填空选择及答案

1、一.知识能力层次(一) .填空题(每空格2分)1. R2中的一组向量 =(2,5)， = (4,10)',生成的子空间设为以 ,%),则其维数为：12. 若% = (3,1,0,1), %=(0，1，0，1-幻，侬衣)是向量空间3的一个基,则V的维数是：23. 设 R3中的一组基为=(1,0,1)， =(1,1,1)', %=(1，0，o )，设 0在这组基 下的坐标为且(1,1,1)则尸为：(3,1,2)"4. 设R2中的一组基为 = (1,1)， = (0,1)',则=2,-3) 在这组基下的坐标为:(2,-5)5. 设 = (2,1, 2)， =(0,3

2、,1)， =(0,0, 2)为 R 一组基贝皿的取值情况为t丰26. 设 R冲向量： =(5, 3,2), % = (0,化 7)',%=(0,0,1)不能构成一组基，则k的取值情况为"O7. 设 IT 的两组基(1)= (1,0)，,% = (0,1)，,(H):* = (1,0)，腐=(1，1)<1 0)贝U由基到(n)的过渡矩阵为：J8. 设 R2 的两组基(1)= (1,0)' ,% = (1, 1),(H):旗=(1,1)',河=(1，2)(23 则由基到(n)的过渡矩阵为：IT -9. 设 a =(1,0,-1,2)7 贝U10. 设 a =

3、 (3,1,2,5)',乃=(2,5,4, 3)，则 * 月=迫11.设a =(2,3, 1,2), ” =住,1,5,3)，若。和尸正交，贝快=迓12R"中，向量。和任何向量都正交的充分必要条件为a_= 013口曲 I 2 z 1 已知 oc 14向量 a = (3,-1,2,5丫, 和尸=(2,5,4, 幻 T 的内积为151617设 a =(1,1,1),”=(2,1,0)',则与a, ”都正交的单位向量为：半(1,2,1)J6'2331223323为正交矩阵，则尤 =-3)327、267 为正交矩阵，则 x =-773 7_32f 77-6, 则 k=

4、92 为单位向量，则 *=± 318 为正交矩阵，则 ac +.bd=g19 设 A 为 3 维正交矩阵，则./r(AA r )=320 设 A 为正交矩阵，则|A| =.±1_(二) .选择题 ( 每小题 2分)1. 设 V 为三维向量空间 , 则 V 的二维向量空间有 (D)A:3 3:8 个个C:16 个O: 无数2.设 r 为向量空间的维 数,t 是该向量空间中向量的维数，则下列对的是： (A) C : r = t。：讶耻无关若% = (3,1,0,3)气 =(0,1,0,5) 是向量空间 V 的一个基，则 V 的维:数是(A) B:2C:30:44. R2中的两组

5、基分别为： =(角,但)， = (")', (口)： * =(q,C2)' .崖=(/,%) ，贝如)到(n)的过渡矩阵为(A)A:b?)顷2e、t0 1 0 2 ClC2si 耳？ d d 2>/ ,、TB: ex ai2 >D:hU15. 从 R2 的基 = (1,0)7，以 2 = (1,-1) 过渡矩阵为(C)r 至V基” 1 = (l,lfA = (1,2)'的B:C:(2V-D:172)2>6. R3中的两组基分别为(1)0,a2, %,():* = av/32 =%+2%月 3 =4%,则由基到(n)的过渡矩阵为(C)(1(11

6、L01±0J1002r102A120B010Cl020D010<00302<00402J050k4?k4?7.R3 中的两组基分别为(1)0, %, %,(n):* =/ +2% +3%,腐=%,” 3 =%则由基到(n)的过渡矩阵为(D)12< 1 0<1 -2 -<1 0A0、2 0B:0-2 1 0C:010D:°、2 1 00、<-3 ° b1° 0 1J<3 0 1,8. 设名=(1,-2),% =(0,1)7为112的一组基，贝U Q=(- 2,3)7在这组基下的坐标为：(B)A: (-2,3)B:

7、(-2,-1)C:(2,-l)。： (- 2,1)9. 设列向量a.p , /G RT列无意义的是(B).(a T,8 =(x,0,0)，若 a, ”为标准正交向量，贝 (C)10. 设a, 3) =(1,2,% =( 3,2,4,1)，且 1, 贝la=(C)13.设 =(1,2,2)L%=(2,1,-2)',%=(a,2,。)为 R3 中的正交向量组，贝U a,b 的值分别为 (A)11. 设名 =(2,3,1A,:24),B:-4 % =(*,1,5,3), M=(D)C:2 D:-2若 与 正交，贝C:2,l D2,112. 设 aB : x 任意 ,y = 乎D :x=l,

