用几何画板做数理实验

1、上篇用几何画板做数理实验图图图我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。案例一四人分饼有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平均分给四个人，应该如何分思路：这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。方案一：画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部分面积相等，（其实四个三角形全等）。如图。方案二：四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形面积相等，可以得出四部分面积相等，如图。用几何画板验证:第一步：打开几何画板程序，这时出现一个新绘图文件。“新绘图”，也可以新建一个绘图文件。说明：如果几何画板程序已经打开，只要由菜单“文件”第二步：（1）在工具箱中

2、选取“画线段”工具;（2）在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段。如图。注意：在几何圆板中，点用一个空心的圈表示。第三步：（1）选取“文本”工具；（2）在画好的点上单击左键，可以标出两点的标签，如图：注意：如果再点一次，又可以隐藏标签，如果想改标签为其它字母，可以这样做：用“文本”工具双击显示的标签，在弹出的对话框中进行修改，（本例中我们不做修改）。如图图在后面的操作中，请观察图形，根据需要标出点或线的标签，不再说明第四步：（1）再次选取“画线段”工具，移动鼠标与点A重合，按左键拖动画出线段AC;（2）画线段BC,标出标签C,如图。注意：在熟悉后，可以先画好首尾相接的三条线段后再图图图标上标

3、签更方便。第五步：（1）用“选择”工具单击线段AB,这时线段上出现两个正方形的黑块，表示线段处于被选取状态；（2）由菜单“作图”“中点”，画出线段AB的中点，标上标签。得如图。注意：如果被选取的是点，点的外面会有一个粗黑圆圈。在几何画板中，选取线段是不包括它的两个端点的，以后的问题都是这样，如果不小心多选了某个对象，可以按Shift键后用左键再次单击该对象取消选取。第六步：用同样的方法画出其它两边的中点。得如图。技巧：最快的方法是：按住Shift不放，用“选择”工具分别点击三条线段，可以同时选取这三条线段，再由“作图”“画中点”（或按快捷键Ctrl+M）,就可以同时画好三条边的中点。第七步：用

4、“画线段”工具连结DE、EF、FD,得如图：技巧：画线段的另一方法，在保证画线工具出现的是“画线段”按钮（不必选取）的前提下。选取两点后，由菜单“作图”“画线段”，（或按快捷键Ctrl+L）,可以画出连结两点的线段。本例最快的做法：1、选取“画点”工具，按住Shift键不放在工作区中画三个点，这时三个顶点都保持选取状态2、按Ctrl+L,可以同时画出三条边并且三边同时被选取；3、按Ctrl+M,可以同时画出三边中点且三中点同时被选取；4、按Ctrl+L,可以同时画出小三角形三条边，标上标签即可。面积 ADF = 0.77 cm2C图第八步：（1）按住Shift键不放，用“选择“工具选取点A、D

5、、F;（2）由菜单“作图”“多边形内部”填充多边形内部；（3）保持内部的选取状态，由菜单“度量”“面积”，可以量出ADF的面积，如图。面积面积面积面积图第九步：（1）用同样的方法，填充并度量三角形BDE、ECRDEF;（2）选取DEF的内部，由菜单“显示”“颜色”，选择其它颜色，如蓝色，得到如图。注意：在制作过程中，要经常保存文件，以免因意外原因造成文件丢失，以下每一个例子都是这样，不再加以说明。归纳结论：拖动顶点A、BC中的任一个，可以改变三角形的大小和形状，请观察不同情况下，四部分的面积是否总是相等这样做可以完成分饼的任务吗说明：这是通过实验来验证数学规律，不能保证结论一定是正确，一般来说

6、，有一些结果经过了人类的长期实践，大家都公认了它的正确性，这时会把这个结论作为公理直接使用；而大多数情况下，实验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么，实验有什么用呢实验可以帮助我们认识规律，更容易接受知识，并且常常可以让我们找到解决问题的方向。练习：1、对于方案二，四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题，四等分线段可以用哪些方法2、为了方便在改变等分的份数（例如要分成五份）时方法仍然能用，这里介绍利用平行线等分线段的方法把一条线段四等分。D第一步：（1）选取“画射线”工具；（2）移动鼠标到与点A重合，按住左键拖动，画出一条以点A为端点的射线AD,得如图。第二步：（1）选取“画点”工具，移动鼠

7、标到射线在靠近点A处单击画出一个点E,得如图；（2）按彳3EShift键不放，用“选择”工具，依次选取点E,由菜单“变换”“标记向量A-E”。说明：标记了一个向量后，可以在后面的平移变换中按这个向量来平移，保证出现若干段相等的线段，标记向量时，一定要注意选选择点的先后顺序。第三步：（1）用“选择”工具选取点E,由菜单“变换”“平移”，在弹出的对话框中点“确定”即可得一点E'（2）选取E做同样的操作可以得E，这样做下去，直到得到你想要的若干段相等的线段，这里是四段，如图。第四步：（1）连结BE'E'、E由菜单"作图行线，如图。（2）同时选取线段 BE'l

