2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1818 页2018-2019 学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期 10 月月考数学试题一、单选题1 1.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,O为ABC内一点，若分别满足下列四个条件：aOA bOB cO=0；sin2A OA sin2B OB sin2C OC = 0；则点O分别为ABC的（）A.A.外心、内心、垂心、重心B.B.内心、外心、垂心、重心C.C.垂心、内心、重心、外心D.D.内心、垂心、外心、重心【答案】D D先考虑直角ABC，可令a =3,b=4,c=5，可得A 0,4,B 3,0,C 0,0，设O m,n，由向量的坐标表示和三角函数的恒

2、等变换公式计算可判断为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC，底角为30，设C -1八3,B2,0,A0,0,O x, y，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断为三角 形的垂心.【详解】先考虑直角匚ABC，可令a=3,b = 4,c = 5,可得A 0,4,B 3,0,C 0,0，设O m,n,r r4tan A OAtanB OB tanC OC =0；OB OC = 0；【解第2 2页共 1818 页aOA bOB cOC=0，即为3-m,4-n 4mn5-m,-n = 0,0,第 3 3 页共 i8i8 页即有-12m 12 =0,-12n 12 =0，解得m = n =1,即有0

3、到x,y轴的距离为 1 1,O在.BCA的平分线上，且到AB的距离也为 1 1,则O为L ABC的内心;即为24-m,4 - n243 - m, -n 0 -m, -n = 0,0,25253可得32m =0,42 n=0，解得m,n=2,2OA OBOC =0，可得-m,4 -n 3-m, -n-m, -n= 0,0, 即为3-3m=0,4-3 n=0,解得m=1,n=4,3设C -1,、3,B 2,0,A 0,0,O x,y,tanA OA tanB OB tanC OC = 0，即为 _ ,31x, _y32 _ x, _y3可得9 J，9，解得x1，y_3，即O -1,-，由OC _

4、AB,kAkBc二3故O为L ABC的垂心.故选：D D【点睛】 本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建sin2A OAsin2B OB sin2C OC =0，由OA = OB = OC=5，故O为L ABC的外心;由AC的中点D为0,2，OB二23，即O分中线DB比为 2:32:3 ,3，即有OA_ BC，故O为L ABC的重心;-1-x, .3-y二0,0,第4 4页共 1818 页立坐标系的方法求解，属于常考题型.2 2如图，在同一平面内，点P位于两平行直线li、I2同侧，且P到li,I2的距离分别【解析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量pM、P

5、N，根据出PM PN的解析式，再求其最大值.【详解】以直线li为x轴，以过点p且与直线li垂直的直线为y轴,建立坐标系，如图所示：由题意可得点Po,-i，直线 J 的方程为y=2,设点M a,0、点N b,2,PIM Pai、PN二b,3,2(a b) i6 =64,PM PN二a b,4；为1，3，点M,N分别在li，I2上,=8，则PM PN的最大值为（）C.10C.10D.9D.9P到li,I2的距离分别为 1 1 , 3 3,【答案】A A第 3 3 页共 i8i8 页a b = 4 J3，或a b _3；当a b =4,3时,PMPN =ab + 3 = a(4V3 - a )+3

6、= -a2+43a + 3, 它的最大值为(2、3)2 4. 3 2、3 -3=15；当a b = -43时，PM PN二ab 3 = a4,3 a亠3二-a 4. 3a 3,它的最大值为_（_2、.,3）2-4、3 -2、,3 3=15；故选：A A【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则，以及数量积的坐标表 示即可，属于常考题型2兀3 3.如图-BAC盲，圆M M与 ABAB、ACAC 分别相切于点 D D、E E，AD =1，点P P是圆M M 及其内部任意一点，且AP =xAD yAE（x、y R），则xy的取值范围是（）A.A.1,4 2.3.4 -2、3,4