8、y 2A： X任意,y=-手V2C:x= + 1, y = ±2是R"的标准正交基的充要条件是(D )A:-2,-13:2,-1B. 均为单位向量C.线性无关B：3 3-D. (%,%,L ,%) = &221'2 |C:-,-D:-,14. 维列向量 ,%,L315.12为正交矩阵，贝 x,y 分别 (C设33为)_21l3333316. 上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素是（ D ）A. 1 B. -1 C. 0 D. 1或一 117. 下列结论错误的是 （B）A:两正交矩阵的积为正交矩阵3 : 两正交矩阵的和为正交矩阵C：正交矩阵的逆为正交

9、矩阵单位矩阵为正交矩阵18. 设A,B为正交矩阵，k为非零实数，P为可逆矩阵，贝U （C ）A-.A + B 为正交矩阵3: 屈为正交矩阵C: A3 为正交矩阵D : PA 为正交矩阵19. 设 A 是一个阶正交矩阵，则 （A）A. A为可逆矩阵，且A】也是正交矩阵B. A为单位矩阵，且A-】也是单位矩阵C. A为单位矩阵，且也是单位矩阵D. A为单位矩阵，且也是单位矩阵20. 设H为正交矩阵，则（C）A:H =EB：| H| = I C ：D：| H|> O（三）.判断题 -（每小题 2分）1. 若某线性空间中有无限多个向量，则该空间为无限维线性空间 . （ X）2. 只包含一个元素的

10、集合无法构成线性空间 . （ X）3. R"中任意一组线性无关的向量，都可以是 R1的基.（"）4. R"的子空间的维数必小于n. （ X）5. R"中的任意一组向量都可以生成一个 R"的子空间.（V ）6. R"的子空间以 ,?,%）维数为s. （X）7. 设和岭都为R"的子空间，贝U V1UM也为R"的子空间.（X）8. 设和岭都为R"的子空间，则也为R"的子空间.（"）9. 一个向量在不同的基下的坐标一定是不一样的 . （ X）10. 两组基之间的过度矩阵一定是可逆矩阵 . （v

11、）11. 线性空间的维数必为正数 . （X）12. R冲的基必为线性无关的向量组.（/ ）13. R"中的两组基之间的过渡矩阵是唯一的.（V ）14. R"中每个向量都可以单位化.（X）15. 设列向量a, ”，您R',则也为R'中的列向量.（X）16. 给定我 3 的一组基 ,%,%，将其化为我 3 的一组标准正交基用挪 3。则02,是唯一的。 （X）17. 对任意维向量a和们 只有a和”互为正交时，|?+<=|?| 2+|a才成 立。（" ）18. 若。，”正交，则对任意实数 a, b, 向量 aa 和正交. （”）19. 正交矩阵必是满

12、秩矩阵。（ V ）20. e !=er是阶矩阵。为正交矩阵的必要条件。（X）二. 理解能力层次（一） . 填空题（每空格 2 分）1. R4 中的一组向量 = （1,4, 1,3 ）， =（2,1, 3,1 ）， =（0,2,1, 5），生成的子空间设为 ,%,%），则其维数为 ：32. R4中的一组向量 =（2,1,0,-2/, %=（2,l,O,cose ） r,0cR ）生成的子空间设为 L （%, %）, 其维数为 ： 23. 中的一组向量 =（0,1,2 ）'， =（1,3,5 ）'， =（2,1,0 ），, 生成的子空间设为乙（ ,%,%）, 则其维数为： 24.

13、R4 中的一组向量 =（1,2,3,3 ）， , % = （0,1,2,2 “ % =（ 3,2,1, 幻，生成的向量空间的维数为2,则k取值为j.5,线性方程组2也-"+6易=0解空间的维数为：23X2 + 6X3 - 9X4 = 06. 齐次线性方程组*1 + 2勺"-°解空间的维数为：【2 尤 1 + 4X2 一 2X3 = 07. 设R2中的一组基为 =(1,3)， =(3,1),则尸=(2,-2) 在这组基下的坐标为:(-1,1)8. 设 R3 中的一组基为 = (1,1,0)， = (0,1,1)', %=(1,1,1)', 则尸=(3