8、/E、“平行线”，画出了一组平图第五步：（1）用“选择”工具单击平行线和AB相交处，得到三个四等分点；（2）选取所有平行线、射线AD及AD上的点（除A外），由C菜单“显示”“隐藏对象”，可以隐藏制作过程中的辅助线。得如图。以下只要连结点C和三个四等分点就行了，注意：在最后结果中不需要看到的对象，一般是把它隐藏，如果你选取后删去了它，你会发现你要的四等分点也会消失，这是因为这些点是受辅助线控制的，隐藏的对象只是看不到，但它仍然起作用。隐藏和删除是不同的。如有问题，请到几何画板分版，下载案例一的练习供参考。3、自己比较一下这两种方法，在只需要四等分的情况下，哪种方法方便，在需要其它等分的情况下,哪

9、种方法更具有一般性图案例二三角形的内角和现有一块三角形的木板，用来制作一个半圆形的木盖，请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。思路：以三角形较短一边的一半为半径，以三个顶点为圆心画弧，得到三个扇形后拼成半圆，如图:图那么，如何知道拼成的一定是一个半圆呢下面用几何画板做一个实验来说明。方案：画一个三角形；量三个内角的度数；用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的三角形，总有内角和是1800,那么说明拼成的一定是一个半圆形。用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板绘图文件。画出三角形ABC第二步：（1）选取“选择”工具，按住 Shift不放，依次选取点B、A、C; （2）由菜单中的“

10、度量”“角度”，量出/ BAC的度数，用同样的方法度量其它两个角。如图说明：由于每个人画的图不同，度数不一定和图一样）。注意：选一个角的关键是角的顶点要第二个选。第三步：由菜单“度量”“计算”弹出一个计算器，依次点击 “/ BAC=”、“+”、“/ABC*" “+”、"/ ACBn、“确定”，如图。说明：“/ BAC=”在本例中是“/ BAC="，这里用省略号表示，是因为每个人画的图不同，量出的度数有可能不同，以后类似的问题都这样来表示。技巧：弹出计算器的方法有：（1）由菜单“度量”“计算”；（2）双击工作区中的任一度量值， 如“/BAC="；（3）在工

11、作区中击鼠标右键，由“度量”“计算”。fBAC = 45.0?上 ABC = 74.6?ACB = 60.4?上 BAC = 45.0?工 ABC = 74.6?上 ACB = 60.4?上 BAC + 2 ABC + 上 ACB = 180.0?归纳结论：请按要求操作后填写下表:序号操作现象三个角的和等于1观察/BAC=/ABC=/ACB=2用鼠标拖动其中一个顶点改变三角形变成钝角三角形/BAC=/ABC=/ACB=3用鼠标拖动其中一个顶点改变三角形变成直角二角形/BAC=/ABC=/ACB=4用鼠标拖动其中一个顶点任意改三个内角的和总是变三角形的形状三角形的内角和总是一如有问题，请到几何画

12、板分版，下载案例二供参考。练习：1、自己画一个凸四边形，度量它的内角，计算内角和，验证凸四边形的内角和是3600。如有问题，请到几何画板分版，下载案例二练习1供参考。2、用“选择”工具同时选取点A、B,由菜单“度量”“距离”，可以度量出线段AB的长度，请你用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”。如有问题，请到几何画板分版，下载案例二练习2供参考。案例三最佳行走路线思路：把人所处位置看作一个点，公路看作一条直线，行走的路线看作线段，由垂线段最短可以找到最佳行走路线。方案：画一条直线，过直线外一点引直线的垂线段和斜线段，度量线段的长，动态验证垂线段最短。用几

13、何画板验证：第一步：新建一个几何画板绘图文件。'；C第二步：（1）按住工具箱中的画线工具不放，在弹出的工具条中选取“画直线”工具，按住鼠标左键拖动画出一条直线；（2）用“画点”工具在直线外画一点，如图。第三步：（1）按Shift键，用鼠标选取点C和直线AB,（不要选取点A和B）;（2）由菜单“作图”“垂线”，画出了过点C垂直于AB的直线，如图00AB说明：虽然点A、B在直线AB上，但选取直线时并没图有选取直线上的点，在后面的学习中，如果要求选取直线、线段、圆等对象，这时不要把对象上的点也选取，除非特别指明要选取这些点。第四步：（1）用“选择”工具单击垂足处，定义出垂足，C标上标签D;（

14、2）选取垂线CD冲要选取点CD）、点A、B,由“显一jD示”“隐藏”，把选取的对象隐藏，用“文本”工具在直线上点一下，标出直线的标签j;（3）选“画线段”工具，连结线段CD,如图。说明：点A、B是控制直线AB的点，通过拖动这两点，可以改变直线的方向和位置，一般情况下，如果不想再改变直线的位置，或不再画其它线经过这两个点，可以在制作完成后把它隐藏。第五步：（1）选取“画线段”工具；（2）移动鼠标到点C处，按下左键拖动，当鼠标位于直线j上时松开，如图。技工5:CE是直线j的斜线段，所以要保证一个端点是C,另一个端点E只能在直线j上移动，怎样才能保证呢，在画图的过程中，移动鼠标到点C时，注意观察状态

