论文多项式环的性质

1、摘要本文主要以多项式环的运算性质为基础,讨论了多项式环的一些重要的性质.通过推广,得出了幂级数环的一些性质.关键字：环上一元多项式环；环上多元多项式环；幂级数环ABSTRACTThis article mainly discusses some important nature of the polynomial ring that is based on the operational properties of it.By means of generated, we can obtain the nature of infinite polynomial with coefficient

2、s in a ring.Key words：Polynomial with coefficients in a ring with one variable；The polynomial with coefficients in a ring with variables；Infinite polynomial with coefficients in a ring 目 录第一章引言1第二章一元多项式环32.1一元多项式环的定义32.2一元多项式环的运算6第三章环上多项式的性质93.1环上的一元多项式的性质93.2环上多元多项式的性质123.3环上幂级数环的性质13第四章总结17参考文献19致

3、谢21第一章引言多项式是代数学中所研究的基本对象之一,它不但与高次方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到.但我们一般对多项式的讨论,总是在一个预先定的数域作为前提.数学渐渐进步,我们发现可以对若干不是数的事物,用类似数的普通计算方法来加以计算,我们后来碰到的环就是其中一种.由此我们便可以把数域上的多项式推广到任意环上的多项式,从而得到一类特殊的多项式环上多项式.对环上多项式定义加法和乘法两种运算,由环定义,我们可以得到一类特殊的环环上多项式.在抽象代数中,多项式环推广了初等数学中的多项式.一个环上的多项式环是由系数在中的多项式构成的环,其中的代数运算由多项式的乘法与加

4、法定义.在数域上,多项式在加法适合交换律、结合律,对乘法适合交换律、结合律和消去律,同时乘法对加法适合交换律.在环上,多项式对以上定理基本上成立,但乘法交换律和消去率在环上不成立.如果环是一个有单位的交换环,那么交换律在环上是成立的,可消去律是不成立的.幂级数是多项式的延伸,是把多项式从有限项扩展到了无限项.环上多项式与数域上多项式存在许多相同和不同之处,同样,环上幂级数与数域上幂级数存在许多相同之处.在本文中,重点讨论了环上多项式的一些特殊的性质.第二章 一元多项式环2.1一元多项式环的定义定义2.1.1 设是一个数域,是一个不定元.下面的形式表达式（其中属于,且仅有有限个不为0）称为数域上

5、的一个不定元的一元多项式.数域上一个不定元的多项式的全体记作.下面定义内加法、乘法如下：加法 设则定义为和的和.乘法 设令定义为和的乘积.容易验证,上面定义的加法、乘法满足如下运算法则：(1) 加法有交换律：；(2) 加法有结合律：；(3)称为零多项式,满足；(4),都有逆元,使得；(5)乘法有交换律：；(6)乘法有结合律：；(7)称为（乘法的）幺元,使得有；(8)加法与乘法有分配律：；(9)乘法有消去律： 如果且,那么.定义2.1.2连同上面定义的加法与乘法,称为数域上的一元多项式环.下面我们把数域上的多项式扩广到任意环上的多项式.设是一个含有单位元的可变换环.又设是的子环且,现考察中含及任

6、取一元素的最小子环：显然每个.定义2.1.3 如上形式的每个元素都叫做上关于的一个多项式,而每个都叫做该多项式的系数.下面我们希望能将做成一个环.事实上(是的一个子环), 定义规则如下:(当), 必定假设 .其中 又 可知 确定是一个环. (是含和的最小的子环)定义2.1.4 如果上方得到的环叫做上的的多项式环.显然是的一个子环,但中每个多项式的表达形式未必唯一.譬如,设,而. 那么 中的零元. 的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:,但系数不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对做如下的讨论.定义2.1.5 设和如前所示,称为的一个未

7、定元(超越元),若在中找不到不全为零的元素 使( 即 ) .否则称为上的代数元.习惯上,记上的未定元为.有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式的其他运算问题.2.2一元多项式环的运算设是有单位元的交换环,是一个不定元,形如的元叫做环的一个多项式,其中,是非负整数.为了表示这种和是有限元的,也可用下式表示：,其中规定,将环上的所有一元多项式构成的集合表示为,并定义如下加法和乘法：对于这样的定义加法与乘法运算具有如下一些性质：（1）加法适合交换律,即对,必有.证明：设,则,；由于环对于加法来说是一个加群,所以,故.（2）加法适合结合律,即对,必有.证明：设,则,由于环对于加法来说是一个加群,所以

