能控性及能观测性

1、第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲)内容介绍：能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，是回答：“输入能否控制状态的变化”及“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。”一、能控性定义及判据给出一个多变量系统（多输入、多输出）y1：ymu1：upG(s)若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系统G由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到

2、任意指定状态。这说明： 输入对状态的控制能力强，反之若G的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就无法利用控制使这个状态变量发生变化。说明输入对状态控制能力差。可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。1 定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（）（）和定义在上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。则称系统在时刻是状态能控的。 如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。Ex: 考查能控性？状态变量图（信号流图）： EMBED Equation.3 u y 2由于u的作用只影响不影响，故为不能控。某一状态不能控，则称系统不能控。2判

3、据：对线性定常系统=Ax+Bu，若对某一时刻能控，则称系统完全能控。=Ax+Bu y=cx设：p输入、m输出 、给出一定理：由=Ax+Bu所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为下列n×np阵的秩等于n。=B AB 称为能控性阵。换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n。定理证明可参考书。 状态完全能控称“（A，B）能控”例： 则系统为二阶 ，n=2B AB = rankB AB=2=n秩的确定：最高阶不为0子式的阶次 可知：系统的状态能控，称（A，B）能控信号流图： 2 1 3u1,u2均对x1,x2有影响顺便：计算的行数小于列数的矩阵的秩时，应用下列关系

4、较方便： rank()=rank()为方阵其秩计算较简单。利用判定能控性方法被广泛采用。新出现的PBH秩检验法也可用于能控性判别。PBH秩检验法：系统能控的充分必要条件是：rank B =n。 式中为A的各特征值。Ex: |lI-A|=（l-1）（l-2）（l-3）l1=1，l2=2，l3=3 而 rankB lI-A=rankl3=3时，rankB ,lI-A=2<3系统不能控。3. 能控性的不变性及第二判据能控性不变性：系统的状态经线性变换其能控性不变。具有能控性前述：第一种判据使用方便，但如果系统状态不能控，难以找出究竟哪个状态失控。第二判据可以给出回答。结论（第二判据）： 具有互

5、异特征值的系统其状态完全能控的充分必要条件是经非奇异变换化为对角型时，对应输入阵无全零行。亦：式中阵不含元素全为零的行换言之，中全零行对应的状态就是不能控状态。当系统具重特征值，且每个重特征值只对应单一约当块时，系统状态能控的充要条件是经非奇异变换化为约当型时，输入阵中与约当块末行对应行无全零行。 亦： 上式中每个约当块的最后一行对应的阵中的各行元素不全为零。若重特征值不对应单一约当块时，则该特征值所对应的状态能控的充要条件是相重特征值的每个约当小块最后一行对应的阵中的各行线性无关。Ex: 可见，此为约当型，状态能控。（注：每个特征值对应单一约当块。）特征值=4（二重）对应的约当块最后一行对应

6、中第二行为全零行。可见：不能控。又： （注：特征值对应非单一约当块）中相关行线性无关时能控否则不能控。4 输出能控性类似可定义输出能控性，并给出判据。输出能控的条件为：的秩为m。举例：由第二判据，判定能控性。解：1）、求P特征值=-5、=1求(IA)之第一行代数余子式组成之代数余子式2）、B= 出现全零行，故系统第二状态应不能控。 1 U 1 5可见：u能控制ex3 求对应的特征向量，构造P阵 EMBED Equation.3 可见：中与约当块对应行出现全零行与能控性相关可以证明：具有能控标准型的系统一定能控。 而且能控的系统一定可以化为能控标准型。注意：离散系统的能控性可类似给出。二、能观测

7、性及判据能观测性是回答：能否由输出唯一确定状态x相的问题。由输出方程： y=cx(t)由于c的各元素不同，每个状态对系统输出的响应也不同，而若系统的任意状态分量从输出y(t)的观测中没有反映，那么该状态就是不能观测的。1 定义：若任意状态x() 可在有限时间间隔内， 由y(t)及任意给定的u(t)唯一确定， 称在时刻状态为能观测的，简称能观。 若为任意，则称系统完全能观测。 对线性定常系统只要在某时刻能观测，则系统定为完全能观。Ex: y=考查状态变量图： 1 u EMBED Equation.3 y3 2从图上知：、无关联。y=并不能得到为不能观测的，所以系统不能观。Ex: y= u y亦y

