四川省遂宁市高考数学一诊试卷(理科)及解析【最新版】

1、四川省遂宁市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四 个选项中，只有一个是符合题目要求的.(5 分)已知集合 A=x| 3vxv6 , B=x|2vxv7，则 AA(?RB)=()A.2.(2, 6) B. (2, 7) C. ( 3, 2D. ( 3, 2)(5 分)已知复数 z=a+i (a R),若 z+迅=4,则复数 z 的共轭复数.=（）A.2+i B. 2 - i C. 2+i D. 2- i3.A.（5 分）“（寺）y （寺）b”是 “lo2aIog2b”的充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

2、也不必要条件4. （5 分） 已知随机变量E服从正态分布 N（卩,P （2 0, b0,且函数 f （x） =4x3-ax2-2bx+2 在 x=2 处有极值，则ab 的最大值等于（）A. 121 B. 144 C. 72 D. 809.（5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 a为函数 f（x）= :sinx+cosx（x R）的最大值，且满足 an- anSn+1=- anS，则数列an的前 2018 项之积 A2018=（ ）A. 1 B.C. - 1 D. 222 210.（5 分）若双曲线 C： -3. =1 （a0，b0）的一条渐近线被圆 x2+y2-a2b24x=0 所截

3、得的弦长为 2,贝 U 双曲线 C 的离心率为（A. 2 B. = C. - D.二311.（5分）已知 OABC 的外心，A 为锐角且 si nA 二，若：i=a】+3,3则a+B的最大值为（）A.丄 B.丄 C. - D.323412. （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（-x） =f（x）,且对任意的不相等的 实数 X1, X2 0, +x）有_V0 成立，若关于 x 的不等式 f （2mx-Inx-3) 2f (3)- f (- 2mx+In x+3)在 x 1, 3上恒成立，则实数 m 的取值范围()二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.r2x

4、+3y-30,贝U目标函数 z=2x+y 的最小值是_ .14.（5 分）二项式（2 匚-6展开式中常数项是.15. （5 分）已知点 A, B 的坐标分别为（-1 , 0）, （1, 0）.直线 AM, BM 相交于点M，且它们的斜率之和是 2,则点M的轨迹方程为_ .16. （5 分）设函数 广 I：与 g （x） =a2l nx+b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数 b 的最大值为_ .三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （12 分）已知数列an的前 n 项和为 S,向量二（Sn, 2）, &满A.足条件 I 丄（1） 求数

5、列an的通项公式；（2） 设 Cn=，求数列Cn的前 n 项和 Tn.18.(12 分)已知函数， 一 , I ，在 ABC 中，角 A, B, C 的对边6分别为 a, b, c(1) 当 x 0,丄时，求函数 f (x)的取值范围；2(2) 若对任意的 x R 都有 f(x)wf( A),c=2b=4,点 D 是边 BC 的中点，求 小的值.19. (12 分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为 了验证这个结论，从兴趣小组中用分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30，女 20), 给所选的同学几何题和代数题各一题， 让各位同学自由选择一题进行解答， 选题 情况如表

6、(单位：人)几何体代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1) 能否据此判断有 97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关(2) 经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 5 -7 分钟，乙每次 解答一道几何题所用的时间在 6-8 分钟，现甲乙解同一道几何题，求乙比甲先 解答完成的概率(3) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程 研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期 E (X) 附表及公式P (k2k)0.150.100.050.0250.100.0050.001k02.07212.7063.4815.024

7、6.6357.87910.828k2=_ n (adfc) _：,丨丨 |1. J；.20. (12 分)设椭圆二-+ . =1 (a b 0)的离心率 e，左焦点为 F,右顶点 为 A,过点 F的直线交椭圆于 E, H 两点，若直线 EH 垂直于 x 轴时，有|EH 弓(1)求椭圆的方程;(2)设直线 I: x=- 1 上两点 P, Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B (B 异于点 A),直线 BQ 与 x 轴相交于点。.若厶 APD 的面积为逅，求直线 AP 的方 程.21.(12 分)已知函数 f (x) =ex+px-竺-2lnxx(1) 若 p=2，求曲线 y=f

8、(x)在点(1, f (1)处的切线；(2)若函数 F( x) =f (x) - ex在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围；(3)设函数 g (x) =ex+ ，若在1，e上至少存在一点 xo，使得 f (x) g (x)x成立，求实数 p 的取值范围.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选 修4-4 :坐标系与参数方程点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 P =4co( 9-).J(1) 求圆 C 的直角坐标方程；(2)若 P (x，y)是直线 l 与圆面丄；的公共点， 求 : x+y 的取 值范围.23.已知函数 f

