导体棒在磁场中的运动问题

1、B的大小图 3-9-10点评:该题将物体的平衡条件作为重点，让考导体棒在磁场中的运动问题 近十年的高考物理试卷和理科综合试卷中， 电磁学的导体棒问题复现率很高，且多为分 值较大的计算题。为何导体棒问题频繁复现， 原因是:导体棒问题是高中物理电磁学中常 用的最典型的模型，常涉及力学和热学问题， 可综合多个物理高考知识点，其特点是综合 性强、类型繁多、物理过程复杂，有利于考 查学生综合运用所学的知识，从多层面、多 角度、全方位分析问题和解决问题的能力；导 体棒问题是高考中的重点、难点、热点、焦 点问题。导体棒问题在磁场中大致可分为两类：一类 是通电导体棒，使之平衡或运动；其二是导体 棒运动切割磁感

2、线生电。运动模型可分为单 导体棒和双导体棒。（一）通电导体棒问题通电导体棒题型，一般为平衡型和运动型， 对于通电导体棒平衡型，要求考生用所学 的平衡条件（包含合外力为零a F =0,合力 矩为零a M =0）来解答，而对于通电导体棒 的运动型，则要求考生用所学的牛顿运动 定律、动量定理以及能量守恒定律结合在 一起，加以分析、讨论，从而作出准确的 解答。例 8】如图3-9-8所示，:的光滑平行导轨（电源的 电动势E和内阻r，电阻R 均为己知）处于竖直向上 磁感应强度为B的匀强磁 场中，一质量为m的导体棒恰能处于平衡状态，则该磁场 为 当B由竖直向上逐渐变成水平向左的过程中，为保持导体棒始终静止不

3、动， 则B的大小应是，上述过程中，B的最小值 是解析】此题主要用来考查考生对物体平衡 条件的理解情况，同时考查考生是否能利用 矢量封闭三角形或三角函数求其极值的能力 将图3-9-8首先改画为从右向左看的侧面图, 如图3-9-9所示，分析导体棒受力，并建立 直角坐标系进行正交分解，也可采用共点力 的合成法来做根据题意F =0，即二 Fx =°，二 Fy =0，即:Fx = FB N sin ： = 0 Fy = F cos.： mg = 0 由得：tan B mg由安培力公式：Fb =Bld 由闭合电路欧 姆定律I二旦R+r 联立并整理可得：B二应竺壬Ed（2）借助于矢量封闭三角形来讨

4、论，如图3-9-10所示在磁场由竖直向上逐渐变成水平 的过程中，安培力由水平向右变成竖直向上， 在此过程中，由图3-9-10看出Fb先减小后增 大，最终N =0, Fb =mg，因而磁感应强度B也 应先减小后增大. 由图3-9-10可知，当Fb方向垂直于N的 方向时Fb最小，其B最小，故:sinmg而：Fb =Bld IR卄联立可得：mgsin：，B d，R+r即 Bmin /ER E :Bd答案】血山哑,先减小后增大Edmg（R r）sin 工Bd生将公式和图象有机地结合在一起，以达到 简单快速解题的目的，其方法是值得提倡和 借鉴的。（二）棒生电类棒生电类型是电磁感应中最典型的模型，生 电方

5、式分为平动切割和转动切割，其模型可 分为单导棒和双导棒。要从静态到动态、动 态到终态加以分析讨论，其中分析动态是关 键。对于动态分析，可从以下过程考虑：闭合 电路中的磁通量发生变化一导体棒产生感应 电流一导体棒受安培力和其他力作用一导体 加速度变化T速度变化T感应电流变化T周而导体棒切割磁感线，产生感应电动势：E二BLv闭合电路中产生感应电流：I二£ R杆所受安培力：Fb =Bld再由牛顿第二定律得：F - Fb ma 联立式得： f =ma -BRL at 在图线上取两点代入式，可得:2a =10m/s ,m = 0.1kg .复始地循环最后加速度减小至零速度达到 最大导体做匀速直