8、,故.（3）乘法适合交换律,即对,必有.证明：设,等式左边中次幂项系数为：,等式右边中次幂项系数为：.因为环适合交换律,所以,故.（4）乘法适合结合律,即对,必有.证明：设,等式左边中次幂项系数为：,因此左边次幂项系数为：；等式右边中次幂项系数为：因此右边次幂项系数为：,与左边的次幂项系数一样,所以左边等于右边,这就证明了乘法满足结合律.（5）乘法对加法适合结合律,即对,必有.证明：设,由乘法和加法的定义,等式左边中次幂项的系数为,同样,等式右边中次幂项的系数为,所以.但是环上的多项式和数域上的多项式也存在许多不同之处,例如：环上的多项式对乘法不适合消去率.集合中的元素,对于上面定义的加法和乘

9、法运算,显然是一个环,我们称它为环上的一元多项式环,记作.第三章 环上多项式的性质一般环上的多项式是不可逆的.本章将探讨一类非整环上的可逆多项式存在问题,也讨论了有限项多项式环上以及无限项的幂级数环上的性质.3.1环上的一元多项式的性质首先,我们称中次数为零的可逆元（即的可逆元）为平凡可逆元,次数不为零的可逆元为非平凡可逆元. 我们先叙述一个后面将多次用到的事实.定理3.1.1 设是一个有单位元1的交换环.是的一个幂零元,那么是中一个可逆元,并且由此推出,环的幂零元与可逆元之和是的可逆元.证明：若引理显然成立.假定必有某正整数,使.由初等数学知,有如下两种情形: 1)若为偶数,那么有 2)若为

10、奇数,那么有无论哪种情形,右边的因子都不等于零.又由于是交换的,故为可逆元. 下面证明第二个断言.由于是交换的,故易知中可逆元与幂零元之积是幂零元,可逆元与可逆元之积是可逆元.令是中一个可逆元,于是是一个幂零元.按前证,是可逆元.所以是可逆元,即证明了可逆元与幂零元之和为可逆元.定理证毕.定理 设是中的一个多项式.那么,在中可逆的充分必要条件是为中的可逆元,为幂零元.证明：如果是中的可逆多项式.设它的逆为不妨假定于是有因为是不定元,由定义得我们对使用归纳法证明b.当为0时,因为 假定对的一切自然数都有.考察乘积中的次项的系数,我们有等式两端乘以,因为是可交换环,由归纳假设,可得.,从而由上面等

11、式的最后一项得.所以对于一切自然数,都有成立,特别的,当时,就得.已有,知为可逆元.同时也是可逆元.即有存在,于是由上面最后的等式知,从而与为幂零元.令,这是一个可逆元与幂零元的和式,故知为可逆元.但,与上面证明为幂零元的过程完全一样,在为可逆元的条件下可以证得为幂零元,如此逐步证明下去,我们就得到都是幂零元. 反之,假定在中,为可逆元,为幂零元,那么,因为都是幂零元,由引理,显然易得多项式是可逆的,即充分性得证.这个定理指出了,一类有幂零元零因子的非整环上的多项式环,可能有非平凡的可逆多项式.定理同时给出了一个在这种环上的可逆多项式的判别法则. 下面我们给出一个例子. 考虑剩余类环,这里为整

12、数,是互不相等的素数,为整数. 若,则为可逆元.为幂零元的充要条件是可写易知中幂零元的个数是. 如果,那么中仅有个幂零元,没有其他非零的幂零元,为整环.我们考虑为非整环的情形. 若对某中有非零的幂零元,由前面我们证明的定理知.中有非平凡的可逆元(多项式),这些可逆多项式形如其中,即是中的可逆元,是中的幂零元. 特别值得一提的是,当时,中次数不高于一个定数的一切可逆元关于此环的乘法作成一个有限群.读者可自行验证之.回到开头提出的问题.若是一个整环,那么,上不定元的多项式环中的可逆多项式就是中的可逆元素即中的“零次”多项式.因此时中仅有唯一的幂零元0.于是我们直接得出与通常整环上相一致的结果.定理

