平面向量题型二：平面向量的共线问题

1、题型二：平面向量的共线问题1、若 A(2,3), B(x,4),C(3,y),且弗=2菖，则 x=，y=2、 已知向量 a b，且"AB = a+2b ,bC = -5s+6b ,CD =7a-2b则一定共线的三点是()A . A、B、DB. A、B、CC. B、C、DD. A、C、D3、如果©、 e2是平面a内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有()6 + ©(入氏R)可以表示平面 a内的所有向量；对于平面a中的任一向量a使a= O+叵的入口有无数多对；k,使 Aei+ pe2= k( ?Le什 p62);若向量Aie什pe?与be什e2共线则有且只有一

2、个实数若实数入口使A .Q+ p2=0,贝U 左 pO.B.C.4、右向量 a=(1,1),b= (1,-1) ,c=(-2,4)，则 G=A. -a+3bB. 3a-bC. a-3bD .仅()D. -3a+b5、已知A(2,-2),B(4,3)向量p的坐标为(2k-1,7)且 p / AB，则k的值为 ()991919A. 10B.10C. 10D. 106、已知a是以点A(3, 1)为起点，且与向量b ( 3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是7、给出下列命题：若|= I bl，则；若A，B，四点，则AB DCi则a=C :a=b的充要条件是| a|=| b|且a b ；若a b，

3、b是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;C，D是不共线的若?鳥，%=c，则 a c，其中正确的序号是.Ii4 48、平面向量a，b共线的充要条件是()f aA.b方向相同f aB.b两向量中至少有一个为零向量Jf aG 1JraLBrbD存在不全为零的实数19、如图在三角形 ABC中,AM : AB=1 : 3,AN : AC=1 : 4,BN与CM相交于点P，AB a , AC b，试用 a、b 表示 AP10已知a, b是不共线的向量，AB = 2a+ b, AC = a+ Q（入空R）,那么A, B, C三点共线的充要条件是（）A .+尸2B. 1尸1 C.入话一 1D .入话1111

4、、在？ ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD =2 DB , CD = -CA CB，则 =3“、2112(A) (B)-(C)-(D)333312、设 a、(1)若 oAb是不共线的两个非零向量，C三点共线；2a b,oB 3a b,OC =a-3b，求证:A、B、 （2）若 8a+kb与ka+2b共线求实数k的值.13如图点G是三角形ABO的重心,PQ是过G的分别交0A、OB于P、Q的条线段，且 OP mOA, °Q n°B ,( m、n R)01 13求证m n精选文本6、解:方法一：设向量的终点坐标是（x，y），则a （X 3，y1)则题意可知4(x 3)(x3

5、)23(y 1)0(y+1)2 1，解得:1218x ) x )5512 1 1819,y石或y石，故填55或53 45,51-(3,4)5，故可得与向量b （ 3,4）平行的单位向量是从而向量a的终点坐标是（x,y）a （3，1），便可得结果.方法二:归纳小结：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实 质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；Ie 1与a平行的单位向量茴.7、解析：不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.-aB dC，A |AB| |DC|且 aB/dC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，.四边形ABCD为平行四边形

6、；反之，若四边形ABCD为平行四边形，贝匚 aB/dC且|AB| |dC|，因此，AB DC.正确. a= b，. a，b的长度相等且方向相同；又b = C，. b，c的长度相等且方向相同，a a，c的长度相等且方向相同，故a = cbl不正确.当a/ b且方向相反时，即使| a|=| b|，也不能得到a=b，故|且a/ b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.不正确.考虑b=0这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是 归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘， 为此，复习时一方面要构建良好的知识结构， 另一方面要善于与物理中、生活中 的模型进行类比和联系，帮

7、助理解，加深记忆.a b8解析：若a，b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数1, 2,Jra,则由两向量共线知，存在JFa JJD1nm4raJJD得 使 o归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单， 实则处处陷阱，所以应加强对基 础概念、定理的深入理解，明确问题关键之处，体会本质.M、P、9、分析：本题是以向量为载体的平面几何题，所以我们很容易联想到点C三点在一条直线上，可用共线定理的充分必要条件求解。解 AM : AB=1 : 3,AN : AC=1 : 4,1 1 . 1 1 AM - AB - aAN _AC _b3344 M、P、C三点共线，可设MP MC( R)AP A

8、M MP la于是3MC * 宀 1MC AC AM b a312、解:证明:嵋 而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB， .AB与1 1AP(33 )a b(3a+b)-(2a-b)=a+2b.共线,且有公共端点B,.A、B、C三点共线.(2) t 8a+k与 ka+2b 共线, 存在实数 入使得 8a+kb=入(ka+2b)(8-?k)a+(k-2；)b=0,Ta与b是不共线的两个非零向量，8 X k 0,.? 8= 2X?治土 2，k 2k 0,.k= 2 X=± 4.13分析：本题是一道典型的平面几何证明，如果用平几方法则过程很复杂，如 果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多。因为注意到P、G、Q三点在一条直线上，所以我们可以考虑 PQ与PG共线，于是可以用共 线定理得方程组求解。证明：设OA aOBb则OPmaOQnbOD1(OA OB)(ab)OG2 OD1 (ab)-2233PGOG OP1(ab),1 ma (3m)a!b3即 PQ OQ OP