大学物理能量

1、能量F = ma = m dv牛顿第二定律dtF ×dr = m dv ×dr = mdv × dr = mv ×dv = 1 mdv2dtdt2j + dvz k)v ×dv = (vx i + vy j + vz k) × (dvx i + dvy12= v dv+ v dv+ v dv=(dv+ dv2+ dv2 )2xxyyzzxyz= 1 dv221 dv2 = 1 d(v × v) = 1 (dv × v + v ×dv) = v ×dv22= vdv2质点功-动能定理F ×

2、;dr = 1 mdv22a为初态b为末态1 mdv221212bF ×dr =abòò=-22amvmvba12Ek =mvbòA =F ×dr定义：功动能2adA = F ×dr元功功-动能定理力做的功等于质点动能的变化量A = DEk = Ekb - Eka恒力做的功FqxxòòF cosqdxA =F ×dx=22x1x1x= F cosq (x2 - x1)= Fx Dx匀速圆周运动？重力做的功上抛：下落：A = mg × y = -mgyA = mg × y = mgyyy

3、m g yy位移与力方向相反cosq = -1重力做负功位移与力方向相同cosq = 1重力做正功v 0m gv最置：末态速度：12mgy = 1 mv2 - 02- mgy = 0 -2mv0v2y =v = 0 2g2gyA = DEkA = DEk重力做的功-沿任意曲线运动yy aa重力做功：bA =F ×dr =bmg ×dròòd rm gaabybbò=- mgj × (dxi + dyj + dzk)axyò=b- mgdyya= mg( ya - yb )只与始末态高度有关，与经过的路径无关。弹性力做的功弹性

4、力做功：kmbbòòA =F ×dr =- kxi ×dxiaa· xxxò- kxdxbOabxa胡克定律：F = -kxik :劲度系数。xi :端点的位移。xbxa= - 1 kx22121=kx-kx22ab2为平衡位置。O也只与始末态位置有关。万有引力做的功设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引 力场中从a点运动到b点。F = -G Mm rdradrr3mbbMmA =F ×dr =- Gr ×dròòrrar 3aabr ×dr = rdrrbMbMmA =-

5、Gdròr 2draæ 11 ö只与始末态位置有关，与经过的路径无关。rbò= -GMmç÷ø= -GMm-2rè rarbra保守力定义：保守力做的功与路径无关，只与始末位置有关。若质点沿闭合路径ababaA = ò F ×dr + ò F ×dr1aab12bb= ò F ×dr - ò F ×dr2baa1= 02保守力沿闭合路径做功为0注：摩擦力不是保守力ò F ×dr = 0保守力做的功A = mg( ya

6、 - yb )重力：a为初态b为末态1212弹性力：A =kx-22kxabæGMm öæGMm ö万有引力： A = ç-è÷ - ç-øè÷ørrab定义：势能变化量由此可定义势能DEp = - A = Epb - Epa重力势能A = mg( ya - yb )空间某处的势能为参考点至其的势能变化量Ep ( y) = mgy - mg × 0 = mgyDEp = - A = Epb- Epa= mgyb - mgya需通过势能变化量来定义势能选定参考点后势能

7、值是唯一确定的设定势能参考点：当 y = 0 时，Ep = 0Ep = mgy弹性势能1212A =kx -22kxab位移某处的势能为DEp= - A = Epb- Epa2E (x) = 1 kx2- 0 = 1 kx221212=kx-2kxp2ba设定势能参考点：当 x = 0 时，Ep = 0平衡位置E= 1 kx2p2万有引力势能æGMm öæGMm öA = ç-è÷ - ç-øè÷ø空间某处的势能为rrabE (r) = æ- GMm ö

8、- 0ç÷DEp = - A = Epb - EpaprGMmè= -øæGMm öæGMm ö= ç-è÷ - ç-øè÷ørrrba设定势能参考点：当 r ® ¥ 时，E无穷远处= 0pE= - GMmpr势能的普遍定义Ep (r) = Ep (r) - Ep (r0 )= - Arr0为势能参考点ò= -F ×drr0¾空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力

9、作的功。rpòrE (r) =0 F ×dr质点机械能守恒定理a为初态b为末态A = DEk = Ekb - EkaDEp = - A = Epb - Epa= Eka - Ekb成立条件：无非保守力+ Epa = Ekb + EpbEka若有非保守力E = Ek + Ep定义：机械能机械能守恒定理不成立Ea = Eb机械能守恒定理机械能热能（内能）势能曲线EpOEErppxyOO弹性势能曲线引力势能曲线重力势能曲线Ep = mgyE= - GMmprE= 1 kx2p2势能与保守力的关系dEp = -Fdx在1维时：dA = F ×dr元功dEp = -dA =

10、 -F ×drF = - dEpE= mgy重力：= -mgpdyF = - dEpE= 1 kx2= -kx弹性力：pdx2F = - dEp= - GMm= - GMm万有引力： Er 2pdrrF = - dEpdx势能与保守力的关系在3维时：¶¶j + ¶梯度算符：Ñ =i +k直角坐标¶x¶y¶z保守力等于势能函数梯度的负值= - ¶Ep= - ¶Ep= - ¶EpF, F, Fxyz¶x¶y¶z¶¶+ 1 ¶1&#