7、 2 .3C.C.1,2 G【答案】B B 【解析】连接AM并延长分别交圆M于Q、T,连接DE,DE与AM交于R，显然11AR AD AE，此时x y =1，分别过Q、T作DE的平行线，由于221AD =AE =1, BAC =120 ，则AM =2DM =：3，则AQ=2- .3,AR -.2A?二亍珂4-2乜）珂2八3）（2八3）忑，此时x厂4-2.3 .2综上可得,PM PN的最大值为 1515.4【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P在等和线DE上x 1去求x y的取值范围，由于点P是圆M及其内部任意一点，所以分别过Q、T作圆的切线，求出两条等和线的x y值，就可得出x y的取

8、值范围，本题型在高考中出现多 次，要掌握解题方法 4 4 .已知点M a,b与点N 0, -1在直线3x-4y *5 = 0的两侧，给出以下结论：3a -4b 5 0;当a 0时，a b有最小值，无最大值；a2- b21；当a 0正确的个数是()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【答案】B B【解析】T点 M(a,b)M(a,b)与点 N(0,-1)N(0,-1)在直线 3x-4y+5=03x-4y+5=0 的两侧, , 3a-4b 5 3 0 4 5：0,即3a-4b 5 0,故错误;当a 0时, ,a b5, a+ba+b 即无最小值，也无最大值，故 错误;4当a 0且 al

9、al 时，口表示点 M(a,b)M(a,b)与 P(1,-1)P(1,-1)连线的斜率。a1AT=(2J3)AD(2x y=42 3，选B. .且a =1时,设原点到直线3x-3x- 4y+5=04y+5=0 的距离为 d,d,则d二1032(-4)2= =2 2, ,则a2b244，故正确;5/当a=0,b=0,b=5时, ,b 14a1_9_9 , ,又直线 3x-3x- 4y+5=04y+5=0 的斜率为4同理可b b 亠 1 1的取值范围是a a - -1 14第 5 5 页共 1818 页第8 8页共 1818 页b 1一故b1的取值范围为a -1正确命题的个数是 2 2 个. .故

10、选：B.B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意 z z 前面的系数为负时，截距越大，z z 值越小；分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离5 5 .在边长为 1 1 的正六边形 ABCDEFABCDEF 中，记以 A A 为起点，其余顶点为终点的向量分别m,M分别为(a +aj(dr+ds+dj的最小值、最大值，其中1,2,3,4,5口r,s,0 d,2,3,4,5 ，则m,M满足(). .A.A.m = 0, M 0B.

11、m .0,M 0C.C.m：0, M =0D.m 0, M : 0【答案】D D【解析】作图知，只有AF DE二AB DC 0，其余均有a d乞0，故选 D D.【考点定位】考查向量的运算，重点考查思维能力，综合分析及应用能力，属偏难题。、填空题6 6.直线l:5x12y+5=0的单位方向向量为 _4y=_5【解析】设所求单位方向向量为 a a = = (x,y)(x,y)，根据题意得到x x12，求解即可得出2 2-X +y =1结果 【详解】 设直线I :5x T2y 5 = 0的单位方向向量为 a a =(x,=(x, y)y),，故正确. .ai,a2,03, a4, a5；以 D D

12、 为起点，其余顶点为终点的向量分别为I HH H【答咚 ,上袋1313.13 13第9 9页共 1818 页r-1121r12x 12,1解得X131或x -13x2y2=1y5y -513113所以有第1010页共 1818 页该直线的单位方向向量为 故答案为：兰上，上丿13 13丿I 1313.丿【点睛】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7 7已知是相互垂直的单位向量，a=r-2j,b=f kj，且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是_.因为a =r一2j,bkj，且a与b的夹角为锐角,ia b =1 -2k 0，解得k：；,又a、b不共线，.k

