圆周运动典型例题及答案详解

1、“匀速圆周运动”的典型例题【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动.A、B、C三轮的半径大 小的关系是RA=RC=2RB.当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心 0且垂直于盘面的竖直轴转动在圆盘上放 置一木 块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么A. 木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心B.木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心运动C. 因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的 方向相同D. 因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的

2、摩擦力的方向与木块的运动方向相反E. 因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同. A的质量为2m, B、C各为m. A、B离转轴均为r, C为2r则A. 若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B. 若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C. 当转台转速增加时，C最先发生滑动D. 当转台转速继续增加时，A比B先滑动【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A、B,相距Lo=Om.长L=lm的柔软细 线一端拴在 A上，另一端拴住一个质量为 500g的小球.小球的初

3、始位 置在AB连线上 A的一侧.把细线拉直，给小球以 2m/s的垂直细线方向的水 平速度，使它做圆周运动. 由于钉子B的存在，使细线逐步缠在 A、B±.若细线能承受的最大张力 Tm=7N,则从开始运动到细线断裂历时多长？【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义对本题，还应该熟练掌 握数列求和细线如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到 完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？【例5如图（a）所示，在光滑的圆锥顶用长为 L的细线悬挂一质量为 m的小球，圆 锥顶角为20 ,当圆锥和球一

4、起以角速度 3匀速转动时，球压紧锥面.此时 绳的张力是多 少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？图（a）【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿 x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方 程，其 中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。例 6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？例 7】如下图所示，自行车和人的总质量为 M,在一水平地面运动.若自行车 以速度 v转过半径为R的弯道.（1）求自行

5、车的倾角应多大？ （ 2）自行车所 受的地面的摩 擦力多大？【例8】用长Li=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球 A, Li和L2的另两端点分别系在一竖直杆的Oi, Ch 处，已知 OiO2=5m 如下图(g = 10m ? s-2)（1）当竖直杆以的角速度 3匀速转动时，02A线刚好伸直且不受拉力.求此时 角速度31.（2） 当O1A线所受力为1OON时，求此时的角速度 32.【说明】向心力是一种效果力，在本题中02A受力与否决定于物体 A做圆周运 动时角速度的临界值.在这种题目中找好临界值是关键.例9 一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有一

6、台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离 MN为d=10m,如图 所示。转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s，光 束转动方向如图箭头所示。当光束与 MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上如果再经过 t=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字M/:If j例10图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为R的薄壁圆筒（图为其横截面），转轴的转速是每分钟n转，一颗子弹沿圆筒的水平 直径由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从B点穿出，假设子弹穿壁时速 度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出A、B两点间的孤长

7、为L,写出 子弹速度的表达式说明解题过程中，物理过程示意图，是常用的方法，它可以使抽象的物理过程具体形象化，便于从图中找出各物理量之间关系，以帮助建立物理方程，最后求出答案。典型例题答案【例1】【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等.根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解【解】由于皮带不打滑，因此， B、C两轮边缘线速度大小相等，设VB=VC=V.由V=3R得两轮角速度大小的关系CO B : 3 C=Rc : RB=2 : 1因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即3A=3B，所以A

8、、B、C三轮角速度 之比COA : 3B : w C=2 ： 2 ： 1因A轮边缘的线速度VA= 3 ARA=2 3 BRB=2VB ,所以A、B、C三轮边缘线速度之比VA : VB : VC=2 :1 : 1 ?根据向心加速度公式a=3 2R,所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比S： % : ac = O) aRa:船 re：叱兔=8 ： 4 ： 2=4 ： 2 ： 1.【例 2】【分析】 由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力向心力 .以木块为研究对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力

9、，它处于力平衡状态 ?在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力）， 木块正是依 靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动 . 所以，这个摩 擦力的方向必沿半 径指向中心答 B.【说明】 常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反， 木块 随圆盘一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方 向应与木 块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选 D. 这是一种极普遍的错误认 识，其原因是忘 记了研究运动时所相对的参照系 . 通常说做圆运动的物体有沿线 速度方向飞出的趋势， 是指以地球为参照系而言的 . 而静摩擦力的方向总是跟相 对运动趋势的方向相反，

10、应该 是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面 参照系 . 也就是说，对站在盘上跟盘 一起转动的观察者，木块时刻有沿半径向外 滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦 力方向应该沿半径指向中心例 3分析 A、B、C 三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为3 根据向心加速度的公式 an=32r,已知rA=rB<rc,所以三 物体向心加速度 的大小关系为 aA=aB<ac.A错.三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =Fn=m?2r，所 以三物体受到的静摩擦力的大小分别为f=mA 3 2rA=2m w 2r,fe=mB 3 2rB=m co 2

