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文档简介

1、第十章 函数方程与不等式证明一. 证明不等式. (a > 1, n ³ 1)证明: 令, 在上使用拉格朗日定理 即 所以 . (a > 1, n ³ 1)二. 若a ³ 0, b ³ 0, 0 < p < 1, 证明 证明: 令显然f(0) = 0. 当x ³ 0 时, 因为0 < p < 1所以当x ³ 0时, f(x)单减, 所以f(a) £ f(0) = 0. 所以 即得 三. 设函数f(x)在0, 1上有连续导数, 满足. 求证 证明: 令, 显然F(0) = 0. 因为, 所以当

2、x > 0时f(x) > 0. = (1)令, 显然F(0) = 0. 所以当x > 0时, F(x) > 0. 由(1)知(x > 0). 当x > 0时F(x) ³ F(0) = 0.所以F(1) ³ F(0) = 0. 立即得到 四. 求证 , (0 < p < 1).求证: 先证当0 £ x £ 1, 0 < p < 1时, 有 令. 0得 . . 所以. 所以当0 £ x £ 1, 0 < p < 1时, 有 2° 令, 则. 代入上述结论,

3、立即得到 即 , (0 < p < 1).五. 求证: 若x + y + z = 6, 则, (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0).证明：方法1: 所以 , 方法2:解以下条件极值问题:令F(x, y, z, l) = x2 + y2 + z2l(x + y + z6), , 解得 x = y = z = 2. 只有一个驻点, 当x = y = z = 2时达到最小值12. 所以 , (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0)六. 证明: 1° 若f(x)在a, b上是增加的，且在其上，则 2°

4、若f(x)在a, b上是增加的，且在其上，则 证明：1° 方法1: 因为f(x)是增加的, 所以对于a, b中的一切x, 有f(x) > f(a), 所以 令 ) ( =(因为)所以F(x)单增. 又因为F(a) = 0, 所以F(b) > F(a) = 0. 立即可得 方法2: 将f(x)台劳展开"t, x, 所以 上式二边积分得 所以 于是 即 2° 证法同1°.注: 无论方法1°, 2°, 右边的不等式都不需要f(x)单增的条件.七. 证明: 1° 2° 证明: 1°方法一: 先证由 得到 上述不等式中令, 得到 即 .方法二: 令, 因为 所以 即 即 2° 取 f(x) = ln x, . 令p1 = p2 = = pn = 1/n.所以 立即得到.八. 设, 且, 求证: 证明: 方法1: = = =所以 | = =方法2："t, x, 所以 0 = =所以 于是 =九. 若在0, 2p上连续, 且³ 0, "n(正整数)有 证明: = =所以 十. 设在a, b上, a < x1 <

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