向量易错题带答案

1、1 .在ABC中,M是BC的中点,tutAM=1,点P在AM上且满足学 APutuu uuu uuu tiur2PM ,则 PA (PB PC)等于A、4 - 9、D4 - 3、c4 - 32已知向量uuuu3 已知| AB |(1,2)，b(2, 3) 若向量 c满足(c a)/b，c(a b)，则 c()77、7 7、“ 77、B 、（,)C、（一，）D 、(,-)393 993uuiruuiu8，|AC|5，则| BC |的取值范围是（）A、3, 8B、（ 3，8）c、3, 13D ( 3，13)4 .设向量aX1（X1，y1）,b 区必），则一y1是a/b的（）条件。xy2A、充要B、

2、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要5 .下列命题：一 2 2(a) (a)P-*FF-f4| a|(ab)c(ac)eb* | a b |=|hfa| -| b |*F-lr-*若 aII b,bII c,则 aII ca II b，则存在唯一实数入，使b a 若a c be，且c工o，则a b 设e1 ,e2是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯一一组实数 x、y，使a xeiye>成立。 若F*»-F-T>*FF| a + b|=| a b | 贝y a b =0。 a b=o,贝y a =0或 b =0真命题个数为（）A、1B、2C、3D 3

3、个以上r6 .和a = （3, 4）平行的单位向量是 ；rru abr rur7 .已知向量 p -f旷，其中a、b均为非零向量，则| p|的取值范围是|a| |b|8 若向量 a = x, 2x ， b =3x,2，且a，b的夹角为钝角，贝U x的取值范围是9 .在四边形ABCD中,uuur uuLrAB =DC = (1，1)，uuruuu=uuuBABC,3BDyutur Ttnuruuur ，则四边形abcd的面积是|ba|bc|bd10. A ABC中，已知 AB AC 0， BC AB 0，CB11. 向量a、b都是非零向量，且向量 a + 3b与7aCA 0，判断 ABC的形状为

4、.b垂直，a 4b与7a b垂直，求a与b的夹角.12. a (1 cos ,sin ),b(1 cos ,sin ),c(1,0),(0,),（,2 ），a与c的夹角为e 1， b与c的夹角为e 2,且1,求sin的值.3213.设两个向量 ei, e2,满足|ei| = 2, |e 2| = 1, ei与e2的夹角为 3.若向量2te i + 与ei+ te 2的夹角为钝角, 求实数t的范围.i4.四边形 ABCD中，AB =a, BC =b,CD =c,DA = d，且 ab = bc = cd = da，试问四边形ABCD是什么图形？i5.如图，在Rt ABC中，已知BC=a,若长为2

5、a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角 取何值时BP CQ 的值最大？并求出这个最大值.i6已知常数 a>0，向量c= (0, a), i= (i, 0)，经过原点 0以c+入i为方向向量的直线与经过定点 A (0, a) 以i 2入c为方向向量的直线相交于点 P,其中入 R.试问：是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若 存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由 .17 已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量 b= (-3,4) 平行的单位向量，则向量 a的终点坐标是多少？ 18已知Pi(3,2),P2( 8,3),若点P在直线P1P2上，且满足|PiP|

6、=2|PP2|，求点P的坐标。uuu uuu uuu urn urn uuu19 在边长为1的正三角形 ABC中，求ABgBC BC gDA CAgAB的值.20 已知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a | 1, |b| 2 , |c| 3，求向量a b c的长度。参考答案1 . A【解析】【错解分析】不能正确处理向量的方向导致错选为Duuuuuuu由AP 2PM知，p为 ABC的重心,根据向量的加法uun uuu uujuPB PC 2PMuuu uuu 则 AP (PBuuu uuruuur uuruuuuiPC)=2AP PM=2APPMcos0【正解】uuu uuuA

7、P (PBuuu uuruuur uuruuumPC) = 2AP PM=2Ap PM cosOuuu uuuPA (PBuuuuuu uuu uiurPC) AP (PB PC)-故选A o9，2 . D【解析】【错解分析】由于混淆向量平行与垂直的条件，即非r r0 向量 a/bx1y2 X2% 0，x1x2 yy 0，而不能求得答案。rbra【正解】不妨设 C (m,n)，则a c 1m,2 n ,a b (3, 1)，对于c a/b，贝Urrr77有 3(1 m) 2(2 n)；又 cab，则有 3m n 0,则有 m ,n,故选93D。【点评】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面

8、向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.3. C【解析】【错解分析】对题意的理解有误，题设条件并没有给岀A、B、C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时， ABC不存在，错选 Do【正解】因为向量减法满足三角形法则，作岀|AB| 8，|AC| 5，BC AC AB o(1 )当厶ABC存在，即A B、C三点不共线时，3 |BC| 13 ；(2)当AC与AB同向共线时，|BC| 3 ； 当 AC与AB反向共线时，|BC | 13.IBCI 3,，故选 Co4. C【解析】【错解分析】a / bx1 y2x2 y1 0X1，此式是否成立，未考虑

