平面向量与向量方法的应用(竞赛辅导材料)

1、平面向量与向量的方法的应用（一）（教师版）一、用向量表示三角形的"心”（重心、内心、垂心、外心）在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c 三角形“四心”的向量的统一形式：X是 ABC的心xA xB xC引理：若X是 BC内的一点, XA xcBXscAXsBAXsXC'证明：这里只证明 Xa均为正数）作XM XA,证明点X为MNP的重心于是S XBCLsXNP以 S XBC ： S XAC ： S XAB取 S XBC，则练习:S MNP，冋理 S XACS XAB , S XBCcA .nu X 贝 s ,S MNP , S XABXAS XACXBS MNP ，

2、所iLS XBA XC 0 .1.2.S XAC ,3.sin 2A oA2 OB2 OcABC的sin 2B OB sin 2C24. H在ABC内部，贝U tan是心.I是心.O是ABC的心.ABC的ABC的心.H是ABC的心.当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法.所在直线一定通过 ABC的|ab|ac|所在直线一定通过 ABC的 AC所在直线一定通过ABC的cosB | AC I cosC代B, C是坐标平面内不共线的三点，O是坐标原点，动点A5.A6.7.8.oP丄心3心.)OA (1(1 2心.心.心.（ R ）,则点P的轨迹一定经过P满足ABC的3.外心.4.垂心（提示

3、：H为 ABC的垂心HA HB |HA| I HBIcos BHAHA HB tanC，同理 S HAC因为 H 在S HABIcosCABC内部，所以2 cosC ,所以tan B , S hbcsi n(2£0 G)HB HCtanA.又 S XBCXA Sxac xBS XBAXC 0，所以tan A HA| cos B |nC HC 0A tanBAb)| cosC).5.内心.6 .重心.|bC| |bC| 0 )7.垂心.提示：设8.重心.提示：oP 1OA OB oC (oc oa)3,10a Ob OC) (Ac BC),CD LCA CB，则 CA CB 3cP过(

4、OC OB)aP bP cPCB),即所以(CA)CD.因为oD,设贝yAB的中点，C,P,D三点共线，所以二、三角形形状的判定1. O为 ABC所在平面内一点，且满足 (OB1形状为三角形.,1. 解：由条件，得 cb'(0b OA 0c OA) 以 aB AC?，即 |；B| | AC2. 已知非零向量AB和AC(1P的轨迹一定经过 ABC的重心.)0,即0 ,则三角形| .所以 ABC是等腰三角形.满足条件(合二套-)| AB| | AC|)0,所12| AB| |0，且则ABC是2 .解：设ad 型三角形.|AB| |AB| |，则AD为 BAC的角平分线；又由 AD BC 0

5、得到AD BC，所以 AB AC .由1得到 A 60：,所以 ABC为等边三角2形.在laPA，贝U ABC的形状为中，P是BC边的中点，角A,B,C的对边分别为a,b,c ,若3解：因为P是BC边的中点，所以不共线，所以2,则AB ,所以过点D作AB的45 .AB BM1，则 DE BC .2 ,M，贝U BDM1a(AB、6 .2 22 2 21-b(AB AC) 0 ,所以(c2 2a bc0且a b 0,所以a b c,即 ABC为等边三角形.2三、向量分解问题1.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.x，y 1 .解：不妨设AB ACBD 2.由于 CA2 2垂线，与 AB的延

6、长线交于点AD xAB yAC , AB AC 1 ,若DM2 给定两个长度为 1的平面向量，它们的夹角为120 .如图所示，点C,其2y，在以0为圆心的圆弧 AB上变动.若oC xOAcos x即cos(12012x y.2cos cos(120)cos 3 sin 2sin( )2 . /. x y 的6最大值是2 .解法2:以点 O为坐标原点,B（打2 2OA为x轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，(cos).设 C(sin ,cos ),sin )x(1,0)0,牛）,由可得,3 . sin 3二x y的最大值是解法3:设 线交OB于点E ,x cosy( 2sin , x y c