13、- -2,实数k的取值范围是-：，-2一.-2,-.I 2丿故答案为：，-2 U -2,-【点睛】本题考查由平面向量的夹角求参数的问题，熟记平面向量数量积的运算法则即可，属于常考题型. .8 8若直线I过点P -23，且与直线m: x - 3y 2 = 0的夹角为二，则直线l的方3程是_【答案】x - -2，或x ；3y1 = 0【解析】先求出直线m的倾斜角，再根据直线I和直线m夹角为一，可得直线I的倾斜3角，进而得到直线I的斜率，从而求得直线I的方程.【详解】【答案】-二，-2U -2,2【解析】 根据两向量的夹角为锐角知围.【详解】Irab不共线，由此求出k的取值范r a第1111页共 1

14、818 页T直线l过点p 2、3，且与直线m：x -、3y 2 = 0的夹角为,3且直线m的斜率为13，即直线m的倾斜角为胎3设直线I的倾斜角为 r ,则，或632（63丿6故直线I的方程为x=2或y _ 3二3 x 2，3v即直线I的方程为x = -2或x 3y -1 =0，故答案为：x = -2或x亠，3y -1 = 0【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程， 熟记两直线的夹角公式即可，属于基础题型.9 9 若直线I:y =kx-、3与直线2x 3y-6 =0的交点位于第一象限，则直线I的倾斜角的取值范围是_ . .【解析】若直线I : y二kx3与直线2x 3y-6

15、=0的交点位于第一象限，如图所示:故直线m的斜率不存在，或直线m的斜率为怡吟7乜第1212页共 1818 页则两直JT斜角为一，当交点为2AB上（不包含代B点），当交点为A 0,2时，直线|的倾B 3,0时，斜率3-03-直线的倾斜角的取值范围是直线I的倾斜角为第1313页共 1818 页故答案为 -,-16 2.丿1010 .已知直线l：x-y-仁0,h：2x-y-2 =0若直线 J 与h关于l对称，则 J 的方程 为.【答案】x2y1=0【解析】先解方程组得I与li的交点1,0也在l2上，然后在li上取一点2,2，则该点 关于l的对称点3,1也在 J 上，用两点式即可求得l2的方程.【详解

16、】Xx _ y1 = 0Xx二1联立y，解得，所以三条直线的交点为1,0I2x-y-2=0ly=0在l1上取点2,2，依题意该点关于I的对称点3,1在l2上由两点式得12的方程为=- ，化简得_2y_-01-031故答案为：x-2y-1=0【点睛】本题主要考查求关于直线对称的直线方程，熟记直线方程的一般式即可，属于常考题型1111.函数y = . x22x 10 x21的最小值为 _ .【答案】、17【解析】利用函数的表达式，转化为x轴上的点与1,-3,0,1距离和的最小值.【详解】因为y =x22x 10 x21 = f(x -1)2(0 3)2(x 0)2(0 T)2，表示x轴上的点与1,

17、-3以及0,1距离之和的最小值，所以可得最小值为：.(0 -1)2(1 3)2= .17.故答案为：17【点睛】本题考查函数的最值的求法，灵活运用转化与化归的思想，将问题转化为直线上的点到定点的距离，即可求解，属于常考题型.1212 在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点 若ABC第1414页共 1818 页【解析】因为D、E分别是AB、AC的中点，且M是直线DE上的动点，所以M到2 BM |CM|(1_cosNBMC /(cos/BMC )11 nfsi nZBMCMBMCBCCMC21BMCcosBMCsi nBMCsin ZBMCsin ZBMC人2cos/BMC

18、 12cos/BMC人c/1令y，则y2，令y=0，则cos-三BMC二，sinBMCsin NBMC2的最小值为1i直线BC的距离等于A到直线BC的距离的一半，所以SMBC二丄SABC二丄，则2211i=一MB LJ MC sin/BMC =，所以MBL MCI =22- sinNBMCcosMB MC = MB L MC cos BMC，由余弦定理，sin ZBMCSL MBC_2BC所以BM，则+ |CM22 BM | CM cos/BMC，显然,2+ CM2 BM |CM，BC2=BMCMBM2-2,CM都为正数,BM CM cos/BMC2sin BMCIH1H当cos BMC时，y

