导数解答练习答案

1、1.已知函数 f 3) = x3 - 3ax + 2(7 e R). 当"=1时，求曲线y = /(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(2) 求函数 /*(%) 在区间 0 , 1 上的最小值 .2。(< 0)【答案】(1) 3x+y 2 = 0; /(x)min =(2 2a扁(0 < a < 1)3 - 3a(a > 1)【解析】试题分析：(1)由/( X) = x3-3?x +2(?G7?)及。=1,求(0,/(0)处的切线方程，可由求切线方程的步骤，先求出导数，再求出该点处的导数值即斜率，代入点斜式可得;(2 )由题求 0,1上的最小值为，可按求函数

2、最值得步骤，先求导/'(x) = 3x2-3a = 3(x2-a)，因为。值不确定，需对它进行分类讨论来分别解决，(确 定单调性,求极值，最后与区间端点值比较 ) ，最后综合所有情况可得 .试题解析：(1)当。=1时，/(x) = x3 -3x+2,切点为(0,2)/'( x) = 3x2-3 , 切线的斜率为 R = f'(0) = 3切线方程为 y = 3x + 2,即 3x+y-2 = Q(2) / (x) = 3x2- 3a - 3(x2 - a)当。 0 时， /'(x)>0, .-./(%) 在0,1上为增函数 , /(x)min = /(0)

3、 = 2当。 0 时， / (%) = 3(x2 一 a) = 3(x +Vfl) 若 0<石<1,即 0<。 <1 时，当 0 5 x < 膈时， / (%) < 0 ,当 4a < x < 1 时， / (%) > 0/(%)在0,J2)上为减函数，在(、/方,1上为增函数, /(%)min = /(Va) = 2-2a4a 若即。 21 时， /'(x)<0,/(.x) 在0,1上为减函数2（。 < 0） 综上：/(X)min = < 2 - 2。扁(0 < a < 1)3 - 3aa >

4、1)考点：1.运用导数求曲线上某点的切线方程；2.导数求函数的最值及分类思想；2. 已知函数 /(%)= In %, g(x) = x-1.当时，证明：/(%)< g(x);* m 十-In3 ln(n + l)(2) 证明不等式 In21 - 1 < n,2n【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】试题分析：(1)由题为证明函数/(x)<g(x);可构造函数 F(x)=/(x)-g(x) = lnx-x + l,转而运用导数，求它在定义域上的单调性，通过F(x)< F(l) = 0而得证；In X(2)由题为证明数列不等式，可结合(1)中的结论冬<1,进行累加

5、而得证.x-1试题解析：(1)设 F(x)= f(x) - g(x) = In % - % +1, Fz(x) = -1 二一，X X当 0 < 工 v 1 时，Fx) > 0；当尤 > 1 时，Fz(x) < 0;? 在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，? ?当工壬 1 时，F(x)< F( I) = 0, Inx-x + l<0, Inx<x-l,即 /(%)<g(x).In x由(1)可知，当X > 1时，一 <1,X 1八 m 人 cc-T-zg In 2 , In 3, ln( +1),分力 U 令 x = 2

6、,3,?, ，可得 < 1,< 1,< 1,12n将这"个不等式相加，得ln2 + + ?+m( + l)v2n考点：(1)运用导数证明不等式.(2)运用函数的单调性及累加法证明数列不等式23. 设函数 /(x) = Inx-Aax -2x,其中 a<0.(I )若曲线y = f(x)在点处的切线方程为y = 2x + b,求a-2b的值；(II) 讨论函数/'(x)的单调性；(III) 设函数g(x) = F3x+3，如果对于任意的5(0,1,都有/(%)<<?恒成立，求实数。的取值范围.【答案】(1)2; (II)见解析；(HI) -6

7、<a<0【解析】试题分析：(1)由题已知函数在点处的切线方程为y = 2 了 +方，可得广(1)= 2 ,又过点(1,2+勿,可分别建立关于。，力的方程组，求得 a-2b的值; 由题函数f (x) = Inx-|ax2-2x,(含参数)，求单调区间，需先求导数，然后况讨论，可分别岀函数的单调区间别在给定的区间上化为/ 3)( g血的问题来处理对参数。分情题解决，即分由任意的xje(O,l,都有/ (x)Vg(f)为恒成立问题，可运用导数化为最值问试题解析：(I)由题，求导,工 2 = '*aafz(x) = -tzx-2(x>0),因为 / '=2,得;Xf(

