复习事变实变函数卷

1、诚信应考,将带来严重后果！华南理工大学期末实变函数-A试卷注意事项：1.2. 所有3请将密封线内各项信息填写清楚； 请直接答在答题纸上；形式：闭卷；4. 本试卷共四大题，满分 100 分，时间 120 分钟。一、多项选择题（4×3 分=12 分）1.设 E 是孤立点集，则（）。C. E' I E = fA. E ' = fB. E £ ÀD. E = E02. 设fn (x)是可测集 E 上的简单函数列， lim fn (x) = f (x), x Î E ，则（）。n®¥A. f (x) 是 E 上的简单函数； B.

2、 f (x) 是 E 上的可测函数；C. f (x) 是 E 上的可积函数。3. 设 f (x) Î R，则 F (x) =f (t)dm 是 a, b上的（xò）。a,bA. 绝对连续函数4. 设S1 U S2 是可测的，则（aB. 有界变差函数）。C. 单调函数A. S1 ， S2 均可测；B. 又若S1 可测，那么S2 可测；C. 又若mS1 = 0 ，那么S2 可测； D.又若S1 可测， S1 I S2 = f ，那么S2 可测。二、简答题（2×6 分=12 分）1. 试问 Cantor 函数q (x) 是否是有界变差函数？ 是否是绝对连续函数？x

3、42;F(x) = q (t)dm 是否是绝对连续函数？（说明理由，不必证明）a1学院专业座位号 内 不 答 题 ) 线 封 线 专业座位号)题号一二三四总分得分评卷人2. 叙述可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛、近一致收敛的定义，并说明它们之间的关系。（不需证明）三、下列命题是否正确？若正确给出证明；若不正确举出反例。（5×7 分=35 分）1.设 E 是 有 界 可 测 集 ， f (x) 在 E 上 可 测 ,j(x) Î LE , g(x) Î LE ，j (x) £ f (x) £ g(x), a.e.于E, 则 f (x) 

4、6; LE 。2.设 f (x) = 0, a.e.于a, b，则f (x) Î Ra,b 且f (x) Î La,b 。2学院专业座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 封 线 3. 设 f (x) Î BVa,b ，则$g(x) Î ACa,b ，使得( f (x)- g(x) = 0, a.e.于a,b。'设 A Ì R1 ，则 A =À Û mA = 0 。4.01, (x, y)Î D5. 设 D = (x, y): x ÎQ, y ÎQ， f (x, y) = ì

5、;í，î0, (x, y)Î R2 - D则(L)dvò0f (x, y)+¥+¥du = (L)duò0f (x, y)dv = 0 .+¥+¥òò00四、证明题（共 41 分）1 nx ln x dx = 0 .ò1. 证明lim(R)（8 分）1+ n x2 2n®¥03 学号学院专业座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 密 封 线 2. 设 f (x) Î L ，E = x Î E;f (x) ³ n2，证明：(

6、1) lim mE = 0 , (2) lim n2mE = 0 .Ennnn®¥n®¥（10 分）ò3.（1）设 f (x) ³ 0, x Î E, "n ³ 1, limfn (x)dm = 0 ，则 fn (x) ¾¾®0, x Î E .（5 分）mnn®¥E（2）若p (x) Î ACa,b ，则 f (x) Î ACa,b .（6 分）4学院专业 ( 密 封 线 内 不 答 题 )专业座位号答 题 ) 封 线 封 线4.设 f (x) 是 E 上的实值函数，若"d