11、209; =r +球坐标0r sin f ¶q0r ¶j0¶rF = -ÑEpab=-例：已知双原子的势能函数为：E，px12x6a、b为正常数，函数曲线如图。求： (1) 双原子之间平衡位置的距离；Ep(2) 双原子之间最大引力时的两原子距离x解： 平衡位置的条件为：F=0F = - dEp= -dab )-(x2x12x6dxdxx1= 12a - 6a = 02aF=x61b= 0x13x7dFx最大引力的条件为：dxd æ 12a - 6b ö = 026 × a= 6xç÷21377bdx &#

12、232; xxø摩擦力做的功一质量为m的物体在水平桌面上移动F = mmg摩擦力大小方向与位移dr相反dr1dA = F ×dr = -mmg dr= -mmgds元功ads ：路程2若质点沿路径1bbbA = ò F ×dr = -mmg ò ds = -mmgs1与路程有关aa11若质点沿路径2bbA = ò F ×dr = -mmg ò ds = -mmgs2aa22非保守力ò F ×dr ¹ 0例：半径为R的光滑球面顶端，物体m自静止开始下滑。求：物体脱离球面的位置。RF =

13、maìmg cosq - N = mRq&2qhN径向切向ímg sinq = mRq&îmgq& = q& dq&mgsinqdq = mRq&dq&dqmg(1- cosq ) = 1 mRq&2qq&òòq&q&mgsinqdq =mR d 200cosq = 2N = 03mgR(1- cosq ) = 1 mR2q&2 = 1 mv2机械能守恒定理22质点组功-动能定理A = DEk = Ekb - Eka对质点：对质点组：既有外力，也有内

14、力12åiA+ A= DE= E- E=2质点组动能：Em vkkbkakii外内= A外,保守力+ A外,非保守力= A内,保守力+ A内,非保守力A外A内将所有保守力做功计为势能变化量A外,非保守力+ A内,非保守力= (Ekb= DE+ Epb ) - (Eka + Epa )一对内力做的功dA = dA1 + dA2 = f1 ×dr1 + f2 ×dr2y=f × (dr - dr ) =f ×d(r - r )mm11211212f1 ×dr12f2xfrr112= r1 - r2相对位矢相对元位移r12Odr= d(r

15、- r )z1212¤ 一对内力做功之和与所选的参照系无关Q r12 , dr12 与参照系无关。对任意参照系¤ 一对内力做功之和一般不为0A = ò f1 ×dr12例：质量为m的度v自木块穿出。滑。以v0射向质量为M长为l的静止木块，以速在木块中受到的摩擦力为常量。地面光求：从进入木块到离开木块的过程中木块行进的距离s。解：设穿出时木块速度V动量守恒mv0 = MV + mv质点组功-动能定理一对内力（摩擦力）做负功对木块，摩擦力做正功- fl = ( 1 mv2 +MV 2 ) -mv211fs =2MV120222ml(v - v)2对，摩擦力做

16、负功s = 0M (v2 - v2 ) - m(v - v)2- f (l + s) =mv2 -mv21210002sl质点组的动能 （柯尼希定理）12åE=2m vkiiivi = vi¢ + vCvi¢ ：相对质心的速度vC ：质心速度E= 1 å m (v¢ + v)2kiiC21212iå ii2¢+ v2 + 2v¢ × v=m (v)CiCi21åiåim v+ å m v¢ × v¢=m v+2iiiCiiC2i=质点组相对质心的

17、动能+质心动能E= E¢ + 1 Mv2 kk2C质心参考系中动量å mi vi¢ = 0i例：m1和m2静止在光滑平面上，以劲度系数为k的弹簧相连。弹簧处于伸展状态。一质量为m的求：弹簧最多压缩了多少？以v0射入m1内。解：设射入m1内速度v，m2未动mv0 = (m + m1)v动量守恒弹簧压缩过程中，体系动量守恒(m + m1)v = (m + m1+ m2 )vC质点组动量为12(m + m )v= 1 (m + m1¢+ m )v2+ E +k (D22l)机械能守恒112Ck22弹性势能最大时，相对质心动能=0m2Dl=mvmax0(m +

18、m )(m + m + m )k112m1m2碰撞问题碰撞过程1. 压缩阶段2. 恢复阶段弹性碰撞：碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞前后系统的总机械能守恒。非弹性碰撞：碰撞后物体的形变只有部分恢复，系统有部分机械能损失。完全非弹性碰撞：碰撞后物体的形变完全不能恢复，两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。微观粒子：碰撞Û 散射弹性碰撞+ m2v20= m1v1 + m2v2m1v10动量守恒：111212+=m v+2222m vm vm v动能守恒：110220112222= (m1 - m2 )v10 + 2m2v20v1m + m12= (m2 - m1 )v20 + 2m1v10v2m + m1v202v10v1v2v2 - v1 = v10 - v20例：当空间探测器从星球旁绕过后，由于引力的作用而速率 增大的现象叫弹弓效应。设土星质量为5.67×1026kg，其相对于太阳的轨道速率为9.6km·s-1，一空间探测器质量为150kg，其相对太阳的速率为10.4km·s-1，并迎着土星飞行，探测器绕过土星沿着原来速度相反的方向离去。求：探测器离开土星后的速度。(m - m )v+ 2m vv1解：v1 =1210m1