15、栏中有“从点C”，这时按下左键可以保证一个端点为C,移动鼠标到直线j时，状态栏中有“到点位于直线j”时松开，这样点E一定在直线上，不能拖到直线外。在几何画板中，状态栏的作用非常重要。第六步：同时选取点CD,由“度量”“距离”，量出CD,同理量出CE,如图。归纳结论：拖动点E在直线j上移动，观察CD与CE的大小，什么时候CE=CD除了这个位置外的其它位置CD与CE哪一个比较大以上操作说明：从直线处一点引直线的所有线段中，最短，因而最佳行走路线是走点到直线的垂线段。如有问题，请到几何画板分版，下载实例三供参考。练习：1、在图的基础上，增加一个点F,通过度量/CDF、/CER如图，拖动点E,观察什么

16、情况下两个角相等，除了CD外，CE在其它位置能和直线j垂直吗CD=1.68cmCE=2.16cm43FjDE图如有问题，请到几何画板分版，下载案例三练习供参考。案例四横梁有多长如图，一个三角形屋架，屋面的宽度是 13米,立柱长5米，那么横梁有多长图思路：这是直角三角形中应用勾股定理的问题，那么，是不是任意的直角三角形三边都有这种关系方案：大家都已经证明过勾股定理，但现在我们用不同的方法来重新认识一下这个老朋友。用几何画板画一个直角三角形，度量三条边，计算两直角边的平方和，计算斜边的平方，不断改变图形的大小形状（但保持直角不变），验证定理是否总是成立。用几何画板验证:第一步：新建一个几何画板绘图

17、文件。第二步：在工作区中画一条线段AB,如图。第三步：（1）按住Shift,用“选择”工具选取点A和线段AB;（2）由菜单“作图”“垂线”，作出点A垂直于线段AB的直线。如图注意：不要选另外一个端点B,那样过B点也会有一条直线与AB垂直，本例中我们不需要同时画两条垂线。技巧：只有这样画的图才能在你拖动点改变图形的大小和形状时总是保持垂直的关系，如果只是画出一条自己看上去“垂直”的直线，就不能在改变形状时保持垂直关系。第三步：（1）选“画点”工具；（2）移动鼠标到垂线上单击，如图图注意：观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击，这样画的点永远位于直线上，不会拖到外面。第三步：（1）选取垂线CD,由

18、“显示”“隐藏直线”，把垂线E1藏；（2）用画线段工具画出线段AC、线段BC,如图。技巧：最后的图中应该是线段，但为了保证变化过程中保持垂直关系，必须先画辅助垂线，最后在不需要时把它隐藏。第四步：用“文本”工具单击三角形的三边，得到如图mA所示，第五步：用“文本”工具双击标签n,在弹出的对话框中作如下改动：如图。1改这性为a?帮助X取消（使用下标b = 1.39 cmBc = 2.70 cm a = 3.03 cmb = 1.39 cmb2 + c 2 = 9.20 cm 2 a2 = 9.20 cm图用同样的方法改j为c改m为b,如图。说明：这样做是为了照顾我们的数学习惯，或者是题目本身的要

19、求，这种改点或线的标签的方法，在操作过程中会经常用到。第七步：同时选取线段a、b、c,由菜单“度量”“长度”，可以同时量出三条边的长度，如图第八步：弹出计算器，依次点击“b=”、“人”、“2”、“+”、“C=”、“人”、“2”，然后按“确定”，可以计算出b2+c2的值；同样可以算出a2的值，得到如图，说明：这里“人”表示乘方运算。归纳结论:序号操作现象b2+c2与a2相等吗1观察b2+c2=a2=2用鼠标拖动点B到另一位置。b2+c2=a2=3用鼠标拖动点B到另一位置。b2+c2=a2=4任意拖动三角形顶点改变直角二角形的形状，结论b2+c2_a2可以看到，总是有两直角边的平方和等于斜边的平方

20、，本例中的横梁用勾股定理算得一半为12米,全长为24米。如有问题，请到几何画板分版，下载实例四供参考。练习：1、量出直角三角形的两锐角的度数，验证直角三角形的两锐角互余。如有问题，请到几何画板分版，下载案例四练习1供参考。2、学画一个矩形，先完成本例到第三步得图，这里只是把原来的点C改成了Do(1)选取点D和线段AB,由“作图”“平行线”，画出过D平行AB的直线；(2)选取点B和直线AD,同样画出过点B平行于AD的直线；(3)用“选择”工具定义出第四个顶点，标记标签为C;如图(4)隐藏三条直线，画出线段AD、DC、CB,即得矩形ABCD,如图。说明：拖动点A、B可以改变矩形的大小和位置并可以旋

