线性系统特征根与零输入响应分析

1、一、 证明：1）若A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在 t时趋近于零，给出例子； 2）若A矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，给出正反两个例子； 3）若A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根的重数大于1时，系统的零输入响应可能会趋近于零，给出正反两个例子；（C0） 4）讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的关系，针对所举的例子作说明。系统的状态空间描述为：X=AX+BUy=CX+DU 1-1当系统的的输入为零时，则状态空间描述可写为：X=AXy=CX 1-2那么该系统的输出为(t>0）：y=CeAtX0 1-3而eAt=L-1

2、SI-A-1 1-4将式1-4代入1-3中有：y=CL-1SI-A-1X0 1-5设其拉氏变换为：DSNs=DSS-1S-2S-3S-n-1S-n 1-6其中N(s)的阶次大于D(s)的阶次。那么式1-6可化为：D(S)N(S)=1S-1+2S-2+3S-3+n-1S-n-1+nS-n1-71) 由于A矩阵的特征根均有负实部，即1、2、3n-1、n均在复平面的左边，那么对上式进行拉式反变换有：L-1DSNS=1e1t+2e2t+3e3t+n-1en-1t+nent 1-81、2、3n-1、n均在复平面的左边当t时，eit0，则有当t时，yt0例1：设有一状态空间模型为：X=-14-7.875-

3、5.625800020X+100Uy=00.6250.625X的系统。其特征根分别为1=-3，2=-5，3=-6取初始状态为X(0)=111,其零输入响应如图表 1所示：图表 2可以看到在t时有，其零输入响应趋近于0。2) 若A矩阵有正实部特征根时，由式1-7，我们可以取k有正实部（k为1、2、3n-1、n中的某一个数），那么kS-k的拉式反变换为kekt。k有正实部 kekt在t时发散。即该系统的零输入响应在非零状态下且t时趋近于若式1-6可化为DSNs=D'SS-kS-1S-2S-kS-n-1S-n则：DSNs=D'SS-1S-2S-n-1S-n 2-1可以看到极点k与零点

4、k抵消了，由式2-1与式1-6类似当t，依然有yt0。例2：设有一状态空间模型为：X=-32.53400020X+0.500Uy=00.50.25X的系统。其特征根分别为1=-2，2=3，3=-4取初始状态为X(0)=111,其零输入响应如图表 2所示：图表 2可以看到在t时有，其零输入响应趋近于。例3：设有一状态空间模型为：X=-32.53400020X+100Uy=00.25-0.375X的系统。其特征根分别为1=-2，2=3，3=-4取初始状态为X(0)=111,其零输入响应如图表 3所示：图表 3可以看到在t时有，其零输入响应趋近于0。例2，例3系统的特征根相同，但是他们同状态下的响应

5、却不同，前者在t时其零输入响应趋近于，而后者在t时其零输入响应趋近于0。由于例3系统的传递函数为y=s-3s+2s-3s+4，显然s-3项上下抵消，所以该系统等效的传递函数为y=1s+2s+4，此时特征根3并不影响系统的输出。3) 若A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，且纯虚根的重数大于1。我们以纯虚根的重数等于2为例，k为正实数，那么式1-6可写为：DSNs=DSS-1S-2S2+k2S-n-1S-n 3-1我们抽出重根项：k1S3S2+k2+k2S2S2+k2+k3S1S2+k2+k4S2+k2则，L-1k1S3S2+k2+k2S2S2+k2+k3S1S2+k2+k4S2+

6、k2=(at+b)sint 3-2其中a，b，均为常数，a、0。当t时，at，所以有y可能趋近于（在±处震荡）。而当式3-1能化为:DSNs=DSS2+k2S-1S-2S2+k2S-n-1S-n 3-3可以看出重根项可以被消除，则式3-3可写为：DSNs=DSS-1S-2S-n-1S-n 3-4由1）可得：当t时，eit0，则有当t时，yt0例4：设有一状态空间模型为：X=-5-2.5-1.25-0.875-0.625-0.75400000040000002000000100000010X+0.2500000Uy=00000.1250.125X的系统。其特征根分别为1=-2，2=-3

7、，3=2i，4=2i，5=-2i，5=-2i取初始状态为X(0)=111111,其零输入响应如图表 4所示：图表 4可以看到在t时有，其零输入响应趋近于（在±处震荡）。例5：设有一状态空间模型为：的系统。其特征根分别为1=-2，2=-3，3=2i，4=2i，5=-2i，5=-2i取初始状态为X(0)=111111,其零输入响应如图表 5所示：图表 5可以看到在t时有，其零输入响应趋近于0。例4，例5系统的特征根相同，但是他们同状态下的响应却不同，前者在t时其零输入响应趋近于±，而后者在t时其零输入响应趋近于0。由于例5系统的传递函数为y=s+1s2+22s+2s2+22s+

8、3，显然s-3项上下抵消，所以该系统等效的传递函数为y=s+1s+2s+3，此时重虚根并不影响系统的输出。4) 当A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在t时趋近于零，系统稳定；如例1所示。当A矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，此时系统部分状态不稳定。由于系统结构，可能存在系统的输出与这部分不稳定的状态无关，即存在零极点对消的情况，把正实部特征根抵消了。那么系统输出稳定。如例2、例3所示.当A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根的重数大于1时，系统的零输入响应可能会趋近于零。1.当它的重数为1时，其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态临界稳定，系统输出临界稳定。2.当存在零极点对消，把纯虚根抵消了，此时系统的输出与该特征根无关，系统状态临界稳定，系统输出稳定。3. 当它的重数为2时，其它特征根均有负实部，