14、,4,3),在这组基下的坐标为：(1,1,2),9. 设 R3中的一组基为=(1,1,1)， =(1,1,0)', %=(1,0,0)，且尸在这组基下的坐标为(2,2, 1)，则”=(1,0, 2)10. 已知 =(!，: , : ) '，% =(:, !，： ) '，% =(: , ；，!)'是 R 的一组标准正交基，向量” =(2,1,3/在这组基之下的坐标为：(+!，:)'11. 设 % =(1, 1,2,1)，,% =(0,1,1,2)， =(0,0,3,1)'。4 =( :, 1，。'为2的基则的取值范围为t312. R3 中的

15、两组基分别为(I) : %, %, %,(n) : ” | =% + %+%, ” 2 =% + %，” 3 =%则1 0 0、(1) :由基到(U)的过渡矩阵为：-1 1 0、0 T J 1 0 0、(2) :由基(U)到(I)的过渡矩阵为：1 1 0 zII 1 J(3):若口关于(I)的坐标为(1, -2, 3), 则a关于(II)的坐标为：(1,-3,5)13. 设 R'的两组基(I): &= (1,0,0), q = (0,1,0)' S = (0,0, 1)',(n)： * = (1,1,1)',河=(0,2,2), ” 3 = (0,0,3

16、) 1 0 0、贝则 由基 到(n)的过渡矩阵为：1 2 o11 2 3)油基(n)到的过渡矩阵为：J.213:若口关于的坐标为(1,2, 3),贝鸚关于(U)的坐标为：1 , ! ,v14. 1<3 中的两组基分别为(1)0, %, %,(n) :” =%，” 2 =%+%” 3 =%+%+%若。在基(n)下的坐标为(2, 3, 5),则口关于的坐标为：(10,8,5)15. 设 , %,任为R3的一组基，月在这组基下的坐标为(1,-2, 4),贝U乃在R3的另 外一组基名 +2%, %, %下的坐标为:(1,-4,4) 16.设 =(1,0)', % =(2,1)',

17、 若 a :/3 = 3, aj (3 - 4, 则” =(3,-2)' 17.设 =(1,3, 1), %=(", 2 化 1), 若%与正交，贝I k = 1 o18.设 % = (3,-1,2)0, ± I, ± 2,L,心=(sin0,2,1),若 与 正交，贝 A0 k7i,k -jr19.设 = (3, 1,2), % = (cos2,1)，若 与 正交，贝U。=万 + =0, ± I, ± 2,L 20.由R2的一组基 =(1,2)， =(3,4)，化成标准正交基为:21. 设和尸为正交的n维列向量，A-a伊，设*22,贝

18、Ur(A*j=Q22. 设A为6维正交矩阵，则?r(AA r)=624.当 x=Q y = Q'cos/30sin001§、0 为正交矩-sin/3000< 0xcos0y)且对角线上的元素是25. A 为阶正交矩阵，则1Qk上二角的正交矩阵必为对角矩阵,26. 设A,3均是阶正交矩阵，且|人| = 一阁，则|A + B|=O27. 设 a = (-3,4,0 ) ', A 为 3 阶正交矩阵，贝 iJ|Aa|=5(二)选择题(每小题2分1. 下列集合中能构成R"的一个子空间的是(B)+X+XA:V = 工 1，工 2，工 3， 了 4)' I

19、Xi 2 +-y3 4 =1B : V =|(x i,.r 2,.r 3,.r 4)r I xi +x2 + .r 3 +X4 =0C : V = (X, x, .r3, .r 4)' I %+ x, + .r3 + .r 4 =1, x, + .r 4 = 2D:V,x,X3,x 4)r I +2X2 + 3X3 +4X4 = 22. 向量空间R'的基可以取向量组(C)A:(l,l,l),(2,0, 0),(1,-1,-1)3:(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) C : (I,a,a 2y(l,b,b 2y(l,c,c pa,b,c 互不相等 0:(0,0,2),

20、(0,2,2),(2,2,2),(1,0,0)+ 2X2 - 2X3 + 4X4 = 03. 齐次线性方程组v 3X1-X2 + X3-2X4=0解空间的维数是(C)。%! + 2X2 - x 3 + 2X4 = 0A. 1B.2C.3 D.4x, +2X2 - 2X3+X5 = 04.齐次线性方程组V3也-易+ 了 3-2易=0解空间的维数是_ (B) 0x, +2X2 - x 3 + 2X4 = 0A. 1B.2C.3 D.45. EvE,E3,eaE5 是我 5 的一组标准正交基，而 or ； = £ ?+ -£, a? =ex -e ， +E4 , % = 2q +