9、，选X2y2a，b， a） b 配律）6 . （ - 35 【解析】c和实数入，则向量的数量积满足下列运算律：ab = ba=入（ab）（入b）（数乘结合律）（a + b ）c = ac5)XiViT -b -b【正解】若 一 -则Xi y2 X2 yi 0, a/b，若all b，有可能x?或y?为o，故选c。 X2y?5. B【解析】【错解分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如果认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律就会产生一些错误的结论。r r r 2【正解】正

10、确。根据向量模的计算a ? aa判断。r r r错误，向量的数量积的运算不满足交换律，这是因为根据数量积和数乘的定义（a c） b表示rr r rrr r和向量b共线的向量，同理 （a b） c表示和向量 c共线的向量，显然向量 b和向量c不一定是r r r r r r共线向量，故（a b） c （a c） b不一定成立。r rrr错误。应为a?bab 错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。r 错误。应加条件“非零向量a ” 错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。9 错误。注意平面向量

11、的基本定理的前提有向量ei ,e2是不共线的向量即一组基底。 正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故a b =0。 错误。只需两向量垂直即可。综上真命题个数为 2，故选B【点评】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知 交换律）（入【错解分析】因为 a的模等于5,所以与a平行的单位向量就是【正解】因为a的模等于5,所以与a平行的单位向量是-)5 r 343a，即&，-才)或(-55，f)+ bca= (3, 4)垂直的【点评】平行的情况有

12、方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和 单位向量”，结果也应该是两个7 . °,2】【解析】【错解分析】本题常见错误五花八门，错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。【正解】a b厂，一分别表示与 a、b同向的单位向量间ba 间【解析】要条件，因为a,b的夹角为180时也有a b0,从而扩大x的范围，导致错误【正解】a， b的夹角为钝角2a b x 3x 2x 2 3x 4x 04 一 3X或o(1)1又由a，b共线且反向可得X 3(2)由(1),(2)得X的范围是30【解析】【错解分析】不清楚uu uuuBA BCuu uuu与/ ABC的角平分线有关，从而不能迅速找到解

13、题的突破 IBA IBC口，不能正确求解。【正解】由题知四边形 ABCD是菱形，其边长为2，且对角线BD等于边长的,3倍，所以cosABD1，故 sin ABD22 ， sabcd【错解分析】只由a,b的夹角为钝角得到 a b 0,而忽视了 a b 0不是a,b夹角为钝角的充10 锐角三角形【解析】【错解分析】 BC AB0 | BC | | AB | cosB 0? / B为钝角，二 ABC为钝角三角形。错将BC与AB的夹角看成是 ABC的内角B,向量BC与AB的夹角应为B【正解】AB AC | AB | | AC | cos A ；BC AB | BC | | AB | cos B|BC|

14、 |AB | cosB CB CA|CB | |CA | cosC AB AC 0, BC AB 0, CB CA 0cosA 0, cosB 0, cosC 0, A、B、C均为锐角。 ABC为锐角三角形。11. 60o【解析】【错解分析】由题意，得 (a+3b)g7ab) 0，(a b)g7a b) 0，2将、展开并相减，得 46agp二 b ,1 b ，故 a = b，2将代入，得 a2 b2,则a b ,设a与b夹角为，则cosag>agb2b2/ 0o < < 180o ,60o.b) 0,【正解】设向量 a、b的夹角为，由题意，得(a + 3b)g(7a(ab)g

15、7ab) 0，将、展开并相减，得46ag)二 b2，2有2ago = b，代入式、式均可得agb_ 1a|gb|260°.【点评】错解中解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由得到，错把数的 乘法的消去律运用在向量的数量积运算上由于向量的数量积不满足消去律，所以即使b，也不能随便约去.12.【解析】【错解分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知 角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。【正解】2(2cos ,2 s in cos)2 2 22cos (cos ,sin2 2 22b (2s in ,2s incos

16、)2 2 22s in (si n ,cos )Q(0,),(,2),i（说(,),故有rrrr2cos2 a | 2cos | b | 2sin arcr2cos,1II1 ,22|a|c|2cos 222r r2si n2b cCCUrr2sin,0因cos 2II2|b| |c|2si n2222 2221 2 ,，从而sinsin12 2 22626 2【点评】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增 内容，具有代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知 识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三

17、角的考查常常以向 量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运 用知识解决问题的能力。1 口*1413 . 7<t< 且 t 工2 2【解析】【错解分析】 2te 1+7e2与te 2的夹角为钝角，(2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0，21 2t + 15t + 7<0，解之得： 7<t< 21t的范围为(一7,).2【正解】T 2te 1 + 7e2与 e1+ te 2的夹角为钝角，- (2te 1 + 7e2) (e 1+ te 2)<0 且 2te 1 + 7e2工入(e 1 + te 2)(