6、线运动我们知道，电磁 感应现象的实质是不同形式能量的转化过程， 因此，由功能观点切入，分清楚电磁感应过 程中能量的转化关系，往往是我们解决电磁 感应问题的关键，当然也是我们处理这类题 型的有效途径 1.单导棒问题【例9】如图3-9-11所示， 一对平行光滑轨道放置在 水平面上，两轨道间距 L =0.20m，电阻 R =1.0有 一导体棒静止地放在轨道解法二：从F _t图线可建立方程F二0.1t 1， 导体棒受拉力F和安培力Fb作用，做匀加速 直线运动，其加速度恒定。其合力不随时间t 变化，并考虑初始状态Fb =0，因而Fb的大小 为F =0.1t再由牛顿第二定律：F-Fb二ma联立可得：ma=

7、1|XX X X X图 3-9-11又因为：Fb =Bld而： I =卫 E = BLv R2 2联立式得：Fb二旦3R而 v=at，故 FBLatR由得:0.1Ra _ B2L20.1 1.0(0.50)2 (0.20)2=10m/s2上，与两轨道垂直，棒及轨道的电阻皆可忽 略不计，整个装 置处于磁感应 强度B =0.50T的 匀强磁场中，磁 场方向垂直轨 道面向下.现用 一外力F沿轨 道方向拉棒，使 之作匀加速运&121620 14 2K t/j图 3-9-12动，测得力f与时间t的关系如图3-9-12所 示。求棒的质量m和加速度a .【解析】此题主要用来考查学生对基本公式 掌握的

8、情况，是否能熟练将力电关系式综合 在一起，再根据图象得出其加速度a和棒的 质量m的值。从图中找出有用的隐含条件是 解答本题的关键。解法一:导棒在轨道上做匀加速直线运动，用 v表示其速度,t表示时间，则有v =at再由与式得：m=0.1kga【答案】m= 0.1kga=10m/s2点评:解法一采用了物理思维方法，即用力学 的观点，再结合其F-t图象将其所求答案一 一解出。解法二则采用了数学思维方法，先 从F-t图象中建立起相应的直线方程，再根 据力学等知识求得，此解法不落窠臼，有一定的创新精神。此题不愧为电磁学中的经典习题，给人太多的启发，的确是一道选拔优秀人才的好题。【例10】如图3-9-13

9、所示，两根 竖直放置在绝缘地面上的金属框 架上端接有一电容量为C的电容 器，框架上有一质量为m，长为L 的金属棒，平行于地面放置，与 框架接触良好且无摩擦，棒离地t =亦=2h(m B2L2C)mg面的高度为h，磁感应强度为B的匀强磁场与 框架平面垂直，开始时电容器不带电，将棒 由静止释放，问棒落地时的速度多大落地时 间多长【解析】此题主要用来考查考生对匀变速直 线运动的理解，这种将电容和导棒有机地综 合在一起，使之成为一种新的题型。从另一 个侧面来寻找电流的关系式，更有一种突破 常规思维的创新，因而此题很具有代表性. 金属棒在重力作用下下落，下落的同时产生 了感应电动势。由于电容器的存在，在

10、金属 棒上产生充电电流，金属棒将受安培力的作 用，因此，金属棒在重力和安培力 Fb的合力 作用下向下运动，由牛顿第二定律得：mg -Fb =ma Fb 二 BiL由于棒做加速运动，故v a、E、Fb均为同一 时刻的瞬时值，与此对应电容器上瞬时电量 为Q二CE，而E二BLv，设在时间.4内，棒上 电动势的变化量为在，电容器上电量的增加 量为 Q,显然:. BL vQ 二C.E 再根据电流和加速度的定义式i二卫,a二上联立式得：a= 竽2m+B L C由式可知，a与运动时间无关，且是一个恒量，故金属棒做初速度为零的匀加速直线 运动，其落地速度为v，贝U：2ah将式代入式得：vr 2mgh2Ym+B

11、2L2C落地时间可由h =-at2得：2mg答案】 2mgh2h(m B2L2C)答案'm B2L2C点评:本题应用了微元法求出 和与W的关系, 又利用电流和加速度的定义式，使电流i和加 速度a有机地整合在一起来求解，给人一种 耳目一新的感觉，读后使人颇受启示图【例11】如图3-9-14所示，倾角为二=30°， 宽度为L =1m的足够长的'U型平行光滑金属导轨固定在磁感应强度 B 1T，范围充分大的匀强磁场中，磁场方向 垂直导轨平面斜向上，现用平行导轨，功率 恒为6W的牵引力F，牵引一根质量m=0.2kg， 电阻，放在导轨上的导棒ab，由静止 沿导轨向上移动(ab棒始

