用函数的观点看方程跟不等式教学设计资料

1、用函数的观点看方程与不等式教学设计观美中学张少青函数和方程，函数与不等式，它们是几个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程；一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数。许多有关方程、不等式的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也可以用方程和不等式的方法解决，用函数的观点看方程与不等式，是学生应该学会的一种思想方法。【教学目标】1、理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，会根据一次函数的图象解决方程与不等式的求解问题。2、学习用函数的观点看待方程与不等

2、式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。3、经历方程和不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。【教学重点】一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、方程组的关系的理解。【教学难点】对应关系的理解及实际问题的探究建模。【教学过程】一、创设情境同学们，你们熟悉龟兔赛跑的故事吗？（请一学生简述）请看屏幕，从图象上看出这是几百米赛跑？表示兔子的图象是哪一条？兔子什么时候开始睡觉？什么时候乌龟追上了兔子？由两条直线的交点坐标来确定相应的两个解析式组成的方程组的解，实际上，一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存。它与我们以前学过的一元一次方程，一

3、元一次不等式，二元一次方程组有着必然的联系。今天我们将研究用函数的观点看方程与不等式。（设计意图；一、以学生熟悉的龟兔赛跑故事引入，然后用函数图象形象说明了它们赛跑的过程，把一次函数与学生之间的距离拉近了。二、点明学习本节内容的必要性：（1）函数与方程、方程组、不等式有着必然的联系；（2）用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该掌握的思想方法。）二、探讨1、我们先来看下面的两个问题有什么关系：（1）解方程2x+20=0.（2）当自变量为何值时，函数y=2x+20的值为零？问：对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同的地方？从问题的本质上看，（1）和（2）有什

4、么关系？作出直线y=2x+20，看看（1）与（2）是怎样的一种关系？（设计意图：用具体的问题作对比，帮助学生理解；让学生在探究过程中理解两个问题的同一性。）揭示归纳：（1）和（2）实际上是同一个问题。由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a、b为常数，a*0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值。2、以下两个问题是不是同一个问题？（1）解不等式：2x-4>0（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0?问题：你如何利用图象来说明（2）？（3） “解不等式2x-4

5、<0”可以与怎样的一次函数问题是同一的？怎样在图象上加以说明？（设计意图：当y取值从等于0变成了大于0，响应的x值也由一个值变成了一个范围；如何从图象上看，对学生来说需要思维的跳跃，这里安排（3）是及时的，使学生对y<0时x值的确定有进一步的理解。）归纳：由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，aw0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围。三、试试1、以下的两个问题是同一个问题厅P方程或不等式问题一次函数问题1解方程7x+5=02当x为何值时，函数y=3x-6的值大(小)于0?32、

6、作出函数的y=-2x-5的图象，观察图象回答下列问题:(1) x取何值时，-2x-5=0?(2) x取何值时，-2x-5>0?(3) x取何值时，-2x-5<0?(4) x取何值时，2x5<3?四、应用1、用画函数的方法解不等式5x+4<2x+10解法1:原不等式化为3x-6<0,画出直线y=3x-6,可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0,所以不等式的解集为x<2.解法2:将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10,可以看出，它们交点的横坐标为2,当x<2时，对于同一个x

7、,直线y=5x+4的点在直线y=2x+10上相应点的下方，这是5x+4<2x+10,所以不等式的解集为x<2.强调：虽然像上面用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要。2、一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时问计费。如何选择收费方式能使上网者更合算？分析：计费与上网时间有关，所以可设上网时间为x分，分别写

8、出两种计费方式的函数模型，然后再做比较。你能用两种方法解决吗？（设计说明：本例不仅仅是一次函数与二元一次方程组的关系的应用，而且，涉及到数学建模及一次函数与方程不等式之间的关系等问题，是本节内容的集中体现，是对一次函数与方程不等式关系的综合应用。）3、新龟兔赛跑：兔子失败后吸取了教训，分析了失败的原因是因为自己太轻敌，太骄傲了，准备争口气回来。这次举行的是100米赛跑，兔子让乌龟先跑30米，然后自己才开始跑，已知乌龟每分钟跑10米，兔子每分钟跑15米，（列出函数关系式，作出函数图象，观察函数图象）回答下列问题：（1）何时乌龟跑在兔子前面？（2）何时兔子跑在乌龟前面？（3）兔子是否能追上乌龟？什么时候？（4）谁先跑过