8、) = 1-2 = 2,3 = 33贝！；又过点(1,2 + ° )；所以 f(l) = -2 = 2 + b,b = -T-E _2。= _3 + 5 = 2 a1 21" + (II)由 / (x)=ax-2- , xg (0,+oo)，贝xx2x +1 当 a=0 时，/z(x)=,x当x>0时，令/'U)>0,为增区间：(0，!),令fM<0为减区间；(：,+8)_ 系 2 O y 1 当 aVO 时，= (% > 0),令；h(x) = -ax 2 -2x +1 ,x则厶=4 + 4I = 4(Q + 1),则；当<-I,A

9、= 4(61 + 1) <。时，即f !(x)<0恒成立，所以减区间为；(0,+8)当一 1 <"<(), = 4(。+1) > 0 时，得；石=- 令广O,为增区间：(OT+E),( T_S,+8), a a令/'UXO为减区间；(i局，一 1 一局)aa综上所述，a=0时，增区间：(0,分,减区间；(，+8)当aJ 1时，减区间为；(0,+8)1 + y/1 + a 1 JI + a、减区间；( , )aa(III)由题意，任(0,1函数g(x) = r3x + 3,在作(0,1为减函数，则 g血=1,原题可转化为；/(x)vg(l) mm=

10、L 即；f(x) = Inx-|ax2-2xv/ExG (0,I上恒成立，可化为；a>21n X4x2 ,在xqo,1 上恒成立，X2X令伊(1)= 21"之我-2 ,只需求，a>(pA mm在 Xe(O,l上恒成立，+ 6 4lr) y求导；仞'(、)=-一 2，因为尤 e (o,1，Inx<0,-41 nx>0,所以，(px) >0 ,函数在区间上为增函数，则例1儿宓=一 6,可得，即-6<a<0.考点：(1)运用导数的几何意义及方程思想；(2)运用导数求函数的单调性及分类思想.(3)导数的运用及恒成立中的最值思想.324 .已知

11、 x = I 是函数 f(x) - nix - 3(/7? + V)x +nx + 1 的一个极值点，其中m, n e R, m < 0 ,(1) 求m与的关系式；(2) 求/Xx)的单调区间；(3) 当xe 1,1时，函数y = /Xx)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3秫，求m的取值范围【答案】(1)n = 3m + 6 (2)在|-00,1 + 一|递减,(1 + 层)递增，(I,+00)递减(3) I m) m【解析】试题分析：(1)求岀f (X),因为x=I是函数的极值点，所以得到f (1) =0求岀m与n的关系式；(2)令f， (x) =0求岀函数的极值点，讨论函数的增减性确

12、定函数的单调区间；(3)函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f (x) >3m代入得到不等式即 3m (x-1) x-(1+ ) >3m,又因为 m<0,分 x=I 和 xNI,当 xNI 时 g (t) =t-，求岀 g (t) m t的最小值.要使2<(x-1)-一恒成立即要g (t)的最小值>2,解岀不等式的解m、7 x-1 m集求岀m的范围门试题解析：(1) fx) = c 3mx2 -6(m + I)x + n因为尤=1是函数f (x)的一个极值点，(2)由(1)知，/z(x) = 3mx2 -6(m + I)x + 3m + 6 = 3m(x-1)

13、 x-| 1 + v m2当秫<0时，有11 + 一,当工变化时，兀刁与广的变化如下表：mX1+2 m1(1,+8)卩(X)<00>00<0fM调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有，当秫<0时，/ 在8,1+2)递减，(1 + 2,1)递增，(1,+8)递减.V m)mz2(3)由已知得 / (x) > 3m,即 mx 2(m + l)x + 2 > 0 又2 2 2 220 所以工 2(m + l)x + 一 <0 艮 PX - (m + l)x + 一 <0, xg -1,1?mmmmi2设g(x) = x2-2(I + -)x +

14、 -,其函数开口向上，由题意知式恒成立，mmfg(-l)<0所以%1)<01 + 2 + + <0、=> iTi iTi|_1<0解之得一又秫<0 所以一< mv 0 3即秫的取值范围为：，° 考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性5.已知函数 f(x) = -% + a In x(a e 7?).(1)求/Xx)的单调区间；2(2 )设 g(x) = x -2x + 2a ,若对任意 X e (0,+<>o),均存在 X2 G0,1,使得/(%!)< g(x 2),求a的取值范围.【答案】(