8、= ，可观测。且影响亦对y有影响，能观。2. 判据对给定系统 完全能观充要条件能观测阵 的秩为n。的秩为n。常用： 称能观测 ex：已知：n=2、p=1、m=2、系统能观3能观测性的不变性及第二判据系统经线性变换能观性不变。x=pz第二判据： A特征值互异时 由线性变换知存在P将A化为 系统能观测的充要条件是CP中无全零列。 A有重特征值时存在P可将A ® J系统能观测的充要条件是：一特征值对应一约当块时 CP阵中与各约当块首行对应的各列中无全零元素。一特征值对应约当块不单一时，CP中与（重特征值的）每个约当块首行相对应的列线性无关时，具有能观性。Ex:可见 A为对角阵，无全零列，能

9、观。A为对角阵中第二列全为零（时）说明对应状态变量不能观测，系统不能观。Ex3:A为约当量，具有重特征值，只有一约当块，输出阵中与约当块第一行对应的第一列不全为零，故系统能观。 Ex4: 具二重特征值，但A中有二约当块，经考查，CP中与每个约当块首行对应的列的线性相关性决定能观性。*所谓“线性相关”是存在非零行向量并能将其中之一向量表示成其它向量的线性组合。此例只经考查与是否线性无关。线性无关时, 系统能观，否则不能观。*若一个系统即为能控, 又为能观，称系统为能控能观。一般实际系统 均具能控 能观性。称S(A,B,C)能控能观。三、对偶关系1、能控且能观的系统经典控制理论中，用以描述线性定常

10、系统的数学模型常采用传递函数，且当时假定给出的传递函数都没有零极点相消情形。事实上：传递函数描述的系统是能控且能观的。结论：若描述系统的传递函数无零极相消， 则系统总可用状态空间表达式表作成完全能控，完全能观的系统。事实上，对存在零极相消传递函数，由于其状态变量取法不同，系统将表示为不能控或不能观系统。Ex：设方程化为y=x1 (可验证系统为能观不能控的)引入变量x（哑元） EMBED Equation.3 使 y=令方程有： y=+可验证系统为能控不能观测的。 （能控标准型）(此系统可控不能观)可见，经典理论中介绍传递函数概念（无零极相消）是现代控制理论中描述系统的一类能控且能观。单从面上，

11、经典理论研究的范围窄了。一般系统或能控能观，或能控不能观，或能观不能控，或不能控不能观。2、对偶关系设给定系统的状态空间表示 其能控矩阵 能观测阵 ，再设一系统与对应（称为的对偶系统）。其能控性阵：其能观性阵：对比：的能控阵与能观阵同；的能控性阵与能观性阵同。可得到对偶原理：系统能控（能观测）则对偶系统能观测（能控）。通常采用对偶原理推断对偶系统的性质、特性。四、系统的能控标准型和能观标准型所谓标准型是指状态空间表达式的某种特定规范形式。各种标准型不仅可揭示系统代数结构的本质特点，同时为以后分析、研究系统（系统的识别、实现、指定、位动态补偿等）提供了重要研究工具。前已介绍了用特征向量法如何得到

12、对角型和约当标准型，今天介绍能控标准型和能观标准型。1、单输入系统的能控标准型 能控标准型有两种形式，若直接取能控阵中的n个列向量为基底，所导出的状态空间表达式称为第一能控标准型。线性变换对应的阵P=（以为基底）其中，为的系数与此对应在§14实现问题中介绍的标准型实现能控型实现： 称为第二能控标准型。其中，为：G(s)=中分母多项式的系数。事实上，第二能控标准型是以 b,Ab,等n个列向量的某种组合为基底得到的标准型。对应线性变换阵Ex：将下状态空间表达式变换为第一能控标准型。解：构造= = rank=3 所以系统能控， 可化为第一能控标准型。（线变：） 计算 det EMBED E