19、:：0，当cos BMC时，y 0,- 2y=2Ys BMC取得最小值为-3;故答案为、3. .si nN BMC大、小圆的半径分别为2 和 1 点在大圆上， 与小MB MC BC的面积为1，则【答案】,3第1515页共 1818 页1当cos BMC时，21即当cos三BMC时，21313.如图同心圆中，圆相切于点，为小圆上的点，贝 V 的取值范围是第1616页共 1818 页如图所示：不失一般性建立直角坐标系，则可得，：，,石113 3 , 点Q在小圆上，故可设为Qfcosaiiia）,则1讥一Q厂1）,PQ1= fcosa十2.sma），则匾PQ简迥十2）芈咖=卜岳也血_，则m.的取值范

20、围是宀為.，故答案为-启.点睛：本题主要考查了解析法在向量数量积中的应用，圆的参数方程与三角函数的性质在求最值的应用，建立坐标系是解决该题的关键所在，难度一般；以圆心为原点，将点放在 轴负半轴，根据圆的参数方程可得 ；&=；.：.，将向量的数量积用坐标表示为关于的三角函数，结合辅助角公式可得其最值.14.已知平面上三个不同的单位向量a,b，c满足a b = b c，若e为平面内的任意单位向量，则aeH2be+3ce的最大值为_.【答案】21【解析】柯西不等式可得：（a e2b：ipc* +22+32搭 彳b e2+3c e2）=i4（a彳b，再根据向量的数量积公式计算即可.【详解】由柯

21、西不等式可得：（1 2b e+3C e）2兰（12+22+32姑e|b e |C：|2）=14（囲|2；|2+|C e |2）,1由于a b = b c二2444jr.a与b，b与c的夹角为一,【解第1717页共 1818 页32* +2*elT bnF-2Tel求m.卜第1818页共 1818 页呻詁2 彳# 2由于b eb e,不妨将b换成_b，设b与e夹角为-11cos2 21 IcosPR22223-2二丿2 21331 | 1Q31J33=一+ 一cos2日+ sin2日+cos2日一cos2日一si n2T =,22 2 2 2 2y2，”(a e 2b ec e)2兰14汉3=2

22、1二a e2b e +3 c e的最大值为J21故答案为：.21【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，熟记向量的数量积运算法则，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型，计算量较大.1515 .在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x,yx,y）为整点，下列命题中正确的是_ （写出所有正确命题的编号）1存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点2如果k与b都是无理数，则直线 y y =kx=kx b b 不经过任何整点3直线I经过无穷多个整点，当且仅当I经过两个不同的整点4直线 y y 二 kxkx b b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数5存在恰经过一个整

23、点的直线【答案】【解析】 给直线I分别取不同的方程，可得到 和的反例，同时找到符合条件 和 的直线；通过过原点的直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，正确. .【详解】11令直线I为：y =x-，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，正确；22令直线I为：y、2x -2.2，则直线经过整点2,0,错误；3令直线I为：y y =kx=kx，过两个不同的整点,x2,y2yi二kxi，叽2.44 4a e |+b e|+|ce11（2-e-+-cos+2213J312cos一 二22 |L乙3则S2訂82第1919页共 1818 页则，两式作差得：yi-y2= k Xi-X2y=kx2即直线

24、I经过整点n(x1-x2), n(% -y2) ,nZ.直线I经过无穷多个整点， 正确；1 14令直线I为：y x，则I不过整点，错误；325令直线I为：y =2x，则其只经过0,0个整点，正确. .本题正确结果：【点睛】本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题, 对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求三、解答题1616 .已知直线I : 2abxab y a-b = 0及点P 3,4.1证明直线I过某定点，并求该定点的坐标.2当点P到直线I的距离最大时，求直线I的方程.【答案】(1 1)证明见解析，定点坐标为-2,3(2 2)5x y 7 =0【解析】1直