15、1)当a<0时，函数/'(X)的递减区间是(0,+8),当。0时，函数/ “)的递增区间是(0,0),递减区间是(七+8) ；(2) 0/.【解析】试题分析：(1)借助导数运用分类整合的思想分类求解；(2)借助题设条件和等价转化的数学思想，运用导数的知识求解 .试题解析：(1)广(x) = _ +Wx-“ (x>0).X X 当。<0时，由X0,得 x o> 0, /'(x)<0,函数/Xx)的递减区间是 (0,+8)； 当。0 时，由 /'(.X)= 0 得 x = a .当 xc(O,0)时，/'(.X) > 0 :当 x

16、c(0,+8)时,尸<0.?函数/(%)的递增区间是(0,o )，递减区间是(。，+8)； 综上，当。M0时，函数/ Xx)的递减区间是(0,+8)； 当。0时，函数/'(X)的递增区间是(0,0),递减区间是(0,+8).(2)依题意，要满足对任意 %! G (0,+8)，均存在X2 G 0,1,使得/(%!) < g(X2),只需满足 /(X) max < g(x)max，2g(x) - x -2x + 2a ,xe0,l, A g(x) max = 2tz由(1)知，当。<0时，函数/Xx)在区间(0,+8)上单调递减，值域 为R,不符合题忌、；1 111

17、 1(举反例：取 X=e",则 /(e ) = -ea + a -1- e a >Q>2a ,产生矛盾.)a当 a = 0 时，/(x) = -x < 0 = g(x) max，符合题意；当。0时，函数/Xx)在区间(0,0)上递增，在区间(0,+8)上递减，? /'(x)max = /(?= -。+。In a，令 2。一 o + olno,解得 0 <0<凌；综上，a的取值范围是0,e3).考点：导数的有关知识及综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研

18、究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求函数的单调区间，解答时先求导再变形分类讨论是本题求解的一大特点；第二问中求参数。的取值范围问题.求解时需要先对己知问题进行合理转化为/'()max < g3)max,然后再运用导数的知识将/max(X)，gmax(X)分别求此建立关于参数。的不等式2。-。+。111。，从而求岀其范围是0,C3).在这里如何将问题合理转化为f(X) max < gOOmax是解答本题的关键也是难点.In x6.已知函数 /(x) = mx(jne. R).x(1) 当m = 0时，求函数零点的个数；(2) 当m2。时，

19、求证：函数 f(x)有且只有一个极值点；(3) 当b>a> 0时，总有肿)1成立，求实数刀的取值范围？b-a【答案】(1)有且只有1个零点；(2)证明见解析；(3)2e【解析】试题分析：(1)依据题设运用导数的知识求解；(2)借助题设条件运用导数的知识分析推证;(3)借助题设条件构造函数运用导数求解.试题解析：当 m = 0 时，f(x) =, /'(x) = -.XX令 r(x) =( mx=e.X(0,e)c(C,+8 )/(x)+0f(H)函数/(%)在区间(0, e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减/(X) max = /(e) = L > 0 , f (

20、!) = e < 0, e e:.函数/(x)在区间(0, e)内有且只有一个零点；In X又当x>e时，f(x)=>0恒成立，函数/(x)在区间(e,+8)内没有零点.综上可知，当 m = 0时，函数f(x)有且只有1个零点.Inx ,(2)? .? f (1)=-x八、，、/、1-lnxmx ( m>0> A / (x) = %=%、八、x>。).令g(x) = 1 - In x -mf, L g'(x)= 'x2mx< 0 ,函数g(x)在区间(0,+ °上单m?g(e ") = 1 + 上一与 >0(?

