毕

5、证毕 xLxfx 构造函数：构造函数： )(axabafbfafxf显然显然0)()(ba 且且 xLxfx abafbfxf)()(7)10()( )()()( )( )()( xxxfxfxxfxxxxfyxxxxfxfxxf 或或之之间间与与在在或或之之间间与与在在 内内部部区区间间自自然然，这这点点落落在在”加加上上不不到到一一个个“给给则则可可以以理理解解为为点点”可可以以理理解解为为“不不到到一一个个),(, 10 xxxxxxx 函数的微分是增量的近似公式函数的微分是增量的近似公式dx)x(fdyy 其中，其中，x在区间的端点取值，在区间的端点取值，dx则要很小。且则要很小。且f

6、 (x)不为零。不为零。xfy )( 而拉格朗日增量公式则是一个精确公式而拉格朗日增量公式则是一个精确公式也也可可以以等等于于零零。而而且且，就就行行。）很很小小，只只要要是是有有限限量量（即即：不不要要求求在在区区间间的的内内部部取取值值，其其中中，)( fdxx 因此，拉格朗日中值公式又叫做因此，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式有限增量公式 8 .,0为为常常数数则则上上若若在在区区间间xfxfI证证 21xfxf Cxf )( 1212xxfxfxf , 0.21xx ,2121xxIxx 则则在在上满足拉格朗日定理的条件上满足拉格朗日定理的条件 xf 21, xx ( )( ).If

7、xgxfxxC若在区间 上，则=g9 满满足足：及及若若xFxf，使使得得则则至至少少有有一一点点ba, , 0,3,2xFbaxba内内可可导导，在在 上上连连续续，在在b,a1 FfaFbFafbf10 xFxfdXdY 则曲线上任一点（则曲线上任一点（X,Y ） 处的切线的斜率为：处的切线的斜率为： 弦弦AB的斜率为：的斜率为：)()()()(aFbFafbf xfYxFX bxa 设曲线弧设曲线弧 AB 由参数方程由参数方程 确定，其中确定，其中 x为参数。为参数。 FfdXdYx假定点假定点C对应于参数对应于参数, x那么曲线上点那么曲线上点 C 处的切线平行于处的切线平行于 AB可

8、表示为可表示为)()()()(aFbFafbfBCXYO afaF, fF, bfbF,)( FAP1411 （1 1）定理中的定理中的f( )，F( )是在同一点是在同一点 处的导数值，所以处的导数值，所以下面的证明是错误的：下面的证明是错误的：论论。两两式式相相除除得得到到定定理理的的结结使使故故条条件件都都满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的、由由定定理理的的条条件件可可知知)( )()()( )()(,)()(abFaFbFabfafbfbaxFxf 因为不能保证，两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点因为不能保证，两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点 . .（2 2）若若F(x)=

9、x，则成为柯西定理的特殊情况，与拉格朗日则成为柯西定理的特殊情况，与拉格朗日 定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。柯西定理则是拉格朗日定理的推广柯西定理则是拉格朗日定理的推广 。（3 3）柯西定理的一个重要应用就是洛必达法则。柯西定理的一个重要应用就是洛必达法则。12证：证：)( )()(:,abFaFbFba 使得使得由拉格朗日中值定理：由拉格朗日中值定理：0)()(0)( )(aFbFxFbax已知已知，对对)()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx 引入辅助函数：引入辅助函数：)( )()()()

10、()( )( xFaFbFafbfxfx 满足罗尔定理的全部条件，满足罗尔定理的全部条件，且：且：)(x 由罗尔定理，至少存在一点由罗尔定理，至少存在一点 （a，b） ，使使 , 0)( 0)( )()()()()( FaFbFafbff)( )( )()()()( FfaFbFafbf于是：于是：BCXYO afaF, fF, bfbF,)( FA13例例1 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数 xysinln 在区间在区间 65,6 上的正确性。上的正确性。 解解： 函数函数 xysinln 在在 65,6 上连续，上连续， 在在 65,6 内可导，内可导， xysinln （函数（函数

11、是初等函数，是初等函数， 且当且当 65,6 x时，时， , 0sin x即即 65,6 是是 xysinln 定义域内的一部分；定义域内的一部分； ) .cotsincosxxxy 且且.21ln65sinln6sinln 令令0,xxxycotsincos得得2 x.65,6 即即,65,62 使得使得 . 0 f14 例例2 不用求函数不用求函数 4321 xxxxxf的导数，说明的导数，说明 方程方程 0 xf有几个实根，并指出它们所在的区间。有几个实根，并指出它们所在的区间。 解解 在在 显然函数显然函数 xf在在 2 , 1上连续，上连续， 2 , 1内可导，内可导， 且且 , 0