25、线I方程化成a 2x y 1 b x 1 =0,再联解关于x、y的方 程组2x y 1=0，即可得到直线I经过的定点坐标;x + y _1 =02设直线I经过的定点为A，由平面几何知识，得到当PA I时，点P到直线I的距离最大因此算出直线PA的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线I的斜率，即可求出此时直线I的方程.【详解】1直线I方程可化为：a 2x y 1 5x-1 =0由2x y 1 =0 x y1 = 0-直线恒I过定点A，其坐标为-2,3.2; 直线恒I过定点A -2,3.当点P在直线I上的射影点恰好是A时，第2020页共 1818 页即PA _ I时，点P到直线I的距离最大,43

26、1,PA的斜率kpA =3+25-1-直线I的斜率k5kpA由此可得点P到直线I的距离最大时，直线I的方程为y -3 = -5 x 2，即5x y 7 = 0.【点睛】本题主要考查直线过定点的问题，以及求直线外一点P P 到直线的距离最大时直线的方程；熟记两直线交点的求法、点到直线的距离公式，以及直线的一般式方程即可，属于基础题.1717 如图所示， PAQ是某海湾旅游区的一角，其中 PAQ =120；，为了营造更加优 美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和ACAC,其中AB是宽长廊，造价是800元/ /米，AC是窄长廊，造价是400元/ /米，两段长 廊的

27、总造价为 12120 0万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台， 并建水上直线通道AD(平台大小忽略不计)，水上通道的造价是1000元/ /米.(1)(1) 若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目， 要求LABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为多少米？(2)(2) 在(1)(1)的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？【答案】(1 1)AB和 ACAC 的长度分别为 750750 米和 15001500 米(2 2)50万元【解析】 试题分析：(1 1 )设AB长为x米，AC长为y米，依题意得800 x 400y =1200000，即2x y =300,表示面积，利

28、用基本不等式可得结论；(2 2)21-利用向量方法，将AD表示为AD AB - AC,根据向量的数量积与模长的关系可33第2121页共 1818 页得结果 试题解析：（1 1）设AB长为x米，AC长为y米，依题意得800 x 400 y即2x y =3000,1J3SABCx ysin120 x y24当且仅当2x = y，即x =750, y =1500时等号成立,所以当ABC的面积最大时，AB和 ACAC 的长度分别为 750750 米和 15001500 米(2)在的条件下，因为AB =750m, AC = 1500m.221喇得AD AB AC13342412AB -AB AC AC9

29、99475024750 1500：|11150099. 29二AD =500,1000 500=500000元所以，建水上通道AD还需要50万元.解法二：在：ABC中，BC二AB2AC22AB ACcos120750215002-2 750 1500cos120=750万在：ABD中，cosBB2BC2AC22AB AC75027552-150022刁2 750 750、7在ABD中，AD AB2BD22AB BDcosB=750225 72-2 750 25 7 7= =5001200000,诗2xy浮专2=281250 3m22二第2222页共 1818 页1000 500 =500000

30、元所以，建水上通道AD还需要50万元.解法三：以 A A 为原点，以 ABAB 为x轴建立平面直角坐标系，则A 0,0,B 750,0C 1500cos120【1500sin120：，即C -750,750 . 3，设D x0,y0X)=250由CDDB，求得J =250.3，所以，AD|=J(2500丫+(250亦0) =5001000 500 =500000元所以，建水上通道AD还需要50万元.1已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为.3,2, 试求点P的坐标;2是否存在这样的直线： 它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若 存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由

31、.【答案】(1 1)I V3, I(2 2)存在，直线方程为：y = V3 x或y = J3x144丿73【解析】1设P x,y，由题意，得出关于x、y的方程，解之即得P点的坐标；2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为:y =kx b k = 0，该直线上的任一点M x,y，经变换后得到的点N x 、3y,-、3x -y仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k,b值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在.【详解】a b(1 Q.设矩阵A=| Lc d2-1丿阵的变换下成点所以D 250,2503a b|ax + by!c d一icx + dyX, y在矩1818 定义矩阵”的一种运算该运算的意义为点第2323页共 1818 页1设P x,y第2424页共 1818 页即P点的坐标为（3J3,1i.4丿2假设存在这样的直线，因为平行