7、os3cos,3 sinsiny ,22sin( )2 ,62 .AOC过点lC作OB的平行线交1及OC|OE| |DC | y ._1sin 60 si n(120)x y cos、3si n|O斗畀 Oa,Ob|OC|120：ysincos2si n(0为八、?，则x yAOB石)2x150 , CO设 OC xOA3过点C作OB的平行线交 AO的延长线于点 长线于点F ,贝UOE 6cos30'3 - 3 ,3，所以x y,O以 x 3.3 , y 3，所以 x y 3 3 3 .四、向量间的夹角（余弦值）或夹角范围问题 1.已知a , b都是非零向量， 与b的夹角.1.解：依题

8、意(a 3b)(a 4b)OA于点 xOA DOC 中， 3 . sin ,3y的最大值是AO, |0A| 1 ,过点C作OA的平行 可知，| OD | x , 由正弦定理得2 3 .ysin ,32 .|0B| 2,|0C| 3,E，过点C作OA的平行线交BO的延90：斗，所以OC30 ,且a 3b与7a(7a 5b)0,(7a 2b)0.，5b垂直，a7a27a24b与7a 2b垂直,16a30a215b0,，8b 0解得b2 2a b且a2 2a b，所以 |a| |b| 2a b，所以cos|a|b|_a_b_(、.2a b)2，因为 0,，所以 一.3是EF的中点，AB EFAEF

9、中,2A1 , BC 6, CA、33 ,【勺夹角的余弦值等于所(AB BE)AC JAB BF) 2AB BE AC AB AC BF 2 因为 ABBE BF, 设eF29311, 若 -2、33 11 BF (AC AB)| BF| | BC | cos 93.已知OFM夹角的范围是3解:1 tan33 1 362 .332 ,即即 3cos的面积为S ,2，所以I且 oF fMcos即的夹角s二,则向量2的S 1|Of | | fM |sin OFM OF FM tan oF, FM宗方込，所以7 t丄 |OF | |FiM|sin OF,7m2OF, FM 因为丄 S ，所以2Of,

10、 fm*1 tan，所以向量的夹角的范围是（_,4代B, C的对边分别为a,b,c ,重心为G ,若4因为G为 ABC的重心，所以GA GB GC 0，所以aGA bGB cGC aGA bGB c( GA GB) (a 3 c)GA (b 3 c)GB 0，因为 GA 与 GB不共线，所以cosA 1c 空2 cb罷a b c3，所以A2设AB的中点为D，则CD AB，所以平面向量与向量方法的应用（二）（教师版）一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用1如图，在ABC中，已知B于P、Q两点，贝U AB ZAC的的应用2dC , aM 3MD，过点M作直线交AB、AC1解：构造基底AB a ,

11、 aC b，则BC AC Ab b BD 2BC 2(b a) , dC 1 BC333,AD AB BD 1a 2b, AM 3AD 11 虫 ap AB a,為 ac 4b,1 4(m R)，于疋一a41m ，消去m，得4(1 m)A4因为点1b (1AM三点共线，所以124 .m)a m b .又a、b不共线,-4，所以竺AP AQ2 ABC中，D为BC的中点，E为AC边上靠近点 A的一个三等 分点，AD与BE交于点F，求： AF与FD的长度之比； BF与FE 的长度之比.b，因为D为BC的中点，所以AD三点共线，所以存在唯一实数使得AFaDa b ,2 2 -实数1a12.解：设>

12、;AF a所以.因为 A, F,D2因为B,F,E（aEAB与AC不共线，所以比较得点共线，所以存在唯（】b AF），解得AF 3.因为aF 1 ad , BF 3fE，所以圧2FD二、数量积（或模长）的取值范围（或最值）1.平面内的向O（1,1），OEBP的取值范围是223(111 ,3 .FE问题（1,1），点P是抛物线上任意一点，贝U A.1. B：由题意，可设点 P(x, x2 2) ( . 3,x BP OP Ob (X 1,X2 3)，所以 AP BP-，解得）1)，则 aP oP oA2 2 (X 1,X1) (X 1,x（X1,x4 5x弓为 x 3,1，所以 x20, 9，所