21、 .?/>(), g(e) = -me 2 < 0 ,m2 e3xo e (0,+8)，使得 g(x() ) = 0 ,.?当 xe (O,xo)时，g(x)O,即 /'(x)>0, /Xx)在区间(0,x )上单调递增；当 xe (xo，+ oo)时,g(x)<0,即 /'(.X) < 0 , y( x)在区间(x() ,+8)上单调递减x = X0是函数/(x)在区间(0,+8)内的极大值点.即当秫2 0时，函数/ Xx)有且只有一个极值点.(3)当 b>a0 时，总有 f(b)f(a)> 成立，b-a即当b> a> 0

22、时，总有f(b)-b> f(a) - a 成立，也就是函数力 3) = /(%) - x在区间(0,+8)上单调递增.In 丫1 y由 h(x) = - (m + l)x(x > 0)可得 hx) =(m + l)>0 在区间 (0,+8) 恒成XX立，即m <上顼 一1在区间(0,+8)恒成立.(x > 0).X=0，则 x = eA.设 k(x)=上也一 1,则 k'(x)=X即 r(x)<o,函数从工)在区间(0,)上单调递减3.?当 JT6 (0,/)时,3当xe (eA汁8)时,3 令 kx)即kx) > 0,函数化3)在区间(/，+

23、8)上单调递增31 y 1-1.? k(x)min = k(必)=- -!=?所求初的取值范围是m < -Ay-1.考点：导数的有关知识及综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数m的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究零点极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问求零点的个数，这时m = 0,求解时只要先对已知函数f(x)=进行求导，再讨论其在定义域内的单调性，最后依据函数的X图象变化情况确定零点的个数；第二问中的证明极值点的个数是1个，也是先求导后构造2函数g(x) -llnx- mx ,通过对求该函数单调性的

24、研究确定了极值点的个数；第三问中的求m取值范围问题则是借助导数可直接从不等式中分离出参数m,再运用导数求 出其最小值从而使得问题获解.7. 已知函数 f(x) = mx ,g(x) = 31nx. 当m = 4时，求曲线y = /(x)在点(2,/(2)处的切线方程；(2)若%e(l,VA (e是自然对数的底数)时，不等式/(%)-g(%)<3恒成立，求实 数m的取值范围.9-Vg【答案】(1) y = 5x 4；(2) ( 8,aa).2e-2【解析】试题分析：(1)直接运用导数的几何意义求解；(2)借助题设条件运用等价转化的数学思想先进行转化，再构造运用导数的知识求其值域求解试题解析

25、：(1)当 m = 4 时，/(x) = 4x, / (x) = 4 + -A-, f (2) = 5,又/(2) = 6 , x x? . ?所求切线方程为 y = 5x-4.由题意知，xe (l,Ve), nvc- -31nx<3 恒成立，即 m(x -1) < 3x + 3xInx 恒 x成立,V xG(l,Ve), x2 -1 > 0 ,则 m< A x+ AA恒成立.x -1人7 /、3x + 3xl nx7 /、令/z(x)一 l ；-，贝！m < Kx)A nx -1/z (x)-3(x2 +l)-l nx-63(x2+I)-I nx + 6(7A1

26、?xg(1, Ve), /z (x) < 0 ,即 /z(x)在(1, VA上是减函数.?当 xe (I,Ve)时，力面 n =h0)=_。r2(e-l).m 的取值范围是(一8,虫").2e 2考点：导数的有关知识和综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数m的函数解析式为背景，考查的是导数知识的综合运用和分析问题解决问题一 4 一 的能力.解答本题的第一问时，这时m = 4,求解时先对已知函数/(%) = 4%-一进行求x导，再将切点横坐标x = 2代入求得切线的斜率 为k = 5,就可以求岀切线的方程为y = 5x-4；第

27、二问中的求秫的取值范围问题则可直接从不等式中分离岀参数m,再运 用导数求其最小值从而使得问题获解.QY8. 已知函数 /(X) = ln(l + x) : (0 > 0).x + 1(I )若x = l是函数f(x)的一个极值点，求。的值(2015Y1(III)证明：一-<-(e为自然对数的底数).(2016Je【答案】(I )。=2; (II) (0,1; (III)证明见解析.【解析】试题分析：(I )利用1处的导数值为 0就可求的a的值；(II)若/(x)>0在0,+8)上恒成立，则/(X)min > 0,分当0<。<1时和当。1时两种情况，利用导数法

28、，求岀函数的最小值，进而综合讨论结果，可得a的取值范围；(III)要证明2015201620167即In 1 + 1>0，由 (II)知。=1 时，f(x) = ln(l + x)-在0,+8) 1 + 2015 x +单调递增.又一 ->0, /(0)= 0,可得结论.1 + 2015试题解析：(【)？.？ f(x) = ln(l + %)- (" > 0), /'(x) = WEx + 1 (x + 1)?.?x = I是函数f(x)的一个极值点，/'(1) = 0即a = 2(II) ? /(x) > 0在0,+8)上恒成立，.?./?(