9、 (x) =| 1 -x-a|+| 2a-x|(1) 若 f (1)v3,求实数 a 的取值范围；(2) 若 a，x R,判断 f (x)与 1 的大小关系并证明.22. (10 分)已知直线 I 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极2018年四川省遂宁市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四 个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合 A=x| - 3vxv6 , B=x|2vxv7，则 AA（?RB）=（）A. （2，6） B. （2，7） C. （-3，2 D. （-3，2）【解

10、答】解：B=x| 2vxv7，?RB）=x| x 7， AA（?RB）=（-3,2，故选：C.2. （5 分）已知复数 z=a+i （a R），若 z+迅=4，则复数 z 的共轭复数 z=（）A. 2+i B. 2 - i C.- 2+i D.- 2- i【解答】解 z=a+， z+ =2a=4,得 a=2.复数 z 的共轭复数=2 - i.故选：B.3. （5 分）“qA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件L-1? ab，1 咽Iog2b” ab0.”是“loga Iog2b”的必要不充分条件.故选：B.1是 “ loga log2b”的（）【解答】解：八

11、4.（5 分）已知随机变量E服从正态分布 NJ,訂，若 P（M2） =P（A6） =0.15, 则 P （2 1000，得 n 7，所以输出的所有 x 的值为 3, 9, 27，81, 243，729,其和为 1092, 故选：D.7. （5 分）要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学 6 堂课 的课程表，要求语文课排在上午（前 4 节），生物课排在下午（后 2 节），不同排 法种数为（ ）A. 144 B. 192 C. 360 D. 720【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：1，要求数学课排在上午（前 4 节），生物课排在下午（后 2 节）， 则数学课有 4 种排法，

12、生物课有 2 种排法，故这两门课有 4X2=8 种排法；2，将剩下的 4 门课全排列，安排在其他四节课位置，有 A44=24 种排法， 则共有 8X24=192 种排法，故选：B.8. （5 分）若 a0, b0,且函数 f （x） =4x3-ax2- 2bx+2 在 x=2 处有极值，则 ab的最大值等于（）A. 121 B. 144 C. 72 D. 80【解答】解：由题意，求导函数 f（ x） =12x - 2ax- 2b,在 x=2 处有极值，2a+b=24,Ia0,b0, 2abw（）2=144，当且仅当 2a=b 时取等号，所以 ab 的最大值等于 72,故选：c.9.(5 分)已

13、知数列an的前 n 项和为 Sn,若 ai为函数 f (x) =_；sinx+cosx (x R)的最大值，且满足 an- anSn+1=- anS ,则数列an的前 2018 项之积 A2O18=( )A. 1B.C. - 1 D. 22【解答】 解：函数 f (x) =ylsinx+cosx=2sin (x+ ),6当 x=2kn/“ , k Z 时，f (x)取得最大值 2,3则 a1=2,即为 an=anSn+1 anSn+1,即有 an+1=1- 一，%an+2=1 -:=,an+l1_anan+3=1 - =Oi,an+2则数列an为周期为 3 的数列，且 a1=2, a2=, a

14、3=- 1,则一个周期的乘积为-1,由于 2018=3X672+2,则数列an的前 2018 项之积 A2018=1X2X丄=1.故选 A.【解答】解：双曲线 C：-二=1 (a 0, b 0)的一条渐近线不妨为：bx+ay=O, a2b?圆x2+y2-4x=0即为(x- 2)2+y2=4的圆心(2, 0),半径为 2,双曲线的一条渐近线被圆 x2+y2- 4x=0 所截得的弦长为 2,可得圆心到直线的距离为：=1,由an-an$+1=anSn=1 anSn,23Va2+b22 2解得：W J门=3,c由 e= ,a可得 e2=4,即 e=2.故选 A.11. (5 分)已知 OABC 的外心

15、，A 为锐角且 sinA= ，若二a+B,则a+B的最大值为(A 乌 B-i C4)D.【解答】解：如图所示，以 BC 边所在直线为 x 轴,BC边的垂直平分线为 y轴建立直角坐标系(D为 BC边的中点). 由外接圆的性质可得/BOD=/ COD=Z BAC由 A 为锐角且 sinA=,不妨设外接圆的半径 R=3.则 OA=OB=OC=3Icos/ COD= =cosA=,0C 3ODh,DC= IL 匚二=2：. B (- 2 - , 0), C (2 - , 0), O (0 , 1), A (m , n),则厶 ABC 外接圆的方程为：x2+ (y- 1)2=9. (*)= ai +B；