12、终与导轨接触良好 且垂直)。当金属导棒移动S=2.8m时，获得稳 定速度，在此过程中金属导棒产生的热量为 Q=5.8J,(不计导轨电阻及一切摩擦，取g = 10m / s2 )。冋：(1) 导棒达到稳定速度是多大(2) 导棒从静止达到稳定速度所需时间是多 少【解析】此题主要考查考生是否能熟练运用 力的平衡条件和能量守恒定律来巧解此题。 当金属导棒匀速沿斜面上升有稳定速度v时,金属体棒受力如图3-9-15所示，由力的平衡 条件则有：F -FB -mgsi- 0Fb =BIL I =看E 二 BLv F /v2 2由可得：-mgsinv 一色=0vR整理得： PRmgvRsin v 一 B2L2v

13、2 =0 代入有关数据得：v2-v-6=0 解得：v =2m/s,v= _3m/s(舍去)。(2)由能量守恒得：Pt = mgs in v Smv2 - Q ,2代入数据可得：t=1.5s【答案】v=2m/s t =1.5s点评:此题较一般电磁感应类型题更能体现 能量转化和守恒过程，因此，在分析和研究 电磁感应中的导体棒问题时，从能量观点去 着手求解，往往更能触及该问题的本质，当 然也是处理此类问题的关键.2. 双导体棒问题在电磁感应现象中，除了单导体棒问题外， 还存在较多的双导体棒问题，这类问题的显 着特征是：两导棒在切割磁感线时，相当于电 池的串联或并联，组成闭合回路， 而且，求解此类型问

14、题的最佳途径往往从能量守恒、动量守恒的角度出发，用 发展、变化的眼光，多角度、全方位地发散 思维，寻求相关物理量和公式，挖掘隐含条 件，采用“隔离法”或“整体法系统法)快捷作 出解答。因此，双导体棒问题更能反映考生 的分析问题和解决问题的能力，特别是方法、 技巧、思路均反映在解题中，是甄别考生层 次、拉大差距的优秀试题.【例12】如图3-9-16所示，两金属导棒ab和 cd长均为L，电阻均为R ,质量分别为M和m， (M >m)。用两根质量和电阻均可忽略的不 可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并 悬挂于水平、光滑、不导电的圆棒两侧，两 金属导体棒都处于水平位置，整个装置处在 一与回路平

15、面相垂直的匀强磁场中，磁感应 强度为B ,若金属导体棒ab正好匀速向下运 动，求运动的速度【解析】此题主要用来考查考生对力学中的 受力分析、力的平衡、电磁感应、欧姆定律 和安培力公式的掌握，此题也可用多种方法 去解答.解法一：采用隔离法，假设磁场B的方向是垂 直纸面向里，ab棒向下匀速运动的速度为v， 则ab棒切割磁感线产生的感应电动势大小：E, =BLv，方向由 a f b，cd棒以速度v向上切割磁感线运动产生感应 电动势，其大小为：E2 =BLv，方向由d f c. 回路中的电流方向由a f b f d f c，大小为：E, +E22 BLv BLv 金= ab棒受到的安培力向上，cd棒受

16、到安培力向2 2下，大小均为：Fb =BIL =vR当ab棒匀速下滑时，设棒受到的导线拉力为T，则对ab棒有：T Fb =mg对cd棒有：T =Fbmg由解得：2Fb=(M -m)g再由可得：2B2L2vR(M -m)g故_(M 丁严.2B L解法二:采用整体法，把ab、cd柔软导线视 为一个整体，因为M整体动力为(M -m)g， ab棒向下，cd棒向上，整体所受安培力与整体动力相等时正好做匀速向下运2 2动，则有：(M _m)g =2旦士，R所以得：型雪2B2L2解法三:采用能量守恒法，将整个回路视为一 个整体系统，因其速度大小不变，故动能不 变。ab棒向下，cd棒在向上运动的过程中， 因M