13、以 AP BP表示为关于x的函数式，针对该函数式及xt x2，则点评：将域多数情况下所得到的函数与二次函数有关，如本例令2(t 0, 9).注意从函数t x角度来确定t 0, 9,已知a、b是两个互相垂直的单位向量，且|c|任意实数t1、t2, |c t1a t2b|的最小值是 .22. 解:依题意，|a | |b| 1,且 a b 0，于是 |c t1a t2b|2t2c| c la2,128.3,1来求函数的值AP BP t2不要得出错误结论t 1,913, c5t 2则对于2 ,2 2 , 2. 2 c t| a t2 b24)144144 ,所以2t|C a2 2 2b2t1t2ab

14、t1t26t18t2169(t13)(t23、t24时上式取得等号，在长方形ABCD中，AB 乙6 , AD , O为AB的中点，若P是线段DOI 33贝y (PA PB) PD的最小值是.|OD| ,|OA|2 |ADJ 1 .| x ( 0 x 1),则 |7O| 1t2b | 12 ,当且仅当ti上动点，意PD2|PO| | PD|cos180 2x(1 x) 2(x 丄)22三、求面积比故所求的最小值为12，选C.因为£为AB匕中点，所以PA PB) PD 2PO PD1 ，故所求最小值为2x , (PA2tD1 设D ABC的边AB上一点， PABC内一点，且满足aP Ad

15、 2 bC，则 SP .5Sa abc,DP AP Ad - BC，所以 DP/BC，故 ADPi解：连PD，则B，故SAPDSABC点评：由121AB| |BC sin B扌2BC且DP与W5AD DP sin ADP3.故选A.10没有公共点推出DP/BC ,再利用同位角相等和面1积公式S -absin C而使问题简捷获解.2设O点在 ABC的内部，且有OAS AOC .2.解：延长OB至E ,使OE,延长OC至F ,使得OFOa OE oF 0，所以O为 AEF的重心显然 S AOC S AOF S AEF . 同理39S AOB SAOE S AEF , S BOC 匚 S EOF二

16、SAEF，所以 S ABC S AEF 3S AOC2661832OB，求 ABCS，则f(p)S设点P是 ABC内的一点，记NAB S ABC2,3).若S PBCS ABCS PCA 盂 3，AQ -AB -AC腹 1ab 2AC，则f(Q)3如图，AE 1AB ,3，所以AQ A2EQ / AC，所以点Q到AB的距离是点点Q到AC的距离是点B到AC的距离的丄，所以邑3S ABCS QACS ABC以2 hS ABCS ABC S QAB S QACS ABC11 1 1.所以 f (Q)(, ,). 62 6 3四、求参数或参数和的取值范围或最值是边长为1的正方形，R )，则些CB 上

17、(不含点B )OB OC OA, OD1 H -OD) 3 1 四&形 OABCOP OC OD1解：显然点P在线段.CB有可能取得最大值.因为OD(OB点共线时,1，所以大值为4 ，当P位于点3 已知点G是R )，则B时取得.ABC的重心, 的取值范围是OD 3，点P为的最大值等于 上无法取得最大值BOD内(含边界)的动点,3OA，所以OOD OB (1,由几何图形知3点P是 GBC内一点，2解：因为点 G是 ABC的重心，点 P是 GBC内一点,S PABS ABC所以 0,P到BC的距离越大,P与G场合时S PABS PAC, ,S ABCS ABC涯越大，S ABC1 13越小

18、.过点点，所以的取值范围是-，当点P在BC上时32L).2te-i占八、在线段BD上才OC OD)OD 点 B, P,D0,1，所以的最APaBAC ,PAC1而占S ABCS ABCP作BC的平行线，观察可知，当点1 .因为点P是GBC内一3.设两个单位向量 e、e2满足|0| 2、7e2与向量 te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.2 2 “3解：由条件，得 e1 4 , e2 1, e e2 2 1 cos60 1，所以1 , 6、仓的夹角为60，若向量(2te17e2)(eite2)22t 15t70解得2te' (2t2 7)e1 e? 7tef1t -，数形结合可得不等式

