球面三角形的面积与欧拉公式

1、球面三角形的面积与欧拉公式2 / 14§6球面三角形的面积与欧拉公式问题提出如何计算球面三角形的面积？球面三角形面积与平面三角形面积有什么区别？如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式？如何利用球面知识证明简单多面体的欧拉公式？6.1球面二角形与三角形的面积我们知道，若球面半径为R,则球面面积为S=4乃斤，现在考虑球面上的一个小区域：球面上由两个大圆的半周所围成的较小部分叫做一个球面二角形。如图所示，大圆半周刀。和户©户所围成的阴影部分就是一个球面二角形。显然P和P'是对径点，大圆半周PaR和户称为球面二角形的边。球面角np=np'称为球面二角形的

2、夹角。如果大圆弧AB以P和P为极点，A8所对的球心角为。，则NP=NP=。计算地球上一个时区所占有的面积。解 如图所示，设0为地心，N、S为北极点和南极点，A、B为赤道上两点，且ZAO8=15地球半径为R=6400km,球面三角形的面积与欧拉公式根据地理知识，地球共分为24个时区，一个时区跨越地球表面15。，所以由经线NAS与经线NBS围成的二角形就是一个时区，它所占面积为地球表面积的15_1360-24?ArrD-1即=-xx6400221446605.85r246如何计算一般球面二角形的面积？1 .二角形的夹角。，就是平面PAP'与PBP，所夹的二面角的平面角;2 .这个二角形可以

3、看成半个大圆万向绕直径PP'旋转。角所生成；球面二角形的面积与其夹角成比例。设这个二角形得面积为U,则巴4万2汗即U=2a抽象概括球面上，夹角为。的二角形的面积为U=2。如何计算球而三角形的而积？1.设S(A8C)表示球面三角形ABC的面积,2 / 14球面三角形的面积与欧拉公式3 / 142.斤对球而三角形ABC,分别画出三条边所在的大圆。设A、B、C的对径点分别是A、B'、C,则SG48C)+S(48C)=2ZA球面三角形的面积与欧拉公式球而三角形A8C+球面三角形48c+球面三角形ABC'+球面三角形A'BC构成半个球S(ABC)+S(AfBC)+S(AB

4、C)+S(ABC)=2乃(1)S(ABC)+S(AfBC)=2ZA-S(ABC)+S(AB'C)=2ZB(2)S(ABC)+S(ABC,)=2ZC所以得到2s(ABC)=2(A+8+C)2开抽象概括定理6.1球面三角形的面积等于其内角和减去。球面三角形的三个内角和大于。即球而三角形ABC的面积5=44+/8+/(74，其中4,28,/。是球面三角形ABC的内角。例2计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和的而积。3 / 14球面三角形的面积与欧拉公式7 / 14解根据地理知识，北京位于北纬39。56二东经116。201上海位于北纬31。14、东经121°29r,重庆位

5、于北纬29。30东经106。30,的经纬度，地球半径为R=6400km,如图所示，设N为北极点，B为北京，S为上海，C为重庆，在球面三角形NBC中，/BNC=116.3-106.5°=9.80.17弧度,=0.87x/?=5.6xl03bn,18060.5,NC=乃xRL06xR=6.8x10,180BC cosR解球而三角形NBC,有=(cos0.87)-(cos1.06)+(sin0.87).(sin1.06)(cos0.17),8C»0.24H=L5x103%7,同理8s0.16R=1.0xIO,如7,CSx0.22/?=1.4x102？解球而三角形BSC,有cos0

6、.22=cos0.24cos0.16+sin0.24sin0.16cosZ.CBS,即NC6S、1.11弧度，同理N8SC、L34弧度，NSC8、0.71弧度，所以球面三角形BSC的面积为(1.11+1.34+0.71-I)川=7.5、105版2。练习1 .证明：半径为R的球而上，夹角为夕的二角形的面积为U=2aR，2 .证明：半径为R的球面上，球而三角形ABC的而积S=(N4+N8+NC-乃)於。3 .已知球面二角形的而积是球而而积的1，求其夹角。84 .已知球面三角形的边角关系如下，求它的面积(前2组为单位球面，后两组球而半径为2)：/、一Ij7C.n2%(1) 已知ci=,b=,c=33

7、3(2) 已知=三,c=W223(3) 已知ZA=工,N8=工,NC=3344(4) 已知=旦,/8=£,NC=23235 .查阅资料，比较例2结果与实际数据的差异。6 .已知球而三角形ABC的三个内角之和为田，求这个球而三角形的面积与球面而4积的比。用4个全等的球面三角形覆盖整个球而，如何构造？6.2球面上的欧拉公式设S是一个球而，我们把球面分割成若干个球面三角形，要求球而上的每一点至少包含在某个球面三角形的内部或边上。同时，任何两个球而三角形或者没有公共点，或者有一个公共点的顶点，或者有一条公共边，三者比居其一，这样构成的球面上的网络，叫做球而S上的一个三角剖分，记为图中所示的两

8、个三角形的位置关系在球面的三角剖分中都是不允许出现的。设CT是球面S的一个三角剖分，CT的顶点数记为V,三角形边数记为E,三角形的个数记为F,那么V、E、F满足什么关系？例3观察下面的球而三角剖分，记录它们的顶点数V,三角形边数E和三角形个数F,说明它们满足什么关系？解在左图中，顶点为A、B、C、D,顶点数V=4,三角形的边为AB、AC、AD、BC、BD、CD,边数E=6,三角形为ABC、ABD、ACD、BCD,三角形个数F=4,球面三角形的面积与欧拉公式所以V-E+F=2：在中图中，顶点为A、B、C、D、E、F,顶点数V=6,三角形的边为AB、AC、AD、AE,FB、FC、FD、FE、BC、