12、21 ff由罗尔定理：由罗尔定理： ,2 , 11 使得使得 . 01 f同理同理 ,4 , 3,3 , 232 使得使得 . 0, 032 ff即即 321 、都是方程都是方程 0 xf的根。的根。 注意到注意到 0 xf为三次方程，为三次方程， 它最多有三个根。它最多有三个根。 我们已经找到它的三个实根我们已经找到它的三个实根 ,321 、所以这三个根就是方程所以这三个根就是方程 0 xf 的全部根。的全部根。 15xxxxx1ln10时时，证证明明当当例例3 xxffxf 0 ,00 .11,00 xxff 由由于于 xx1x xx 111ln证证拉格朗日定理的条件，即拉格朗日定理的条件

13、，即 则则 显然，函数显然，函数 xf在在 x,0上满足上满足 ,1lnxxf 设设16例例4 证明下列不等式：证明下列不等式： xeexbabax,12arctanarctan1时时当当证证(1)令令 baxxxf,arctan xf在在ba,上连续，在上连续，在ba, 内可导，则内可导，则 由由 .,baabfafbf ,即即abab211arctanarctan 所以所以bababa211arctanarctan （2）令令 xexf取区间取区间, 1 x由于函数由于函数 xf在在x, 1上连续，在上连续，在x, 1内可导，内可导，所以所以 ,11xffxf ., 1 x 即即11xee

14、ex 1xexeex因此因此 17例例5 设设)(xf在区间在区间,ba上连续，在上连续，在),(ba内可导，证明：内可导，证明：),(ba ).()()()( ffabaafbbf至少存在一点至少存在一点 使使 将将 )()( ff中的中的 换为换为 ,x得得 ),()(xfxxf令令 ),()(xfxxfxF得得 ).(xxfxF解解 令令 ).(xxfxF显然显然 xF在在 ,ba上满足拉格朗日定理的条件上满足拉格朗日定理的条件, ),(ba abFaFbF 至少存在一点至少存在一点 使得使得 ).()()()( ffabaafbbf即即 .)()()()(abffaafbbf 18例例

15、6 设设 xgxf,在在 ba, 上连续，在上连续，在 ba,内可导，证明内可导，证明,ba 使得使得 gagfafabbgagbfaf ,xgagxfafagxfxgafx 证证 设设 baxagxfxgafxgagxfafx, x 在在ba,上连续，在上连续，在ba,内可导，且内可导，且 ,agxfxgafxgagxfaf ,xgagxfafagxfxgafxF设设 19即即 gagfafabagagafafbgagbfaf所以所以 gagfafabbgagbfaf由拉格朗日定理由拉格朗日定理 .,baabab ,20因为因为 )()(bfaf且且 )(xf不恒为常数，不恒为常数， 不妨设

16、不妨设 ),()()(bfafcf同理可证：同理可证： )()()(bfafcf的情形的情形.证明证明 显然显然 )(xf在在 ,ca上满足拉格朗日中值定理的条件，上满足拉格朗日中值定理的条件， ),(),(baca 使使 . 0)()()(acafcff 于是至少存在一点于是至少存在一点例例7 设不恒为常数的函数设不恒为常数的函数 )(xf,ba上连续上连续,在在 ),(ba内可导，且内可导，且 ).()(bfaf证明至少存在一个证明至少存在一个),(ba 使使 . 0)( f 在在 ),(bac使得使得 ).()()(bfafcf所以至少存在一点所以至少存在一点 21例例8 若函数若函数

17、xf在在,内满足关系式内满足关系式 ,xfxf且且 , 10 f则则 .xexf证证构造函数构造函数 .,xexfxx , xexfx xxxeexfexf2 xexfxf0 .,xCx , 1000 ef 又又 1 xexfx 即即 .xexf 22证证设设 ,3xxF ,上上满满足足柯柯西西定定理理的的条条件件在在及及则则baxFxf例例9 设设 xf在在baba0, 上连续，在上连续，在 ba,内可导，证明内可导，证明 ,ba 使得使得 2223 fbabaabafbf 2223 fbabaabafbf ，使使得得即即至至少少有有一一点点ba, FfaFbFafbf 。即即2333 fa

18、bafbf 故故 2223 fbabaabafbf23例例10 设函数设函数 )(xf,ba上连续上连续,在在 ),(ba内可导，且内可导，且 在在 , 0)( xf试证存在试证存在 ,ba 使得使得 eabeeffab)(上式变形为上式变形为 ,)( effeeabab右侧为右侧为 )(xf和和 xe导数的比值，因此设导数的比值，因此设 ,xexg应用柯西中值定理。应用柯西中值定理。 证证 令令 ,xexg则则 )(xf和和 xg,ba上满足柯西中值定理的条件上满足柯西中值定理的条件 在在 因此必因此必 ),(ba 使得使得 . efeeafbfab又又 )(xf,ba上满足拉格朗日中值定理的条件，因此上满足拉格朗日中值定理的条件，因此 在在 ),(ba 使得使得 .a