巧用平面法向量求空间角和空间距离讲解学习

1、巧用平面法向量求空间角和空间距离平面法向量的定义为：如果 al ，,那么向量a叫做平面的法向量.除此之外再也没 有涉及其他任何知识点，笔者发现巧用平面法向量处理空间角和空间距离等问题 ，可以化繁 为简,迎刃而解现举例说明： 一、巧用平面法向量求斜线与平面所成的角方法指导：如图1,PA为平面的斜线,PO为平面的垂 线，根据定义，斜线PA与平面所成的角，二PAO, 可以转化为直线的方向向量pa与平面的法向量n的夹角的余角或其补角的余角.即如果PA与n的夹角:为锐角，则斜线PA与平面:-所成的角为;如2T -果PA与n的夹角为钝角，则斜线 PA与平面所成的角为二-.故斜线PA与平面所成角的二的正弦值

2、sin等于斜线的方向向量iPA与平面口的法向量n夹角余弦的绝对值，即 sin。= cose金题示例1:如图，在直三棱柱ABC ACi中，底面是等腰 直角三角形，/ ACB = 90°，侧棱AAi = 2, D、E分别是CCi 与AiB的中点，点 E在平面 ABD上的射影是 ABD的重心 G.求AiB与平面ABD所成角的大小.命题意图：主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查知识依托：空间向量的坐标运算、平面法向量的应用及空间想像能力和推理运算能力.GE =(3，3，3)，BD =(0,2a ,i).GE BD = -2a223=0，解得3BA =(2 ,2,2), BA= 2,-

3、2,0 , BD = 0,-2,1 .设平面ABD的法向量=x,y,Z，则:in 竺= 2x_2y = 0,于是取 n 二 1,1,2 . BD = -2 y z = 0.二 cos ： BA, n_4_H6 一 3因为A1B与平面ABD所成角V的正弦值sin V - COS ：: BA1, n-,3、42所以A1B与平面ABD所成角是arcsin3二、巧用平面法向量求二面角方法指导：因为两个半平面的法向量ni、n2的夹角等于二面角的平面角或者其补角注意结合图形观察二面角的平面角二的大小从而决定它与两个法向量夹角的关系:如果二是锐角，则cos 日=cosg n2)| =如果二是钝角，则cos

4、= - cos n., n2nin. n° rccosn2在五面体 ABCDEF 中，FA_ 平面 ABCD, AD/BC/FE , AB _ AD , M1为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= AD .2求二面角 A CD E和M AC B的大小.命题意图：考二面角等基础知识， 考查用空间向量解决立体 几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证 能力.金题示例2:如图,知识依托：空间向量的坐标运算、平面法向量的应用.解法过程:如图所示，以点A为坐标原点，分别以AB、AD、AF 为 x、y、z轴建立空间直角坐标系A xy乙设AB =1,依题意得 B 1,0,0 , C

5、 1,1,0 ,D 0,2,0 ,Eg ,1, F0 1, M! ,1, rDC二 1,一1,0 , DE 二 0,-1,1可取平面ABCD的一个法向量n =AF h0,0,i，设平面CDE的法向量up.x, y,z，则UDC=0,u DE =0.ix_y_0,令x=i，可得 u =(i,i,i, -y z =0.所以 cos ： u, n =曰 疋-，结合图形可知二面角A CD E为锐二面角,3其大小与两个法向量的夹角相等为arccos33H Tv AC 二 0, 设平面CMA的法向量v=：x,y,z，贝Uv AM =0.X y = 0,1 1c 令x = 2，x y z = 0.2 2可得

6、 v = 2, -2,2，所以 cos ： v,n 二|；_2.3 1结合图形可知二面角 M AC B为钝二面角，其大小与两个法向量的夹角互补,所以二面角M AC B的大小为arccos" 运，即禦一arccos3三、巧用平面法向量求点到平面的距离方法指导：若点P为平面a外一点，点A为平面a内任平面的法向量为 n，设点P在平面a内的射影为点0,显然, P0卞 A0,n P0 = n PA AO n PA n AO = n PA ,而n - PO=±n |P0 ，所以点P到平面a的距离为，即点P到平面a的距离为经过点 P的平面a的任意一个向量 PA在平面的法向量n上的投影的绝

7、对值.金题示例3 :在金题示例1中求点A1到平面AED的距离.解法过程：由例 1 有 A(2, 0, 0), A1(2, 0, 2), E(1 , 1 , 1), D(0, 0, 1).AE =(-1 ,1,1),ED =(-1,-1,0),设平面 AED 的法向 .上Tn AE =0,量 n 二 x,y,z ，则n ED =0._x y z = 0,H j7J疋l_x_ y = 0.令 x =1，可得 n 二 1,-1,2，又 fA= 0,0,2 ,426J6盲a1a n所以点Al到平面AED的距离d =Hn注：求线面距，面面距，可先转化为点面距，再用此法求解.利用向量方法求解空间距 离问题，可以回避此类问题中