18、入 <0)./ (2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0 得 2t + 15t + 7<0，7<t< - 1右 2te i + 7e2=X (e 1 + te 2)(入 <0),-(2t 入)e 1+ (7 t 入)e 2 = 0.2t7 t0，即t0t的取值范围为：一7<t< 1且t工一142 2【点评】本题错误的关键是没有把握准向量夹角与向量数量积的等价关系.一般地，向量a，b为非零向量，a与b的夹角为0 ,则0为锐角 a b>0且a, b不同向；e为直角 a b=0； 0为钝角 a b<0且a b不反向.2te 1

19、+ 7e2与 ei+ te 2 的夹角为钝角 ？(2te 1+ 7e2) (e 1 + te 2)<0.14 四边形ABCD是矩形【解析】【错解分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量， 易忽视如下两点：(1)在四边形中， AB， BC，CD， DA是顺次首尾相接向量，则其和向由 a + b + c +d =0 得a + b=(c+ d)， 即卩(a + b )2=(c +d) 2即|a|+ 2ab+ |b|2 =|c|2+ 2cd+ |d|2由于ab = cd，|a|2+|b|22= |c|+|d|2同理有1a|2 +I d| 2=|c|2 +1 b

20、| 2 d|量是零向量，即a + b + c + d=0，应注意这一隐含条件应用;关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。【正解】四边形 ABCD是矩形，这是因为一方面：c|，且 |b| = |(2)由已知条件产生数量积的由可得|a即四边形ABCD两组对边分别相等四边形 ABCD是平行四边形c)=0，而由平行四边形,.a丄b也即AB丄BGABCD可 得&=。，另一方面，由ab = bc，有b(a 代入上式得b(2 a ) = 0即ab = 0综上所述，四边形 ABCD是矩形。【点评】向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容 的许多主

21、干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量 有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。uuu uuur15 当 0时，BC CQ最大，值为【解析】【错解分析】本题易错点有uuu uuur 2 uuur 不会利用AP AQ a及ACuuuAB 0这两个关系式，即没有把uurBp表示为uuu uuur uuuuuur uuurAP AB，CQ表示为AQ AC.致使该题在运算上发生错误。解法二：以直角顶点系.故当cos1,即(2)在运用坐标运算过程中，未知数多，如B(b,O), C(O,c),P(x, y),Q( x, y)而忽视了这些量内在的联系b222 2y

22、2a2,还有cosbx cy2，这些关系不ac a , x的表示式cos能充分利用，导致运算错误。uuuUUITuuu uur【正解】解法:Q ABAC,AB AC0.uuruuuuuuuur故当cos1,即0(PQ与BC方向相同)时，BCCq最大,其最大值为 0.A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标uur uuuuuu uuur0( PQ与BC方向相同)时， BC CQ最大，其最大值为 0.【点评】本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力16存在 e(2：212 a、匚/ 1;12 a、匸/c 1 /一 *，F( 212 a和 E

23、(0'2(aa22)，F(0,-(a2 2a212)【解析】【错解分析】此题综合程度较高，易错点一方面表现在学生对题意的理解如对方向向量的概念的 理解有误，另一面是在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入 僵局而出错。【正解】根据题设条件，首先求岀点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值 . i= ( 1，0)，c= (0，a)，c+ 入 i=(入，a)， i 2 入 c= (1， 2 入 a)因此，直线 OP和AP的方程分别为y ax和ya 2 ax.消去参数入，得点P(x, y)的坐标满足方程 y(y a)2a2x2.整理

24、得T8因为a 0,所以得:v2(i )当a时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点2E和F;(ii )当0 a 丄 时，方程表示椭圆，焦点2的两个定点；(iii )当a 时，方程也表示椭圆，焦点2合乎题意的两个定点.【点评】本小题主要考查平面向量的概念和计算1 1E(2i2E(0,1(a2 aa刁F( -J122a2,?)为合乎题意a2 2)和 F(0,2(aa2 ；)为,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给岀的向量问题情景 中转化岀来，另一方

25、面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题。如：线段的比值、 长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。1217.(,5【解析】5或谭,-5【错解分析】本题易错点常表现在不能正确把握单位向量的概念，从而无法解答，同时解答过程 中如果不能正确转换平行条件，也是无法解答此题的。【正解】方法-设向量a的终点坐标是(x,y),则a-(x-3,y+1)，则题意可知12184(x3)3(y 1) 0x解得5或x5，故填(2-)或(18J"上)(x-3)2(y + 1)2 1195555yy55一 、 1方法二 与向量b= (-3,4)平行的单位向量是士(-3,4)，534故可得a=± (-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果。5 5【点评】向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线 向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。与a平行的单位向量e=±aroi19 818.( 3 ' 3 )或(13，4)【解析】19 8【错解分析】由|P1P|=2|PP2|得，点P分P1P2所成的比为2,代入定比分点坐标公式得P( 3 ' 3 )19 8【正解】当点 P为P1，P2的内分点时，P分P1F2所成的比为2,此时解得P ( 3