11、r,fc=m c 3 2rc =m co 2 ? 2r=2m co 2i即物体 B 所受静摩擦力最小 .B 正确 .由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为u,静摩擦力 的最大值可认为是 fm= U mg. 由 fm=Fn, 即 mg= m3 ?r,得 不 发 生 滑 动 的 最 大 角 速度为即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小由于rc>rA=rB,所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动.转速继 续增加时，物体A、B将同时发生滑动.C正确，D错.【答】B、C.【例4】【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半 径会逐渐

12、变小，但小球转动的线速度大小保持不变【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间 t不断减小.在第一个半圆內Ti=m?, t=上丄；LV在第二个半圆内芯=m ", t2 =陀7。)在第三个半圆FA)T3 = m-A t 3 兀(L-2L。)V在第n个半圆内立乔百A7TL-(n-l)L。(L-L。)v令Tn=Tm=7N,得n=8,所以经历的时间为t=t+t2 + 上？=nL-1 + 2 + 3+ +(n-1) L o, V71n(n -=nL 1)l。v1x 0.1s,8.2s.【例5】【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动

13、，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。【解】对小球进行受力分析如图（b）所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有T ? sin 9 -N ? cos 9 =m 3 2r 图y方向上应有N ? sin 9 +T ? cos 9 -G=0 r = L ? sin 9 由、式可得T = mgcos 9 +m 3 zLs in 9当小球刚好离开锥面时 N=0 （临界条件）则有 Tsin 9 =m 3 2r T ? cos 9 -G=0 即小球的角速度至少为 【例6】【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需 要提供一个向心力。

14、当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高 点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。只要 做圆周运动的 速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。【解】以杯中之水为研究对彖，进行受力分析，根据牛顿第二定律 可知：恥 =m? y , 此时重力 G 与 N 的合力充当了向心九由上式可知Vj , N | ,当N=0时，v有最小值为靠艮.即若使水不掉下来则水杯在最高点的速度v必须大于廊.【例7】【分析】骑 车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜 .从图中可知，当骑 车人 拐弯而使身体偏离竖直方向 a角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的 合力Q

15、通过 共同的质心0,合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运 动所需要的向心力.【解】（1 ）由图可知，向心力 F=Mgtg a ,由牛顿第二定律有：2 2V ZH, Vmgtga = m WCL = tg-KgK（2）由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F,即f = Mgtg a【例8】【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不【解】（1）当O2A线刚伸直而不受力时，受力如图所示贝V Ficos 9 =mg Fisin 9 =mR3 12 由式（2

16、）解得5由几何知识知 RROA =R,且4'sincos6 ，8.?.R=2,4m 0=37°代入式3i=1.77 (rad(2)当OiA受力为100N时，由(1)式Ficos 9 =100X0.8=80 (N) >mg 由此知 O2A 受拉力 F2。则对 A受力分析得Ficos 9 -F2sin 9 -mg=0 Fi sin 9 +F2COS 9 = mR 3 22 由式得_ fi cos' -mg cos 6+ 耳O 8sin 6 mR1100X 0.64-20X 0.8 +100X0.6Q2X2.4474(rad / s)【例9分析激光器扫描一周的时间 T

17、=60s,那么光束在 t=2.5s时间内转过的 角度A = AX 360 °=15 °激光束在竖直平面内的匀速转动，但在水平方向上光点的扫描速度是变化的，这个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。当小车正向N点接近时，在 At内光束与 MN的夹角由45°变为30°dv 切coscos2/cos 668随着9减小，v扫在减小若45°时，光照在小车上，此时扫 v车时，此后光点 将照到车前但v打lv年不变，当v车v打时，它们的距离在缩小。解在 At 内，光束转过角度学 x=360 。15°(1)光束照射小车时 ,15°如图

18、，有两种可能小车正在接近 N点，At内光束与MN的夹角从45°变为30° ,小车走过Li,速度应为由图可知Li=d(tg45 °-tg30 )°(D由、两式并代入数值，得vi=1.7m/s (2)光束照到小车时，小车正在远离N点，At内光束与MN的夹角从45°为60°,小车走过 L2 速度为由图可知L2=d(tg60 °-tg45 )°(6)由、两代并代入数值，得V2=2.9m/s说明光点在水平方向的扫描速度是变化的，它是沿经向速度和切向速度的合速度。很多人把它理解为切向速度的分速度，即% = r? ? cos 0 =cos 6 = d0)cos y则扫描速度不变化，就谈不上与小车的“追赶” 了，将不可能发 生经过一段时间，再照射小车的问题。这一点速度的合成与分解 应理解正确。另外光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上有两种情况（见分析）