21、玲+乌，则的维数是(C)。A. 1B.2C.3 D. 46. %, %, er ; ,%为R"中的向量，且3%+2%-%+4% =0则下列对的是：(C)A L(z p(z2) = L(cr,(z 4)B: L(a 1( a4) = L(? p a3)CLax, a 2, cr,) = L(a2, a3, (z 4)DLav a 2, %) = %(%)7. 设 , %, % 为 R3 的一组基，=%+%腐=%+% 腐=0 +。3 则(C)A:R3QL （” ,腐，腐） B：R3=L （角腐，四）33C： R =L （A, A>AD： R4_ （A, A）& = 3%+%

22、 +%8. 设 , %, %为V的向量组，设向量组<” 2=%+%则（B）” 3 = % + 3% %代L （av %, % QL （"I，” 2,四） B：L （"i ,腐说）乙（ , %, % ）C: £（?! ,%, %）=乙（"1,），腐）。：乙（"1，二，腐）匚乙（ ,%）9. 设 = （1,-2 ）, % = （0,1 ） 为R2的一组基，贝Ua =（a,。）这组基下的坐标为：（B）( 00A%)B：%<、rp -b(0C、D:（）IIL'3 1 2、10. 设矩阵A和B的列向量分别为R'的两组基，其中A

23、= 0 2 1、0 0 3,'1 0 0、B= 0 2 0 ,则下列结论成立的是：（D）项一1 3 ）A:矩阵4-3的列向量不是If的一组基B :矩阵人+ 3的列向量不是If的一组基C :矩阵4-33的列向量是R3的一组基D：矩阵A- 3的列向量是R3的一组基11. 设R3的一组基为则（A）也可以作为R3一组基代 a i2,cx1+2as, -%+2cr, 2%-6 小 +3。3B :?-2?2+2?3, _2%+4%-%, 0+2%C:2a1+4 （Z2-as, -4%+8%-2%, 3%+%D: （Z1 _2fzo+2（zs, 2%- （z, 3c?j _3fz o+2 （zs12

24、. 设列向量组 ,?,%为R的组基，A为n阶可逆方阵，则（D）A : A%, A%,，A%不是R"的向量组3 : A%, A%, . . ., A%线性相关C : A%, A%,. . ., A% 不是 R"的一组基D A%, A%,，A°是 R"的一组基13. 设If的一组基为 ,则(C)不可以作为If 一组基A : ? +%, % +% , % + % 3:%+2%, %+2%, as+2a, C : q_%, %_%, D: ax, %+%, %+%+%14.R3中的两组基分别为(1):=%+2%,腐=2%句 =3%则由基(U)到(I)的过渡矩阵为

25、:D12<1 0AO、OB:2 2 00、3o >15. A3中的两组基分别为：%，任,(-1 0、1 0 0C0-0D:-1-0220 0-0 0-LL% ,( ):艮=%+2% +3%, ” 2 二以挪 3=以 3则由基(U)到(I)的过渡矩阵为E12< 1 0<1 -2 -<10A0、0B0-2 1 0C:3、10D:0、2 100、<-3 ° b1° 0 1J<30°3)1；16.设。，Q为R"的列向量，则;:;£ =0是。，Q线性相关的(A)O:即非充要条件也非必要条件A:充要条件3:充分条件

26、C:必要条件17.下列结论正确的有(D)A: 1个 3 : 2 个 C: 3个 O : 4个(1):若。，”正交，则对任意实数a, b,向量aa和奶正交。：若/与口，尸都正交，则对任意实数 a,b, /与向量2+奶正交(3): a-P < a-y + y-/3：若A为反对称矩阵，且Aa =贝U a与尸正交18.设a为维列向量，A为R阶正交矩阵，贝l|A?|= (B)A. 1 B. |a| C. |A| D. 019. 若 A,B 为正交矩阵，则 (B)A:矩AAB,A + B正交3:矩阵A3正交,A + B非正交C:矩阵A+ 3非正交,A3正交O:矩aaB,A + B非正交20. 设 P 为正交矩阵，则 (D)A:P 为不可逆矩阵B:P 为奇异矩阵C:P 为对称矩阵O：P 的不同行的对应元素的乘积之和为零( 三 ). 判断题 ( 每小题 2 分1. 实数域R上的mx的全体矩阵所组成的集合也可以构成向量空间.(V)2. 两个向量组生成相同的子空间的充要条件为这两组向量组等价 .( V)3. 设?! , ?> am和*,切为R"中两个向量组，且( ,?,%) = (*,?,*),贝U乙 ( ,.,X)