21、转一定的角度；拖动点D只能改变矩形在纵向上的大小，拖动点C不会改变矩形的大小，但可以改变矩图 1-4-13形的位置，但无论如何改变，这个图形一定是矩形，你可以通过度量角和边来证实这一点。3、先画出如图1-4-14的图形，然后用类似于第2题的方法画一个平行四边形,图1-4-14案例五三角形的高三角形的高可能出现在哪些位置思路：应该对于直角、锐角、钝角三种不同类形的三角作不同的回答。我们可以动方案：如果用笔在纸上画图，只能三种类型中各画一个图来说明，现在借助几何画板,态地改变三角形的形状，使不同类形的三角形的高可以动态改变。用几何画板验证：第一步：（1）选取“画点”工具画三个点；（2）选取“画直线

22、”工具后，什么都不用做；（3）选取“选择”工具，在屏幕上拉一个虚线框框住画好的三点；（4）由菜单“作图”“画直线”（快捷键是Ctrl+L）,可以画出过这三点的三条直线，标上标签，如图。技巧：（1）如果要选取的对象比较多，可以用“选择”工具在工作区中拉一个虚线框框住这些对象，这时可能会多选了一些你并不想选的，可以按Shift键后，单击该对象取消选择状态；（2）上面第二步选“画直线”工具的操作会影响菜单中会不会出出“画直线”的选项，如果你没有做这一步，菜单中通常出现“画线段”，也就是说，几何画板中的有些菜单命令和按钮的显示状态是相关的。口 AFE0口D DBD C图第二步：过点A作直线BC的垂线，

23、并单击垂足，定义出垂足D,用同样的方法作出垂线BE和CF,如图，第三步：按住Shift键，用“选择”工具选取所有的直线，注意不要选到点；由菜单“显示”“隐藏直线”，可以隐藏所有直线，得到如图第四步：（1）同时选取点A、B,（2）选取“画线段”工具，然后按Ctrl+L,画出线段AB;（3）用同样的方法画出线段BCACAD、BE、CF,得到如图。技巧：上面说Ctrl+L是画直线，但当你先画了“画线段”的工具后，它的功能会自动变边画线段。注意：为什么不一开始就画三条线段组成三角形呢这是本例的要点，因为如果一开始画的是线段，点D、E、F被定义为垂线和线段的交点，如果你拖动三角形变为钝角三角形，垂线和线

24、段没有交点，这样会导致有两条高消失。现在的点D、E、F分别是垂线和直线的交点，再拉动三角形成钝角三角形时，高不会消失。第五步：（1）拖动点A,使/ACB变成钝角，（如图）；（2）选取点C和D,按Ctrl+L,画出线段CD;（3）保持线段CD的选取状态，由菜单“显示”“线型”“虚线”，改CD为虚线，符合通常的习惯，用同样的方法画线虚线段CE第六步：拖动点A使使/ABC变成钝角后用同样的方法作出虚线段BF。最后完成图归纳结论;序号操作三角形三条高的三条高（或高的延长线）交于,点吗1观察2用鼠标拖动点C到另一位置。使4ABC仍为锐角三角形，再观察，3用鼠标拖动点A到另一位置。使4ABC变为直角三角形

25、，再观察，4用鼠标拖动点A到另一位置。使/ABC为钝角，再观察结论三角形的三条高或高的延长线.如有问题，请到几何画板分版，下载案例五供参考。练习：观察三角形的三条中线，三条角平分线的位置关系。其中画中点的方法：选取线段，由菜单“作图”“中点”（或按Ctrl+M）可以作出线段的中点,接着就可以画中线了；画角平分线的方法：如按Shift,依次点选点B、A、C,可以作出/BAC的平分线，确定角平分线和对边的交点后，隐藏角平分线，再连出线段就行了。1、请自己画一个三角形作出它的三条中线，然后按要求填写实验报告。序号操作三角形三条中线的位置三条中线交一点吗1观察2用鼠标拖动点C到另一位置。使4ABC仍为

26、锐角三角形，再观察，3用鼠标拖动点A到另一位置。使4ABC变为直角三角形，再观察，4用鼠标拖动点A到另一位置。使/ABC为钝角，再观察结论三角形的三条中线.如有问题，请到几何画板分版，下载案例五练习1供参考。2、请自己画一个三角形，作出它的三条角平分线，然后按要求填写实验报告。序号操作二角形二条角平分线的M二条角平分线交占吗八、J1观察2用鼠标拖动点C到另一位置。使4ABC仍为锐角三角形，再观察，3用鼠标拖动点A到另一位置。使4ABC变为直角三角形，再观察，4用鼠标拖动点A到另一位置。使/ABC为钝角，再观察结论二角形的二条角平分线.如有问题，请到几何画板分版，下载案例五练习2供参考。案例六挂