19、222t 15t722t 15t 70的解为1 .设 2te127e2(e1 te2)(0),因为e1、e2不共线，所以2t 且，得到14，即当22te1 7e2与向量e1te2 的夹角为故实数t的取值范围为(7,2 打.142五、平面向量与平面几何的交汇问题为,ABC的外接圆的外心、垂心,求证:证明：延长BO交 ABC的外接圆于D，连结DA, DC，则 DA ABDC/CH，OA2已知 ABC内接于iJO，AB AC，D为AB的中点, 证：OE证明：设OA a，OB b，H ,E为ACD的重心.E为ACD的重心，所以OD 1(DC DA).3,12(a2b)OD -(a b)，oE OD D

20、E2 ( |OD 1(00 OD od OB)，CD OD OC31 1b63*2t1 41 m11彳1彳OECD(；abc)(；abc)2 .632 ,2(21 21 *21-11 "I1-1彳bc-aa c-a(bcc.所以1123333(因为|a所以I24AC , OB OC , 故 OE CD .AO为BC的中垂线，所以3设向量a , b满足:|a| 3, |b| 4, a b0 .以 a , b ,三角形，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为 ，因为D为AB的中点,R)0 .所以a b的模为边长构成3解： |a| 3 , |b| 4 , a b 0 ,二 |a b|

21、.a2 b2. 32 42 5. a , b ,a b的模为边长构成三角形是一个直角三角形,其内切圆半径r1.当半径为1的圆所处的位置正好是三角形的内切圆位置时，三角形与圆只有三个交点，当圆的位置偏 离后使得三角形有两条边与圆相交时，能实现4个交点的情况，但 5个以上的交点不能实现因此公共点个数最多为 4个.精选文本平面向量与向量的方法的应用（一）（学生版）一、用向量表示三角形的"心”（重心、内心、垂心、外心）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c .三角形“四心”的向量的统一形式：X是 ABC的心xA xB xC 0.引理：若，X证明：这里只证明内I的一点，贝V S XB

22、C ： S XAC ： S XABX0 S XBC ,: S XAC : S XAB ,:j (,XP XC，则 XM XN XP 容易 S 1 |XB|XC|sin BXC .MNP的重心于是匹 1，所以sxnp 1|xN |XP|sin NXP均为正数）.作XMXA, XN证明点X为S XBCLSS XNPS MNP ,冋理S XACS MNP , S XABS XAB , S XBCXaS XACXBS MNP ，所XC 0 .以 S XBC j S XAC j S XAB取 S XBC，则S XAC ,4. H在 ABC内部，贝y tan是ABC的心.S XBA心.H是ABC的心.AB

23、C的心.H是ABC的 当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法.Ac.所在直线一定通过 ABC的心.A心.|ABI |AC|AC所在直线定通过ABC的心.7.|aB| cosB所在直线一定通过ABC的心.8.已知OP扣(1 2A, B,C是坐标平面内不共线的)OA (1 )oB点，0是坐标原点，动点P满足R)，则点P的轨迹一定经过 ABC的心.0 ,则三角形二、三角形形状的判定1. 0为ABC所在平面内一点，且满足形状为三角形.2.已知非零向量和aC满足条件则ABC是三角形.P是BC边的中点，角A,B,C的对边分别为a,b,c ,若，贝U ABC的形状为.三、向量分解问题两块斜边长相等

24、的直角三角板拼在一起.若yAC，贝H x , y RD2.给定两个长度为1的平面向量0A 和 oB女如图所示xOA y(C在以0为圆心的圆弧 其中x, y R，则x,它们的夹角为AB上变动若y的最大值是xOA.0为AOB 150 , COy .AO,|0A|«1, |OB|四、向量间的夹角(余弦值)或夹角范围问题1.已知a , b都是非零向量，且 a 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a 与b的夹角.AEF中 是EF的中点，AB EF2，则 与1 , BC6, CA .33 ,3.已知夹角的范围是A, B, 则 A的夹角的余弦值等于OFM的面积为S ,且11,若-C的对边分别为a, b, c ，重心为G ，若平面向量与向量方法的应用（二）（学生版）、平面向量基本定理与向量共线定理的应用2DC ,1 如图，在 ABC中，已知B3mD，过点M 作直线交 AB、AC于P、Q两点，则ABAP2ACAQA2 ABC中，D为BC的中点，E为AC边上靠近点A