9、BE、CD、ED,边数E=12,三角形为ABC、ABE、ACD、ADE,FBC、FBE、FCD、FDE,三角形个数F=8,所以V-E+F=2：在右图中，顶点为A、B、C、D、E、F、G、H,顶点数V=8,三角形的边为AB、AC、AH、HD、AE、CH、HE,FG、GB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED、CG、GE,边数E=18,三角形为ABC、ABE、ACH、CHD、AHE、HED,FGC、GCB、FGE、GEB、FCD、FDE,三角形个数F=12,所以V-E+F=2a抽象概括球而上的三角剖分o满足下面的公式：V-E+F=2O其中V、E、F分别是三角剖分。的顶点数，三角形边数和三角形个

10、数。我们把这个公式叫做球而的欧拉公式。这个公式与球而的大小，三角剖分的方式无关。即不管你在怎样的球面上，如何进行三角剖分，虽然V、E、F都发生了很大的变化，但是它们永远满足欧拉公式。因此，欧拉公式一定反映出球而本身固有的某种性质。1 .在另一个专题欧拉公式与闭曲面的分类中，将对这个问题进行详细讨论。2 .如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式？3 .考虑E和F的关系：球而上共有F个三角形，每个三角形有三条边，每条边属于两个三角形，所以3F=2E即Lf=E-F。24 .把F个三角形编号，记为i=l,2,对于第i个三角形，设它的面积为三角形的内角分别为4,4，%,那么因此，整个球而的面

11、积6 / 14球面三角形的面积与欧拉公式4"ZEr-1F=Za+d+兀一吟=Z（%+4+%）一万尸（2）5 .因为三角剖分。共有V个顶点，而在每个顶点处，以它为顶点的所有球面角之和为24，所以Z（q+a+%）=24Vz。6 .根据、（2）、（3）式，得V-E+F=2o这个公式用欧拉的名字命名，是因为在1750年欧拉首次发现了凸多面体的欧拉公式。由若干个平面多边形所围成的封闭的立体，称为多而体。如果一个多面体在它的每一个面所决定的平而的同一侧，就称为凸多面体。10 / 14如图所示，（1）,（2）、（3）、（4）、（5）都是凸多而体，而（6）、（7）不是凸多而体.用V表示凸多而体的顶点

12、数，E表示凸多而体的棱数，F表示凸多面体的而数，欧拉证明了：V-E+F=2.思考交流观察上面的图形，写出它们的顶点数V、棱数E和而数F,并验证欧拉公式。正如上面的（6）中看到的一样，后来又可以把凸多面体的欧拉公式推广到简单多而体。当把多面体想象成由橡皮薄膜围成的，一充气这个橡皮薄膜就可以变成一个球面，这样的多而体就是简单多面体。上图中的（1）.（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都是简单多面体，而（7）不是简单多而体。例4如何利用球面知识证明简单多面体的欧拉公式？例5观察下面的图形，写出凸多而体和它对应的球面三角剖分的顶点数V、棱数E和面数F,并验证凸多而体的欧拉公式和它对应的球而三角剖分的

13、欧拉公式。Af多面体的面是指可以经过连续变换变成圆盘的多边形，比如三角形、四边形都可以做多而体的而，而正方形中挖掉一个小正方形后剩下的图形就不是凸宴面体的面c数V=4,棱数E=6,而数F=4它对应的球而三角剖分的顶点数V=4,棱数E=6,而数F=4,凸多而体的欧拉公式是V-E+F=2,它对应的球而三角剖分的欧拉公式V-E+F=2i在中图中，凸多而体的顶点数V=6,棱数E=12,面数F=8它对应的球而三角剖分的顶点数V=6,棱数E=12,面数F=8,凸多而体的欧拉公式是V-E+F=2,它对应的球面三角剖分的欧拉公式V-E+F=2i在下图中，凸多面体的顶点数V=8,棱数E=18,面数F=12它对应

14、的球面三角剖分的顶点数V=8,棱数E=18,面数F=12,凸多面体的欧拉公式是V-E+F=2,它对应的球而三角剖分的欧拉公式V-E+F=2；下而我们给出简单多面体的欧拉公式的证明思路。不失一般性，我们不妨假设简单多而体P的顶点都在同一个单位球面S上。如果A、B是简单多面体上两个顶点，且连结A、B的线段是多而体P的一条棱，过A、B作球而S的大圆劣弧，这样就得到一个覆盖整个球面的球面多边形Z。在这个变化过程中，多面体P和它对应的球而多边形Z的顶点数V、棱数(边数)E和而数F都是一样的。在球而多边形E中连接顶点使得它成为球而S的一个三角剖分在此过程中，每添加一条大圆劣弧，边数E就变成E+1,与此同时，而数F就变成F+1。假设o中一共新连结了N条大圆劣弧，那么边数为E+N,而数为F+N,而顶点数V不变，根据球面三角剖分的欧拉公式，有V(E+N)+(F+N)=2,因此V-E+F=2.习题A1 .已知地球表面上的球而三角形的三边分别是1000km,1500km,2000km,求它的而积。2 .在单位球面上，已知等边球而三角形的面积等于球面面积的L,求它的三个内角4和三条边。3 .已知一个简单多面体的顶点数为8,而数为6,求这个多而体的棱数。4 .在一个球面上，画出一个三角剖分，并分别数出