巧用导数知识

1、巧用导数知识，妙解参数问题厦门市禾山中学林日平导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越受到高考命题专家的“青睐”。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热 点。，甚至很多省份都安排在倒数第一、二题的位置上！现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范 围的一种方法两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知解决问题的关键：分离变量之后将问题转化

2、为求函数的最值或值域的问题分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循以下结论均为已知 x的范围，求a的范围：结论一、不等式f(x)_g(a)恒成立二lf(x)lmi_g(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f (x)乞g(a)恒成立=If (x) max乞g(a)(求解f (x)的最大值).结论二、不等式f(x)Xg(a)存在解二f (x)】max兰g(a)(求解f (x)的最大值)；不等式f(x)兰g(a)存在解二f(x)】.兰g(a)(即求解f(x)的最小值).结论三、方程f(x)二g(a)有解=g(a)的范围二f (x)的值域(求解f (x)的值域)3案例1、( 2009福建卷

3、)若曲线 f(x)=axlnx存在垂直于y轴的切线，则实数 a取值范围是.1分析：f (x) = 2ax (x 0)x1 1依题意方程2ax 0在0内有解，即a2(x0)= a (：,0)x2x案例2、( 2008湖北卷)若 f(X)二1 2 :2 x bln(x 2)在(-1,+ :)上是减函数，则b的取值范围是()A. -1,二)B.(-1,二)C.(：，-1 D.(-二，-1)分析：由题意可知f (x)二+ b -xx 2-0,在X，上恒成立，即 b < x(x 2) =(x -1)2 -1 在 x 三(-1, ：)上恒成立，由于 x = -1，所以 b< -1 ,x R有大

4、于零的极值点,案例3、(2008广东卷)设a三R，若函数y = eax亠3x ,则( )A. a-3分析:f '(x)二 3 - aeax,若函数在x R上有大于零的极值点,即 f '(x)=3 aeax =0 有正13根。当有f '(x) =3 - aeax =0成立时，显然有a 0,此时x ln(),aa案例4、(2008江苏卷)设函数 f (x) = ax' -3x 1(x R)，若对于任意的x1,1】都有f(x)_0成立，则实数a的值为 解：当x=0，则不论a取何值，f x _0显然成立；331当 0：x=1 时，f (x)二 ax33x 1 _ 0 可

5、化为，a 3x x3 1 -2x4，x31,令 g x 23，则 g' x =xx所以g x在区间0,1上单调递增，在区间2-,1上单调递减,_2当 -1 乞 x：0 时，f(x)二ax3-3x 1一0 可化为 a_$4 , g' x 二 3 1 严 0 x xxg x在区间1-1,0上单调递增，因此 g X man =g -1 =4，从而a-4,综上a = 4分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类； (2)确定是求最大值、最小值还是值域 .高三复习 过程中，很多题目都需要用到分离变量的思想 ，除了基础题

6、目可以使用分离变量 ，很多压轴题 也开可以用这种方法去求解。° 2 '案例5、( 2005湖北卷)已知向量 a=( x ,x 1), a=(1-x,t)，若f(x)二ab在区间 (-1,1)上是增函数，求t的取值范围解析：232由向量的数量积疋义，f(x) = x (1 -x)+(x 1)t = - x + x + tx +12- f (x) = - 3x + 2x +1.若f(x)在区间(-1,1)上是增函数，则有 f lx) >02=t > 3x -2x在(-1,1)上恒成立.卄人，、小2小121右令 g(x) = 3x - 2x=-3(x-)-33在区间-1

7、,1上，g(x)= g( -1) =5，故在区间(-1,1)上使t > g(x)恒成立，max只需t > g(-1)即可，即t > 5.即t的取值范围是5 ,s).利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。策略二：主次元变换法案例 6、.( 2009 北京卷)设函数 f (xxekx(-0) (I)求曲线 y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；(n)求函数f (x)的单调区间；(川)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递 增，求k的取值范围分析：本题主要考查利用导数研究函数的单

8、调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I) (n)题略，对于题(川)，若借助(n)的结论入手，11须分- 一_ -1或- 一_1两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不kk妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。(川)解：由题意 f (x)二(1 - kx)ekx 一0在上恒成立即1 kx_0在x上恒成立1+0-1)30 <1J + k 1 兰 021又k = 0 k的取值范围是-1,0 U 0,1.本题通过变换主元的思想， 巧妙地应用函数的单调性， 避免了对k的讨论，简化了问题 的求解。策略三、极值法有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙

9、地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。案例7、( 07全国卷二)已知函数f(X)=X_X .(1) 求曲线y二f(x)在点M(t, f(t)处的切线方程；(2 )设a . 0，如果过点(a, b)可 作曲线y = f (x)的三条切线，证明：一a ： b ： f (a)解：(1 )略 y =(3t2 -1)x -2t3.(2) 如果有一条切线过点(a, b)，则存在t ,使b =(3t2 - 1)a - 2t3 .若过点(a, b)可作曲线y = f (x)的三条切线，则方程 2t3 -3at2 a b = 0有三个相异的322实数根记 g(t) =2t -3at a b，则 g (t)

10、= 6t - 6at = 6t (t - a).当t变化时，g(t), g (t)变化情况如下表：t(",0)0(0, a)a(a,30)git)+00+g(t)增函数极大值a+b减函数极小值b - f (a)增函数如果过(a, b)可作曲线y = f (x)三条切线,即g(t) =2t3 -3at2 a b=0有三个相异的实数根，亠a + b a 0,口口则有即a : b ： f (a).lb-f (a) cO.本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性案例8 (2009陕西卷)已知函数 f (x) =x3-3a