27、画的学问要把一幅画挂在墙上，画的上下边框要和横梁平行，左右与立柱的距离相等，应该如何钉上挂钉图思路：这个问题可以转化为和线段的垂直平分线有关的问题。方案：挂绳拉紧后，挂点到像框边框两端的距离应该相等，考虑到平行和等距的条件，只要横梁的中垂线与边框中垂线二线合一就行了，所以只要画横梁的中垂线，把挂绳的中点定位在横梁中垂线上即可。下面验证“线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等”。用几何画板验证：第一步：画一条线段AB。如图AB图第二步：（1）用选择工具选取线段AB,（2）由菜单“作图”“中点”（快捷键是Ctrl+M）,画出线段AB的中A°C点C,如图如图注意：不要多选其他对象，如果

28、你多选了其他对象，“中点”这个选项是灰色的不可用，一般来说，只要选择的对象不符合要求的条件，就不可能使用相应的菜单项。第三步：（1）用“选择”工具按住左键拉一个框经过点C和线段AB（但不要框住A、B两点），这样可以同时一，,A选取点C和线段AB,（2）由菜单“作图”“垂线”，C画出过点C垂直于线段AB的垂线，即是线段AB的垂直平分线。如图图注意：如果你画的图不是这样，过点A或B也有了垂线，那是因为彳多选了点A或点B。第四步：选取“画点”工具，在中垂线上画一点，标记为P,如图Q-第五步：（1）画出线段PA、PB;（2）选取点P、A,由菜单“度量”“距离”，量得PA,同样量出PB。第六步：（1）同

29、时选取点P和中垂线；（2）由菜单“编辑”“操作类按钮”“动画”，在弹出的对话框中，设置如图图这样在屏幕上会出出一个“动画”按钮，当双击这个按钮时,点P会在直线上双向地移动。便于我们动态地观察。最后结果如图。注意：不要多选其它对象，这里只需要点P在中垂线上运动。归纳结论:序号操作现象结论（是否相等）1拖动点P到另,位直，这时PA=PB=PAPB2拖动点P到第二个位置这时PA=PB=PAPB3拖动点P到第三个位置这时PA=PB=PAPB4双击“动画”按钮，点P在AB的中垂线上不停的运动，PAPB结论只要点P在线段AB的中垂线上，实验过程中PAPB.如有问题，请到几何画板分版，下载案例六供参考。练习

30、：1、我们将在前面作图的基础上，进一步验证等腰三角形、等边三角形的一些性质。第七步：（1）选取垂直平分线，将它隐藏;（2）画出线第八步：用量距离的方法量 AC、BC,量/ PAB /PBA、/APR / PCB / APC / BPC的度数，得到如图。芝动画|PA = 3.17 cmPB = 3.17 cmAC = 1.47 cmBC = 1.47 cm£ PAB = 62.47?/ PBA = 62.47?上 PCB = 90.00?/ APC = 27.53?/ BPC = 27.53?上 BPA = 55.06?序号操作现象结论归纳结论:段PCo得到如图。1用鼠标拖动（或双击动

31、画按钮）不断地改变点P位置。PA和PB总是相等吗PAB是三角形。2/PAB和/PBA总是相等吗等腰三角形的两底角3/PCB总是等于90度吗PC是等腰三角底边上的4AC和CB的长总是相等吗PC是等腰三角形底边上的.5/APC和/BPC总是相等吗PC是等腰三角形顶角的.结论等腰三角形的两底角,底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线.也可以拖动使/APB=600,再观察边角的变化。如有问题，请到几何画板分版，下载案例六练习1供参考。2、学画一个菱形，接第1题，先画出如图的图形，由于点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA=PB（1）选择线段AB,由“变换”“标记镜面，标记AB为镜面，线段上出现闪烁后

32、消失的两个方框。说明：标记镜面后，一个对象如果关于这个镜面反射，这时就好象人照镜子一样，人离镜面近，人像离镜面也近，用数学的说法，镜面就是对称轴，反射可以得到对称点或对称图形。技巧：标记镜面的另两种方法：（1）直接双击直线（线段、射线）；（2）选取直线（线段、射线）后用快捷键Ctrl+G.(2)同时选取点P、线段PAPC、PB;(3)由“变换”“反射”，得到如图。(4)用“文本”工具改各点标签为你想要的，例如得图。说明：在几何画板中，画特殊四边形的方法不只一种，但不管用哪种方法，都要符合图形的几何关系，也就是当改变大小了位置时，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。如有问题，请到几何画板分版，下载案例六

33、练习2供参考。案例七抽水房的位置在一条河的同一旁有两个村庄A和B,现在要在河边建一个抽水房，应该建在什么位置，才能使所用的水管的钱最少图思路：用钱最少，一般要求所用的水管最短，转化为数学问题，即是在表示河流的直线上找一个点C,使AC+BC最小。方案：作点A关于河流的对称点A',连A'B交河流于C,计算AC+CB在河流上另取一点D,计算AD+DB,通过拖动点D在直线上移动，验证AC+CB最小，从而说明C为最佳点。用几何画板验证:第一步：（1）画出表示村庄的点A、B;（2）画一条直线表示河流，隐藏直线上的两个点，设置直线的标签为A“河流”，如图。说明：标签可以用中文表示，这种技巧常