16、,(-m,1-n)=a(-2., -m, -n)+B (2-m, -n),FFQ(-2逅P)+f (2屁 f)1 -n= -Ctn-n， a+B 1时，否则i=a .,由图可知是不可能的.可化为f 2V2(P-Ct) 吩CL+p-l-1 严 a 十 B-1代入(*)可得.厂+ -:=9,(a+p-1)2(a+P-1)2化为 18 (a+B)=9+32a B利用重要不等式可得 18(a+B) 9+32 (亠色)22化为 8 (a+B)2- 18 (a+B)+90 , 解得a+并-1或a+B.42又a+B 2f (3)- f (- 2mx+In x+3)在 x 1, 3上恒成立，则实数 m 的取值

17、范围()故选：D.A.三，1+今 BJ , 2+子C. , 2+学【解答】解：.定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于 y 轴对称，函数 f (x)为偶函数，函数数 f (x)在0, +x)上递减， f(x)在(-x,0)上单调递增，若不等式 f (2mx- lnx- 3) 2f (3)- f (- 2mx+ Inx+3)对 x 1，3恒成立,即 f (2mx- lnx - 3)f (3)对 x 1, 3恒成立. - 32mx- lnx- 33 对 x 1, 3恒成立，即 0W2mx- lnx6 对 x 1, 3恒成立，即 2ml-且 2mW-一-i对 x 1,xz_6+ln3min=.3

18、综上所述，m 亠,:：.2e 6故选 D.二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.r2x+3y-30 ,贝 U 目标函数 z=2x+y 的最小值是 y+30-15.r2x+3y-30 的可行域如图：y+3Q在坐标系中画出可行域厶 ABC A (- 6,- 3), B (0, 1), C (6,- 3),由图可知，当 x=- 6 , y=- 3 时，贝 U 目标函数 z=2x+y 的最小，最小值为-15. 故答3恒成立.=：,则 g (x)，在1, e)x_丨max= .e=1,h (x)令 g (x)二 g (x)令 h(x)-壬皿vo,在i,上递增，(e，3上递减,3

19、 上递减, h(x)案为：-15.所以展开式中常数项是-160.故答案为：-160.15.（5 分）已知点 A, B 的坐标分别为（-1 , 0）, （1, 0）.直线 AM, BM 相交 于点 M，且它们的斜率之和是 2,则点 M 的轨迹方程为 x2- xy-仁O（XM土 1）.【解答】解：设 M （x, y）,vAM, BM 的斜率存在，二 x 1,由kAM+kBM=2 得：?=0,z+1 x-1整理得：X - xy -仁 0,点 M 的轨迹方程为：x2- xy-仁 0 (XM土 1).故答案为：x - xy-仁 0 (XM1)16. （5 分）设函数 广工.与 g （x） =alnx+b

20、 有公共点，且在公共2【解答】解：设公共点坐标为（xo, yo）,则：. ,14. （5 分）二项式（2 :-）6展开式中常数项是-160【解答】3=20X8X( -1)=-160.解：因为:：.kBM=,X-l点处的切线方程相同，则实数 b 的最大值为._.2 孑所以有f(Xo) =g (Xo),即 3K0-2a-，解出 Xo=a (切二诗舍去),xo了又 y=f(xo) =g (X0),所以有-yxQ-2aKQ=alnX|j+b，所以有一-.,对 b 求导有 b= - 2a (1 +lna),2故 b 关于 a 的函数在：二-为增函数，在-、一为减函数,ee三、解答题：本大题共 70 分解

21、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)已知数列an的前 n 项和为 S,向量二(Sn, 2),隹i_2n)满 足条件|丄(1) 求数列an的通项公式；(2)设 Cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn.an【解答】解：(1)v , ., ? =5+2 - 2n+1=0, Si=2n+1- 2,当 n2 时，an=Sn- Si-1=2n,当 n=1 时，a1=S=2 满足上式，百匚i、jM 1口汁人若层+/古_118. (12 分)已知函数w：g 一匚:-i ,在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边6分别为 a, b, c(1)当 x 0,时，求函数 f (x)的取值范围；