17、g .mg，系统的重力势能减少，将转化为 回路的电能，由能量守恒定律得：E2Mgv -mgv -2RE。=2E E=BLv联立可得:(M m)gR v 二2B2L2【答案】(M -m)gR2B2L2点评:此题为典型的双导体棒在磁场中运动 的问题。并且两根棒都切割磁感线产生感应 电动势，对整个回路而言，相当于电池组的 串联，整个回路中有电流流过，两棒都受安 培力，在末达到稳定速度前，两棒均做变加 速运动，当加速度减为零时，速度为最大。 从以上三种解法来看，解法三更显简便，思 维灵活.【例13】如图3-9-17所示，两根足够长的 固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两 导轨间距为L导轨上面横放 着

18、两根导体棒ab和cd，构成 矩形回路。两根导体棒的质 量皆为m，电阻皆为R，回 图 路中其余部分的电阻可不计。图9在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场， 磁感应强度为B ,这两根导体棒可沿导轨无 摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指 向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动中始 终不接触，求：(1) 在运动中产生的焦耳热最多是多少当ab棒的速度变为初速度的3时，cd棒的4加速度是多少【解析】此题主要用来考查考生对双导体棒 运动的动态分析和终态推理以及两个守恒定 律的熟练掌握情况。此题是一道层次较高的 典型水平面双导体棒试题。ab棒向cd棒运动时，ab棒产生感应电动势， 由于通过导轨和cd

19、棒组成回路，于是回路中 便产生感应电流，ab棒受到与运动方向相反 的安培力作用作减速运动，而cd棒则在安培 力作用下作加速运动。在ab棒的速度大于cd 棒的速度时，回路中总有感应电流，ab棒继 续减速，cd棒继续加速，两棒速度达到相同 后，回路面积保持不变，磁通量不变化，即 不产生感应电流，两棒以相同的速度 v作匀 速直线运动.(1)从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒组成的系统动量守恒，则有：mvo 2mv 再根据能量守恒有：-mv2 =-(2m)v2 Q 2 2联立两式得：Q =-mv24设ab棒的速度变为初速的-时，cd棒的速4度为v'，则再次由动量守恒定律可知：3mv0 =m

20、 v0 亠mv'4E®"此时cd棒所受安培力:EI2RFb =BIL此时回路中的感应电动势和感应电流分别是【活学巧练】1. 两根相距为L的足够长的金属直角导轨如 图3-9-18所示放置，它们各有一边在同一水 平面内，另一边垂直于水平面，质量均为m的 金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回 路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为，导轨电阻不计，回路总电阻为2R，整个装置处 于磁感应强度大小为B .方向竖直向上的匀 强磁场中，当ab杆在平行于水平导轨的拉力 F作用下以速度v1沿导轨匀速运动时，cd杆 也正好以速度V2向下匀速运动.重力加速度 为g,以下说法正确的是()2

21、2A. ab杆所受拉力F的大小为mg 旦旦2RB. cd杆所受摩擦力为零C. 回路中的电流为BL(v1 v2)2RD*与v 大小的关系为韻2. 如图3-9-19所示，矩形裸图 3-9-19导线框长边的长度为2l ,，短 边的长度为丨，在两个短边 上均接有电阻R，其余部分 电阻不计，导线框一长边与 x轴重合，左边的坐标x=0，cd棒的加速度：玄二空 m2 2联立得：a二空迪.4mR2 2【答案】(1) Q Jmv2(2) a=B4'4mR线框内有一垂直于线框平面的磁场，磁场的 磁感应强度满足关系B=BoSin()，光滑导2l点评:此题将分析双棒的初态、过渡态、终态以及整个过程的运动情况，