34、用来标注点或向河流图线等对象的功能，例如：给某一点标上“拖动我改变图形”。第二步：（1）选取表示河流的直线；（2）由菜单“变换”“标记镜面”，直线上出现闪烁后消失的两个方框。第三步：（1）选取点A,由菜单“变换”“反射”，B得点A关于直线（河流）的对称点；（2）用文本工具A.标出标签，默认的是字母A',得到如图A'图第四步：（1）用“画线段”工具连结A'B;（2）用“选择”工具在线段和河流相交处单击，作出线段和河流的A'交点，标出交点的标签C,如图。第六步：（1）同时选取点 A、点C; （2）AC = 0.45 c m A'C = 0.45 c mAD

35、=0.89 c m A'D = 0.89 c m图以直接选取线段AC,（不要选取点A、C）,“度量”“长度”，但这样的方法无法直接量出图中CB的长，还要进一步作图。AC = 0.45 c m A'C = 0.45 cm AD =0.89 c m A'D = 0.89 c mAD + DB =.52 c mAC + CB = 1.37 c mA'D + D B =1.52 c mA'C + CB =.37 c m第七步：（1）调出计算器；（2）依次点击“AC=”、“+”、“CB=”、“确定”，可以计算出AC+CB的值；（3）同样去计算A'C+CBA

36、D+DB、A'D+DB,拖动到适当位置得到如图。归纳结论:（一）序号操作现象D点是否是最佳点1观察AC+CB=AD+DB=2拖动点D远离点C,上面的两个和差距变（大或小）3拖动点D靠近点C,上面的两个和差距变（大或小）4拖动点D与点C重合，上面的两个和结论以上现象说明，只有取点处，才能使所用的水管最短，（二）序号操作现象有无相等的关系1观察AC+CB=AC+CB=AD+DB=A'D+DB=2拖动点D远离点C,AC+CB=AC+CB=AD+DB=A'D+DB=3拖动点D靠近点C,AC+CB=AC+CB=AD+DB=A'D+DB=4拖动点D与点C重合，AC+CB=A

37、C+CB=AD+DB=A'D+DB=结论以上现象说明，研究AC+CBAD+DB的关系，可以转为研究A'C+CB和A'D+DB的关系，而这个关系可以简单地用三角形的两边之和第三边来说明。如有问题，请到几何画板分版，下载案例七供参考。练习：画一条直线，在直线的一旁画一个三角形，标记直线为“镜面”（即对称轴），选取三角形的全部（包括顶点和边），“反射”出它关于直线对称的图形，1、用鼠标拖动改变三角形的形状，体会“对称的图形是全等形”，2、连结对称点，通过过量角和量线段，体会“对称点的连线被对称轴垂直平分”。如有问题，请到几何画板分版，下载案例七练习供参考。案例八选择厂址如图，

38、河南区新建一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为300米，在图上标出工厂的位置，并说明理由。比例尺是1:20000图思路：这里可以把桥看作是一个角的顶点，河岸和公路分别是角的两边，问题转化为：在角平分线上找一点，使它到顶点的距离是300米。方案：（1）画出角的平分线，以顶点为圆心；（2）为半径画圆，定义圆与角平分线的交点即为所求。用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板文件。第二步：选“画射线”工具，画一个角，如图。第三步：（1）用“选择”工具依次选取点B、A、C;（2）由菜单“作图”“角平分线”，画出了/BAC的平分线，如图。第四步：用“画点工具”在角

39、平分线上画一个点，标出标签。得到如图。第五步：（1）用“选择”工具同时选取点D和射线AB;（2）由“作图”“垂线”，画出过点D垂直于射线AB的直线；（3）用“选择”工具单击垂足处，定义表示垂足的点，并用“文本”工具标上标签；（4）选取画好的垂线，把它隐藏，并用“画线段”工具画出垂线段DE,用同样的方法画出垂线段DF,得到如图第六步：（1）选取点D和射线AD,（2）由“编辑”“操作类按钮”“动画”，在弹出的对话框中设置点D在射线AD上双向慢速运动。得到如图。第七步：度量出/AEH/AFD,线段DE、DF,最后的结果如图。操作验证：双击“动画”按钮或用鼠标拖动点D移动,第八步：在工作区中画一条线段

40、GH,量出距离，通过调整G、H的位置，使 GH=O如图说明：取GH=因为比例尺是 1: 20000 0DE =1.27 c mGH =1.50 c mCkGAZAE D =90.00?EAFD =90.00?DF =1.27 c mCDB可以发现DE、DF总是分别垂直于角的两边，并且DE=DF,这说明了我们要找的点可以定位于角平分线上。第九步：（1）同时选取点A和线段GH（不要选点G和H）;（2）由“作图”“以圆心和半径画圆”，得到一个以点A为圆心，半径是的圆；（3）用“选择”工具单击圆与角平分线的相交处，定义出的交点I即为所求。如图第十步：（1）选取圆把它隐藏；（2）度量AI;（3）选取点I