22、2(2) 若对任意的 x R 都有 f(x)W f( A),c=2b=4,点 D 是边 BC 的中点，求lH 的值.【解答】解：(1)当 x 0,丄时，2x- -丄，丄 L,2 6 6 6jl1sin (2x-) -1, 1,所以函数 ：.-:二一 的取值范围是0, 3;6(2)由对任意的 x R,都有 f (x)ko)0.150.100.050.0250.100.0050.001ko2.07212.7063.4815.0246.6357.87910.828k2=_n (ad-比)2_丨|1. J：【解答】解：(1)由表中数据，得:据此判断有 97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设

23、甲、乙解答同一道题的时间分别为 x, y 分钟，W 如图所示：6yy，-XlX 1由几何概型得乙比甲先解答完成的概率P (A)= =(3)由题意知在 8 名女生中任意抽取 2 人，抽取方法有 二_ ：；种,其中甲、乙两人没有一个人被抽取有 -；.二种，恰有一人被抽到有种，两人都被抽到有：|种, X 的可能取值有 0, 1, 2，P (X=0) =, P (X=1) = , P (X=2)， X 的分布列为:X012P152837128k2=50(22XlA8X8)E=I.:二二一一 I.! !，则基本事件满足区域为322r20.(12 分)设椭圆二-+=1 (a b 0)的离心率 eJ，左焦点

24、为 F,右顶点a2为 A,过点 F 的直线交椭圆于 E, H 两点，若直线 EH 垂直于 x 轴时，有|EH=2(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线 I: x=- 1 上两点 P, Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B (B 异于点 A)，直线 BQ 与 x 轴相交于点。.若厶 APD 的面积为半，求直线 AP 的方 程.【解答】解：(1)设 F ( - c, 0) (c0)，飞，二 a=2c,又由| EH=，得丄 -且 a2=b2+c2，解得=.2因此椭圆的方程为：厶-.(2)设直线 AP 的方程为 x=my+1 (0), 与直线 I 的方程 x=-1 联立，可得点 P(-1

25、2),故 Q(-1,2).2将 x=my+1 与八1联立，消去 x,整理得(3m2+4) y2+6my=0,解得 y=0,或 y=1.3mZ+ 4由点 B 异于点 A,E (X)1528+1X+2X=:2r2 .由 Q(- 1,),可得直线 BQ 的方程为:m3n/+4 m3mJ+4111_ 2-2令 y=0,解得工-一，故 D (：.)3m2+23m2+2整理得_ 二一一，解得丨 m|一,二 m= I3直线 AP 的方程为：衣I,或 3x-诗 ib- 3=0.21.( 12 分)已知函数 f (x)=ex+px- 2lnxx(1) 若 p=2，求曲线 y=f (x)在点(1, f (1)处的

26、切线；(2)若函数 F(x) =f (x) - ex在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围；(3) 设函数 g (x) =ex+ 一 ,若在1, e上至少存在一点 Xo,使得 f (勺)g (勺) 成立，求实数 p 的取值范围.【解答】解：因为函数 f(x)=ex+px-y-2lnx,x(1)当 p=2 时，f (x) =ex+2x - - 2lnx, f (1) =e,又 F (J 二丄，二 f( 1) =e+2,J -则曲线 y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程为：y- e= (e+2) (x- 1), 即(e+2) x- y 2=0;2(2)F( x) =f (x)-

27、 ex=px-，匸亠 Tc可得点 B (丄一3 m+4-6m3m+4)- I AD| =2-3 异 _ Gm3m+2 3m+2八APD的面积为：故V62XXKX由 F(x)在定义域(0, +x)内为增函数， F (x)0 在(0, +x)上恒成立,对任意 x 0 恒成立,px2- 2x+p 0,即2_ 2-2K2(x2+l)( (X2+1)设亠，可知 h (乂)在(0,1) 上单调递增，在(1, +x)上单调递减,则 h (x)max=h ( 1)(3)设函数 (x)= 1,Aph(1)=1,即 p 1,+x);=f(x)-g(x)=px- 二.-，x 1,e,则原问题？在1, e上至少存在一点 X0,使得 (X0) 0? (x)max0(x1, e)当 p=0 时，；-：-”：，则 (x) 在 x 1, e上单调递增，xmax= ( e) = 4V0,(舍)；当 pV0 时， (x) =p (X-丄)一丄 ，(x) x 1, e，二 x-0,二0, lnx0,贝U (x)v0,(舍);当 p0 时，*；,则 (x)在 x 1, e上单调递增， (x)max= (e) =pe-