22、各个物理量的变度为v的匀速运动，求：导体棒AB从x=0运动 到x =2l的过程中F随时间t变化的规律.化情况和动量守恒、能量守恒仍然联系在一起，确实达到了命题人综合考查考生分析问 题能力和解决问题能力的目的。充分体现了命题专家以综合见能力的命题意图，即“着眼 综合，立足基础，突出能力”此题的确是一道 经典考题。通过对以上例题的分类处理、解 析，从中发现，电磁学中的导体棒问题内涵 的确丰富、灵活、新颖，涉及面广，易于拓3. 如图3-9-20所示，在水平 面上有两条平行导电导轨 MN、PQ，导轨间距离为I， 匀强磁场垂直于导轨所在的 平面(纸面)向里，磁感应强度图 3-9-20的大小为B，两根金属

23、杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为 m、m2展和延伸，的确不愧为电 磁学中的精华部分。和R、R,，两杆与导轨接触良好，与导轨间的 动摩擦因数均为 '己知杆1被外力拖动，以 恒定的速度V。沿导轨运动;达到稳定状态时， 杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻 可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率图 3-9-18体棒AB与短边平行且与长边接触良好，电阻 也是R .开始时导体棒处于x=0处，从t = 0时 刻起，导体棒AB在沿x方向的F作用下做速4. 一个边长为L、质量为m、 电阻为R的金属丝方框，竖直放 置，以初速度V。水平抛出，框在 重力场中运动，并且总是位于垂 直于

24、框面(即水平方向的磁场中, 如图3-9-21所示，己知磁感应图 3-9-21由得：F强度的大小随方框下降高度y的变化规律是B=B。ky，式中k为恒定系数，同一水平面 上磁感应强度相同，设重力加速度为g.(1)试分析方框水平方向和竖直方向的运动情况；(2) 试确定方框的最终运动状 态.5.如图3-9-22所示，竖直平 面内有一半径为r、内阻为R、 粗细均匀的光滑半圆形金属 球，在M、N处与相距为2r、 电阻不计的平行光滑金属轨 道ME、NF相接，EF之间接 有电阻R,，已知R =12R，图 3-9-22R2 =4R,在MN上方及CD下方有水平方向的 匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B o现

25、有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆 环的最高点A处由静止下落，在下落过程中 导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨 道接触良好，平行轨道足够长。已知导体棒ab 下落r/2时的速度大小为v，下落到MN处的 速度大小为V o1)求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大 小。(2)若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大 小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R2 上的电功率P2.(3) 若将磁场II的CD边界略微下移，导体 棒ab刚进入磁场II时速度大小为V3，要使其 在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度 大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式。【参考答案】1.【解析】cd杆的速度方向与磁场

26、方向平行， 只有ab杆运动时使回路内的磁通量发生变化， 根据法拉第电磁感应定律。回路中的电动势： E = BLv 根据闭合电路的欧姆定律：I =上2Rab杆所受安培力：Fb =BIL ab杆匀速运动有：F =Fb -人 又£二mg 二mg -回路中的电流：cd杆匀速运动:I且2Rf2 二 mg2. 2,B L V1B2 L2w2R又：彳2 = PFb = F_2R由得：竽畀，所以，A、D正确B2L2m【答案】A D2【解析】由于磁感应强度随空间坐标变化， 导体棒虽做匀速运动，其电动势仍是变化的, t时刻AB棒的坐标为x =vt感应电动势：E=Blv二BJvsi n(二2l回路总电阻为

27、E回路感应电流:I= BIl棒做匀速运动，联立解得:2B0l2vsin2X)F =丘3R,2l(0 士 t)v2B；l2vs in 2(仝)【答案】F -红3R（0 t _彳） V3. 【解析】设杆2的运动速度为v，由于两 杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁 通量发生变化，产生感应电动势 E=BI(v°-v) 感应电流I-R1 +R杆2做匀速运动，它受到的安培力等于它受 到的摩擦力，即BII “im2g故导体杆2克服摩擦力做功的功率P = Jm2gv，解得：pmgM -書2幫(R尺)【答案】P二m2gvo -誓3(R R2)4. 【解析】(1)方框水平方向的合力为零， 做初速度为vo的匀速直线运动；竖直方向受 重力和安培力作用，由于安培力是逐渐增大, 故竖直方向上做初速度为零，加速度逐渐减 小的加速运动.E = B2Lv - B丄v(2)最终当竖直方向上加速度为零时，方框 运动达到稳定状态，此时有：B2IL =BIL mg 回路中的电动