平面向量四心问题(最全)

1、近年来，对于三角形的"四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考A .外心B. 内心C. 重心D .垂心解析：由即-''' ；1 .- 1 f'则“丨4；1 厂所以P为一二的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合三、 内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上例3已知P是厶ABC所在平面内的一动点，且点 P满足则动点P 一定过 ABCFA、重

2、心B、垂心C、外心D、内心解析：如图2所示，因为I是向量匸丄的单位向量设上-与二一方向上的单位向量Ii I+|分别为刊，又 丿-上 丄，则原式可化为 4,由菱形的基本性质知AP平分一二七L'，那么在 一匚 中，AP平分dW，则知选 B.AB点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先 MT是什么？想想一个非零向 量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了 四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线

3、 线上例4已知0是厶ABC内的一点，若 "=0占，贝U O是厶ABC的.A .重心B.垂心C.外心D.内心解析：可旨刃厲方吕秀|冼旨元刃冃方冃元由向量模的定义知0到的三顶点距离相等.故。是的外心，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念， 具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特 殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的

4、“四心”进行考查。这就需要我 们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设0, 设0,，则向量，则向量“ AB AC、()必平分/ BAC,该向量必通过 ABC的内心;AB ACAB AC()必平分/ BAC的邻补角AB AC设 0,的垂心,则向量ABAB cosBACAC cosC）必垂直于边BC,该向量必通过 ABC ABC中ABAC 一定过bC的中点，通过 ABC的重心 点0是厶ABC的外心2 2 2OA OB 0C 点0是厶ABC的重心+bOA OB OC 0点O是厶ABC的垂心OA Ob Ob Oc Oc OA点O是厶A

5、BC的内心a OA b OB c OC 0 (其中 a b、cabc 三边) ABC的外心O、重心G、垂心H共线，即OG / OH 设OABC所在平面内任意一点,G ABC的重心，I ABC的内心,则有 OG 1(OA OB OC)3OIaOA bOB cOCabc并且重心G (Xa+X b+XcYa+Y b+Y c内心IaXA+ bX b+ cXa+b+cayA+ byB+ cyca+b+c例1: (2003年全国高考题)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OP OAAB(AB AC )AB AC，0,，则动点P的轨迹一定通过厶ABC的()(A)外心(B)内心(C)重

6、心(D)垂心事实上如图设AEAB ALAB,AC都是单位向量ACETC易知四边形AETF是菱形故选答案B例2 : ( 2005年北京市东城区高三模拟题)O ABC所在平面内一点，如果OA OB OB OC OC OA，则 O 必为 ABC 的( )(A)外心(B)内心(C)重心 (D)垂心事实上 OA OB OB OC (OA OC) OB 0 CA OB 0 OB 丄 CA故选答案D例3:已知0为三角形ABC所在平面内一点，且满足0A2 2BC0b2 2 2 2CA OC AB ，则点0是三角形ABC 的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上由条件可推出 OA OB OB OC OC

7、 0A故选答案D例4：设O是平面上定点，A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足OP OAABAC0,，则动点P的轨迹一定通AB cosBAC cosC过厶ABC的（）（A）外心(B)内心（C）重心（D）垂心事实上 （ABAC)?BC ( BC BC) 0故选答案DAB cos BAC cosCOpf.OP.Op!满 足条件op1例 5、 已知向量|0P| |0| |03| 1，求证： PP2P3是正三角形. oPi i0p2i i0p3i 1，容易想到，Op1 Or； Op! 0 表明，点0是厶RP2P3的重心.分析对于本题中的条件I外心，而另一个条件OF2点0是厶PP2P3的故本题可描述

8、为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一 定是正三角形在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外 接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的.显然，本题中的条件|OF?| iOp；i iOp!i 1可改为iOP1i iOF；i iOP!高考原题例6、0是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满Op 0A足0,）.则P的轨迹一定通过厶ABC的（）.A.外心B.内心C.重心分析已知等式即aPAB(|aB| |，设D .垂心,显然aE,aF都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP为ABC的平分线，选B .例7、 A