41、和射线AB,由“度量”“距离”，可以量出点I到射线的距离，同理量出点到角的另一边的距离，如图由图可知，点I为所求的点。说明：本例是为了帮助学习角平分线的有关作图，复习角平分线的性质，所以设计了较多的步骤，如果只是为了解决问题本身，可以在画AI=1.50cmGH=1.50cm距离（I至-B）=0.98cmG0°H距离（I至OAC）=0.98cm好角平分线后转入第八步，可以快速确定出点I。如有问题，请到几何画板分版，下载案例八供参考。练习：1、如图是两个互为邻补角的角，分别画出它们的角平分线，验证所画角平分线的关系。图如有问题，请到几何画板分版，下载案例八练习1供参考。2、验证平行线的性

42、质第一步：（1）画一条直线；（2）在直线外画一点。如图。CJQ第二步：（1）选取点C和直线AB;（2）由“作图”“平行线”，得如图第三步：画第三条直线和这两条平行线相交,如图最后完成请自己度量同位角、内错角，同旁内角，计算同旁内角的和，拖动点改变图形，验证平行线的性质。如有问题，请到几何画板分版，下载案例八练习2供参考。在古建筑中，常可以看到这样的窗格，如图，这其中有案例九古建筑的窗格什么数学知识呢思路：外圈是一个矩形，相当于连结矩形四边的中点，得到一个四边形，再连结它的四边的中点。方案：（1）先画一个平行四边形，顺次连结四边中点，再顺次连结所得四边形四边中点，度量三个四边形的四边和一个内角，

43、此步可以用来说明“顺次连结平行四边形四边中点得到什么样的图形”；（2）通过拖动点的位置，使最大的四边形的一个内角的度数为900,这时可以观察里面的两个四边形,、“顺次连结菱形四边中点得到什么样的图此步可以说明：“顺次连结矩形四边中点得到什么样的图形”形”；(3)继续拖动点的位置，保持最大四边形的内角是900的前提下，使它的邻边相等，这时最大的四边形是正方形，此步可以说明：“顺次连结正方形四边中点得到什么样的图形”。用几何画板验证：第一步：画一个平行四边形，(1) 先画好线段AB、BC;(2) 分别过点C作线段AB的平行线，过点A作线段BC的平行线；(3) 用“选择”工具定义得交点D,如图。第二

44、步：(1)隐藏直线AD、DC;(2)连结线段AD、DC,得如图。注意：隐藏直线日不要误选点A、D、C,这三点不能隐第三步：(1)选取平行四边形的四边，由“作图”“中点”，画出四边中点，用线段顺次连结；第四步：(1)同时选点A、B, 由“度量”“距离”，量出AB的长，用同样的方法量出每 个四边形的四条边；(2)按住Shift,依次选点 D、A、B,量出/ DAB,同样量/HEF、/ KLI;得如图。LI = 1.23 cm ij = 1.02 cmKJ = 1.23 cm lk = 1.02 cm/KLI = 64.91?AB = 2.46 cm BC = 2.04 cmDC = 2.46 cm

45、 AD = 2.04 cmHE = 1.22 cmGF = 1.22 cmEF = 1.90 cmHG = 1.90 cm/DAB = 64.91?图/HEF = 101.76?(2)再选取所连四条线段，同样定义中点，顺次连结，如图。归纳结论：(1) 拖动点C改变平行四边形ABCD的大小和位置，可以看到ABCD总是平行四边形，四边形EFGH是，四边形IJKL是,说明顺次连结平行四边形的四边中点，所得的图形是.(2) 拖动点C,使/DAB=90这时ABCD是形，四边形EFGH，四边形IJKL是。说明顺次连结矩形四边中点得,顺次连结菱形四边中点得.(3) 拖动点C,保才DADAB=900,同时使A

46、B=AD,这时ABCD是形，四边形EFGH是,四边形IJKL是。说明顺次连结正方形四边中点得。如有问题，请到几何画板分版，下载案例九供参考。练习：1、(1)画一个四边形，顺次连结四边中点，如图，看得到的GFEH什么样的图形，请度量GFEH的边长来说明；(2)拖动点A成图位置，GFEH还是平行四边形吗(3)拖动点A成图位置，GFEH还是平行四边形吗B图以上操作说明：四条线段首尾相接如有问题，请到几何画板分版，下载案例八练习1供参考。菱形、正方形2、更深入的探究：顺次连结什么样的四边形的四边中点可以得到矩形、(1)连结得正方形。-oaC B第一步：画一条线段，AB,在AB上画一点C,如图第二步：用