11、x-1,a =0 I求f (x)的单调区间；i若f (x)在x = -1处取得极值，直线 y=m与y = f (x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：(1)略(2)因为f (x)在X = -1处取得极大值，所以 f (T) =3 (-1)2 -3a =0, a =1.所以 f (x) = x3-3x T, f (x) =3x2-3,由 f(X)= 0 解得 Xi = -1, X? = 1。由(1)中f (x)的单调性可知，f (x)在x=-1处取得极大值f(-1) = 1,在X =1处取得极小值f (1) - -3。因为直线y=m与函数y = f(x)的图象有三个不同的交点，由f

12、(x)的单调性可知， m (一3,1)案例9.(2008四川卷).已知x=3函数f(x)=a ln( 1+x)+x 2-10x的一个极值点。(I)求a; (n)求函数f(x)的单调区间；(川)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交 点，求b的取值范围。分析：(I)(n)略(川)由(n)知， f X在-1,1内单调增加，在 1,3内单调减少，在 3, :上单调 增加，且当x=1或x=3时，f' x =0所以f x的极大值为f 1 =16ln2-9，极小值为f 3=32In 2-212因此 f 16 =16 -10 16 16In2-9 二 f 1_2f e -1： -321-2 1

13、 f 3所以在f x的三个单调区间 -1,1 , 1,3 ,直线y二b有y = f x的图象各有一个交点，当且仅当f 3 ：b ： f 1因此，b的取值范围为 32ln 2-21,161 n2-9。充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。策略四、零点法32案例 10、(2009 浙江文)已知函数 f(x) = x，(1-a)x -a(a 2)x b (a, b R).(I) 若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a,b的值；(II) 若函数f (x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围.解析：(I)略(n) f (x

14、)二 3x22(1 _ a)x _ a(a 2)函数f (x)在区间(-1,1)不单调，等价于导函数f (x)在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f (x)在(-1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f (_1)f ：:：0, 即：3 2(1 _a) _a(a 2) 32(1 a) a(a 2) ： 02整理得：(a - 5)(a - 1)(a -1): 0 ,解得 -5 ： a ： -1案例11、(2004新课程卷)若函数y=x3 ax2 + (a 1) x+1在区间32(1, 4)内为减函数，在区间(6, +8)内为增函数，试求实数a的取值范围.解：f (x)

15、 = x2 -ax (a -1)=(x-1)x_(a -1) 1令f (x) = 0 ,解得x=1或x=a-1，并且2,否则f (x)在整个定义域内单调。由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+ )内为增函数，可知函数 f(x)在x=1处取得极大值，在 x=a-1处取 得极小值。 4Wa-1W6得5<a<7所以a的取值范围是5,7应用函数的零点问题，解决相关的问题，也能取到意想不到的功效。策略五、构造新函数法对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等来求解，可以开拓解题

16、思路、化难为易。案例12、(2007全国卷一)设函数 f (x) = ex 一 e.(I)证明：f (x)的导数(x) > 2 ；(n)若对所有x > 0都有f (x) > ax，求a的取值范围.解: (I) f(x)的导数 f (x)二ex而 ex e" -2 ex=2，故 f (x) > 2 .(当且仅当x = 0时，等号成立).(n)法一：令 g(x)二 f (x)ax ,于是不等式f(x)> ax成立即为g(x) > g(0)成立.则 g (x)二 f (x) - a = ex e - a ,由(I)可知 g (x)二 ex e - a 2

17、 - a ,由 2 a _ 0二 a _ 2当a < 2时，g(x)在(0, 8)上为增函数， 从而有 x > 0 时，g(x) > g(0)，即 f (x) > ax .案例13、(2006全国卷II)设函数f(x)= (x+ 1)1 n(x+ 1)，若对所有的x>0，都有f(x)>ax成 立，求实数a的取值范围.解：令 g(x) = (x+ 1)ln(x+ 1) ax (x>-1 )于是不等式f(x) > ax成立即为g(x)> g(0)成立.对函数 g(x)求导数：g'x) = In(x+ 1) + 1 a令 g 'x

18、)= 0，解得 x = ea 二-1a 1当x e -1时，g'x)>0, g(x)为增函数,当1 ： x ： ea 丄一1 , g'x) v 0, g(x)为减函数,所以要对所有x> 0都有g(x) > g(0)等价条件为ea-1 K 0. 由此得a< 1，即a的取值范围是(一 8, 1.通过适时构造新的函数，简化了问题，把求参数的范围转化为函数的最值问题，对解题 起到了画龙点睛的作用。策略六、二次函数法某些函数可转化为二次函数的模型，则可利用二次函数的性质来求解。432案例 14. (2008 天津卷)已知函数 f(x)=x +ax +2x +b ( xR),其中 a,b R .10(i)当a时，讨论函数f(x)的单调性；3(n)若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围；(川)若对于任意的a，-2,2，不等式f x - 1在-1,1上恒成立，求b的取值范围.分析：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础 知识，考查综合分析和解决问题的能力.(i)略(n)解：f (x)二 x(4x2 3ax 4)，显然 x 二 0不是方程 4x2 3ax 4 = 0 的根.为使f (x)