13、3.1.3多项式是幂零的当且仅当它的所有系数都是幂零的.证明：（1）先证“充分性”.我们易证,如果是幂零元,则也是幂零元.是幂零元,显然是幂零元,则有是幂零元.令,则也是幂零元,那么必为幂零元.依此类推可知是中的幂零元.（2）再证“必要性”.是中的幂零元,那么也是中的幂零元,因为是幂零元,则也是幂零元.所以可以推出是的幂零元. 下面我们给出一个可逆多项式的判别法则.首先约定,后面提到的多项式的系数环,乃指有单位元的可交换环,不论其有无零因子.定理是的零因子当且仅当有中的非零元,使得.证明：（1）先证“充分性”,显然成立.我们来证明必要性.（2）“必要性”.考察最低次得多项式,使得.由于,由定理

14、3.1.2可知,可以推出；否则将是次数小于的零化的多项式,这就矛盾.由及可得.于是得到.否则将是次数小于的零化的多项式,这也矛盾.依此类推可得：由于,故中必有一元素不为零,令,由前边的证明可知：.所以令,就有.推论环是整环当且仅当是整环.3.2环上多元多项式的性质同环上一元多项式一样,环上的多元多项式也具有一些类似的性质.设是可变换的幺环,而是的子环且.现任取中个元素,我们可以依次做如下工作:首先作上的的多项式环,再作上的的多项式环 ,最后作上的的多项式环其中,其中, 系数只有有限个.定义3.2.1 上述描述的每个称为上的的多元多项式,而每个叫做的系数.习惯上,上的的多项式环写成.对于多元多项

15、式环中加法和乘法的运算为:()()() 其中,定理是中的幂零元,那么的常数项必为幂零元.证明：为的常数项,那么且.因为为中的幂零元,则存在,使得,即.由展开可知,的展开式中只有为常数项,于是,为含有不定元得所有项.若,则必有,所以必为幂零元.3.3环上幂级数环的性质在以上章节中,我们讨论了有限项的多项式,下面我们来讨论项数无限的幂级数环的性质.定义设是有单位元的交换环,是一个未定元,系数取自环的幂级数有如下表达式：其中是环中的元素,是非负整数,上式也可表示为,并规定.在环中所有的幂级数构成的集合,并定义如下加法和乘法：定义所有系数在环上的幂级数全体构成的集合称为上的幂级数环.同环上多项式一样,

16、环上幂级数也具有一些类似的性质,设是有单位元的交换环,而是系数属于的一个未定元幂级数环.令,定理若是中的可逆元,则是的可逆元.证明：把变成的形式,则.因为是中的可逆元,我们用待定系数法来求一个使得.设待定,则方程组：可逐次求出.所以存在.故当,为中的可逆元时,是的可逆元.定理如果是的幂零元,那么对于一切,都是幂零元.证明：因为是的幂零元,则存在,使得,则,所以是幂零元.于是可以得出也是幂零元.又因为,因此也必为幂零元,故可以得出是幂零元.依此类推可得都是幂零元.第四章 总结本文从一般的数域上的多项式出发,经过推广,得出在环上的多项式,并通过对环上的多项式定义加法和乘法,得出了环上的多项式环.我

17、们也进一步讨论了多项式的运算性质.而在有单位的交换环上,环上多项式环具有许多与其它环不同的性质,本文着重讨论了具有单位元的交换环上的环上多项式的一些特性.本文首先讨论的是有限项的多项式环,并将其推广至无限项的多项式环上幂级数环.同有限项的多项式一样,环上幂级数也具有一些类似的性质.我们根据环的幂零元与可逆元之和是的可逆元,得到了的可逆元和幂零元存在的条件.数域上的多项式环和环上的多项式环存在着许多不同的性质,同样,有限项多项式和无限项多项式也存在着很多联系和区别,这些联系和区别都有待于我们进一步思考.参 考 文 献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）M.高等教育出版社,1988.2张禾瑞. 近世代数基础M . 北京: 高等教育出版社, 1978.3周伯勋. 同调代数M. 科学出版社,1997.4 李正师. 多项式代数M. 山东人民出版社,1981.5范崇金. 近世代数基础M. 哈尔滨工程大学出版社,2008.6辛林. 近世代数 M . 北京:当代中国出版社, 2000.7高绪珏. 近世代数M. 沈阳:辽宁人民出版社, 1985.8吴品三. 近