13、quation.3 可见： EMBED Equation.3 另设线性变换： x=取=则= = EMBED Equation.3 （为第二能控标准型）其中，中为的系数。2、单输出系统的能观标准型能观测标准型也有两种形式：1） 非奇异阵 进行线性变换 可得到= = EMBED Equation.3 = 1 0 . . . .0 = C，其中为逆，称为第一能观标准型。2）以非奇异阵 进行变换x= EMBED Equation.3 得到：=C= 0 . . . . . 0 1 称为第二能观标准型。其中：ai 为系数。3、变输入变输出系统的能控性及能观性标准型五、线性系统（定常）的结构分解 如果一个n

14、维系统是不完全能控的，且rank，则其状态空间中所有的个能控状态构成一个维能控子空间，而其余n个不能控状态形成一个（n）维不能控子空间。对n维系统rankQ0则同样有能观子空间（维），n维不能观子空间。 一般情况下，这些子空间并没有被分解出来。本节目的：就是将通过非奇异变换，将系统的状态空间按能控性和能观测性进行结构分解。1 能控性分解定理：设线性定常系统 å (A , B, C)是状态不完全能控，其能控阵QC的秩rank QC=n1<n则存在非奇异变换使状态空间表达式变换为 其中， EMBED Equation.3 并且是能控的，即能控。而是不能控的，即不能控。非奇异变换阵前

15、n1个列向量可由中顺次取n1个线性无关的列，另外(n-n1)个列向量在确得非奇异条件下是任意。结构分解如图示： u y可见，能控子系统åc：能控(n1维) 不能控子系统：不能控（n-n1维）2。按能观性分解定理：:若线性定常系统是状态不完全能观。 能观阵的秩rank=n2<n 则存在非奇异阵x=。状态空间表达式变换为 =X+BU y=其中 EMBED Equation.3 并且是能观测，即能观；而是不能观测的，即不能观。后（nn2）个向量在保证非奇异条件下可任意。前n2个行向量R1.Rn1是从能观测阵中顺次取的n1个线性无关向量。非奇异阵结构分解图如图： u y 能观测子系统

16、å0 ：（n2维子系统能观测）不能观测系统:例1、 对以下系统进行能控性结构分解解：rank=2<3不能控，存在一状态不能控。构造 （其中R3=为任意）变换后 EMBED Equation.3 u3按能控性和能观性分解对线性定常系统如果不完全能控和不完全能观，那么可对该系统同时按能控性和能观性进行分解。这样将使系统分解为四个部分。能控且能观，能控不能观，不能控能观，不能控且不能观四个系统。对这样的系统须经几次变换可将系统分解为不同子系统，称之为逐步分解法。1） 先将系统按能控性分解 EMBED Equation.3 2） 上式中不能控子系统按能观性分解。对取变换=可将分解为：

17、其中是按能观测分解的变换阵。3） 后将能控子系统按能观性分解，对取线性变换=则, 将R01 R02代入 EMBED Equation.3 可见：为能控能观， 能控不能观状态。经以上三次变换，可导出系统按能控性和能观性进行结构分解形式：步骤：例2：对例1结构分解1、 将系统先按能控性分解（由例1已知）2、 可见：不能控子系统是能观测的， 即（不能控能观测）无需再行分解。3、 将能控子系统 按能观性分解， 构造非奇异阵 则综合上述结果：六、传递函数阵的最小实现前已述及传递函数（阵）的实现并非唯一，称所有实现中阶次最低的实现为最小实现。 对传递函数而言（单输入单输出系统）， 一旦给出了G(s)便可直

18、接写出其实现。(按第二标准型)(能控标准型)或(能观标准型)其中,为G(s)系数这里已假定G(s)满足物理上可实现的条件：1、 分子多项式阶次m分母多项式阶次n；2、 多项式系数为实常数。 传递函数（阵）所反映的是系统中能控且能观测的子系统。 因此，既可用能控性作为实现，又能用能观标准型作实现。将G(s)化写为：（类似于传递函数形式）其中均为m´p阵分母多项式为特征多项式。可见，G是一个阵有理分式阵。其能控标准型实现为：Op，Ip均为p´p阵，P为输入维数。实现的维数可见为np维（n为分母多项式阶次），(p=m=1时，简化为n维。)同样能观形实现有： 其中Om,Im为m´m零阵、单位阵，m维输出向量维数，实现的维数为mn。可见：mp时，应采用能控形实现（维数低）； mp时，应采用能观性实现。应注意：G(s)为严格真有理分式阵。1Gij(s)的分子阶次低于分母阶次