9、BC的外接圆的圆心为0，两条边上的高的交点为H，oH m(oA oB OC)，则实数 m =分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂,更加重要的一点是缺乏几何直观.解法如下，由已知，有向量等式0 ,(0H 0A)|(0C 0B) o,将已知, 有 m(0A 0B 0C) 0A|(0C 0B)0 ,由0是外心，得(m 1)01 BC 0 ,由于 ABC将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有代 入OB2) (m 1)0m是任意三角形，则OABC不恒为0,故只有m 1恒成立.或者，过点0作OM BC与M，则M是BC的中点，有oM7H是垂心，则AH BC，故aH与0M共线，

10、设AH12koM，则0H 0A AH 0A -(0B 0C) ,又 0H m(0A 0B 0C)2(m.2，根据已知式子0H m(0A 0B 0C)中的0A 0B 0C(m 1)0A (mk0，有 m 1 m 0，得 m角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G，O是平面内任一点，均有T t T0G宁严，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图1,由图上观察，很容易猜想到HG 2G0，至少有两个产生，故可得部分，很容易想到三图1其二，点/、* 5八、猜想的诱因，其一是，BF,OT均与三角形的边AC垂直，则BF/OT ;G 是三角形的中线 BT的三等分点此时，会先猜想 BHG

11、TOG，但现在缺少一个关键的条件，即BH 2OT，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相 等可得相似.当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明.本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设 O、G、H分别是 ABC勺外心、GH= 1 : 2，利用向量表示就是重心和垂心，则 O、G、H三点共线，且 OG：OH 3oG .例8、点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足 OA|OB o|oC o|oA，则点O是ABC的（）.A.三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交占八、C三条中线的交点D 三条高的交点分析移项后不难得OB（CA Oc|ab OACB 0，点 O 是

12、 ABC 的垂心,C3推广应用题例9 在厶ABC内求一点P，使AP2小.BP CP 最分析如图2,构造向量解决取aCA量有*7Jr X设tbp4a,4XJfx2CP2彳(XJrz1 - -是詁222JraJrx时BP2 CP2 最小，此时，即 Op 1(oA oB oC),则点P为 ABC勺重心.例10已知0为厶ABC所在平面内一点，满足ioAr ibC ioBf |曲局忌，则。为mbcl bC|2 (oC oB)2 OC OB2 2O|oB , |cA|2,|aB|2 也类似展心.分析将|开代入，已知等式与例4的条件一样.也可移项后，分解因式合并化简,O为垂心.例 11已知 0 为 ABC的

13、OAsin BOC OB sin AOCOCsi n AOB分析构造坐标系证明.如图3,以A为坐标原点，B在x轴的正半轴，C在x轴的上1方.Sa aob - X2y。，直线BC的方程是2yx （X2 X3）y X23 0，由于点A与点O必在直线BC的同侧，且畑30 ，因此有Xoy3X3yoX2 yoX230，得c1 ,SA BOC2(X3y0X2 y3 X0 y3 X2 y0) 直线AC的方程是y3X X3y 0，由于点（1,0）与点O必在直线AC的同侧,y3X3 0 0，因此有孙3 X3Y0是，容易验证，Oa0，得 Sa aocSa boc OB2(X0y3 X3y。).OC Sa aob 0 ，Sa aocSa bocSa boa|sin BOC，sin AOB ，Saaoc-21|1|si nAOC，又 |OA| |OB| |oC |，则所证成立.总结：知识综述（一）三角形各心的概念介绍1、重心三角形的三条中线的交点；2、垂心三角形的三条垂线的交点；3、内心一一三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 根据概念，可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成2： 1；垂线与对应边的向量积为 0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等OA OB OC 0 ；OA OB OB OC