47、“选择”工具双击点C,标记点C为中心,下面将要进行的旋转是绕点C进行的，技巧：标记一点为中心的另两种方法是(1) 选取一个点，由“变换”“标记中心”；(2) 选取一个点，按快捷键Ctrl+F。B'第三步：选取点A、B,由“变换”“旋转”，在弹出的对话框中设置如图：得到如图。图A'说明：这样做的目的是保证两条线段垂直且相等。二 B"第四步：选取点A'、B',由“变换”“平移”，在弹出的对话框中做如图设置，得图。图oB'A''A'oB说明：如果我们直接由刚才的四个点连结得四边形,得到一个梯形，平移的目的在于，平移后A”B”仍

48、垂直且等于AB,但四边形不再是梯形，这时可以得到一个比较一般的四边形。第五步：隐藏A'、B',连结AA“、A”B、AB“、BB”，如图。第六步：作四边形各边中点，连结如图。以下请自己度量DEFG的四边和一个内角，通过拖动点C改变图形，只要四边形的对角线垂且相等，顺次连结四边中点所得图形是。（2）自己画两条垂直但不相等的相交线段，以它们为对角线画出四边形，看看顺次连结四边中点得什么样的图形。（3）画两条相等但不垂直的相交直线，以它们为对角线画出四边形，看看顺次连结四边中点得什么样的图形。提示：在第（1）小题中旋转时不要转900,改为其它度数即可。如有问题，请到几何画板分版，下载案

49、例八练习2供参考。案例十成功之路不只一条以几何画板为工具，你会用多少种方法来画一个正方形思路：无论你用什么方法，你必须保证这样的结果，画好的正方形在改变大小和位置时，仍然是一个正方形，也就是说，“四边相等”、“四个角是直角”、“对角线互相垂直平分且相等”这些性质仍然保持。下面给出一些方案，如果你能看懂，自己完成，否则请参考后面的详细步骤：方案一：（1）画一条线段；（2）作出线段的中点；（3）标记中点为“中心”；（4）选取线段和它的两个端点，由“变换”“旋转”，在弹出的对话框中设置“按90度旋转”；（5）连结旋转后两条线段的端点。方案二：（1）画一条线段；（2）标记线段的一个左端点为“中心”；（

50、3）选取线段和右端点，按上面介绍的方法把它们旋转90度；（4）标记右端点为“中心”；（5）选取线段和左端点，按上面的方法旋转-90度；（6）连出第四条边。方案三：（1）画一条直线，在这条直线上画一点；（2）过这一点画已知直线的垂线；（3）以垂足为圆心画一个圆；（4）定义出圆和两条直线的交点；（5）顺次连结四个交点，隐藏不需要的对象。方案四：（1）画一个圆，标记圆心为中心；（2）;在圆上画一点，选取这个点，由“变换”“旋转”，设置旋转90度，这时得到另一个点；（3）保持新得到的点的选取状态，把它又旋转90度，得到第三个顶点；（4）连结四个顶点，隐藏不需要的对象。在这里提出你的新方案：以上四种虽然

51、都能画出正方形，但画好的四边形在控制大小和位置时有的比较方便，有的不是很方便,请自己比较哪些方案比较方便。用几何画板验证：-OGACB图 1-10-1方案一的验证第一步：画一条线段AB,作出它的中点C,用“选择”第二步：选取点A、B和线段AB,由“变换”“旋转”，在弹出的对话框中设置“按90度旋转”，如图。工具双击点C,点C被标记为中心，如图。BB'QiHOACBA'图第三步：改标签为我们常用的，如图。第四步：最后连结得如图。说明：拖动点C或A可以把正方形“摆正”图方案二的验证：用几何画板学习到现在，相信大家会有一个感觉，几何画板中为什么不能直接画出矩形、正方形等特殊图形，其实

52、是可以的，但是这个功能需要自己把画图的过程保存为一个记录文件，然后在“对象参数设置”面板中设置好使用记录文件的路径，这时工具箱中会多出一个按钮»,可以通过这个按钮调用记录文件，这时可以快速画好一个特殊的图形。如何制作一个记录文件：第一步：（1）新建一个几何画板文件；（2）选取“文件”“新记录”，这时窗口变成如图。左边是绘图窗口，右边是记录窗口，图注意：绘图文件是扩展名是.gsp,记录文件的扩展名是.gss。第二步：点一下记录窗口中的“记录”，按钮，记录窗口变成如图。图第三步：点击“绘图”窗口，在窗口中画一个线段，如图。第四步：（1）用“选择”工具双击左边端点，标记此点为“中心”；（2）选取右边的端点和线段，由“变换”“旋转”，在弹出的对话框中设置“按90度旋转”，得如图。第五步：（1）用“选择”工具双击右边端点，标记此点为“中心”；（2）选取左边的端点和线段，由“变换”“旋转”，在弹出的对话框中设置“按一90度旋转”，得如图。第六步：（1）连出最后一边；得图；（2）单击“记录窗口”中的停止按钮，结束记录的录制；（3）在保持“记录窗口”是