29、 玖& 2 0当0<aI时，f(x)>0 在0,+8)上恒成立，即/'在0,+8)上为增函数，? /(x)min = /()=。成立，即0 <a%l当>1 时，令 f '(x)>0,则 x>a-l.令 f '(x)<0,则 0Vx<i I,即/Xx)在0,0-1)上为减函数，在 =0>/(fI-I),则矛盾.(0-1,+8)上为增函数，?/( x)min =f (a 1)20,又/(0)综上，。的取值范围为 (0,1.20162015(iii)要证2016 I <-,只需证2016沁 I> e.2

30、015两边取自然对数得，2016xIn爽扬>1,2015,20160 In2015 2016>0,2015 2016,2016 10 In0 In(I + )0，2015 1 + 201520152016考点：(1)利用导数研究函数的极值；(2)函数恒成立问题；(3)利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性,利用单调性证明不等式，恒成立问题，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题.第 一问中直接利用函数在某点处取得极值，则导数为零，得结果；第二问把不等式20恒 成立转化为/'(x)mi n20,然后利用导数

31、研究函数的单调性，求最值，是常见的一种转化思想；第三问首先利用分析法把要证的问题转化为1J1 + A - >0,利1 + 2015用二问中的结论得证，转化难度较大2 19.已知函数 /(x) = lnx + x -2ax+a ,a& R .(I )若。=0,求函数f(x)在l,e上的最小值；(II) 若函数f(x)在|,2上存在单调递增区间，求实数。的取值范围；(III) 根据a的不同取值，讨论函数f(x)的极值点情况.【答案】(1)1(2) -8,'(3)当。0时，函数f(x)无极值点；当0 <aJ也时，函数 f(X) 无极值点;当。Ji时，函数f (x)有一个极

32、小值点和一个极大值点；【解析】试题分析：(I)当。=0时，/(x) = lnx + x2，其定义域为(0,+8),/z(x) = + 2x> 0 ,所f(工)¥讣I.efEfe蜡函数，当牙=】时°才(工)*=才(】)=1故函数f(x)在l,e:上的最小值是1.I”-一加 丫+山題设条件，ift(x = - + 2x-2a = ( iij?(-r) = 27-2ar+l2因为函数g (x) = 2x -2ax + l的图象是开口向上的抛物线，所以只需g( 2)0或0即可.o1由 g(2)>0,即 8 4。+ 10,得 6/<|:由 g(2)>0,即-t

33、z + l>0,得。<弱.若f(x)在？2上存在单调递增区间，则a的取值范围是一 8,:.(III)由(II),可知 y'(x)=1(x) = lx - 2ax + .X(i )当"VO 时，在(0,+8)_hg(、)>0 恒成立，此时/(%)>0,函数f(x)无极值点；(ii)当。0 时，若 = 4/ 8V0,即 0 <。(扼时，在(0,+8)上g(x) 20恒成立，此时 y'(x)20，函数/'()无极值点;若厶=4疽_8>0,即 aJi时，易知当 后a+E?时，2g(x) <0 ,此时 f(r)vO ;当0VJT

34、<三或尤时，g(jr)>0, 此时 /z(x) > 0 .所以当。J万时，x=a J ； 2是函数f(x)的极大值点,2是函数f(x)的极小值点，-/ 2 2综上，当a<A2时，函数/*(、)无极值点；当时， x =- 三-是函数/*(的极大值点，x=a- 2是函数山工)的极小值点.考点：导数与函数的单调性，导数与函数的极值，导数与函数的最值函区间,【方法点睛】连续函数在闭区间上有最大值和最小值，求函数在闭区间上的最值，先求 数的极值与区间两端点的函数值比较，便可求出最值；函数在某区间上存在单调递增 就是导函数不小于零在此区间上有解；讨论函数的极值点情况，先求导，根据参

35、区间上单调，则无极值点？若数值正、负相反 .X = X。是极值点，不仅满足广(0) = 0,而且还需 要气左右导10.已知函数 /(%) = 为常数 )的图象在 x = l 处的切线方程为x + y - 2 = 0.(1) 判断函数 f(x) 的单调性；(2 )已知 pc (0,1),且 f(p)f(x) < t 3 -t 2 -2at +2 中恰有一个恒成立，求 实数。的取值范围( 1| 5-8'- 石 U /,+8【答案】 (1)递减(2) < 8L4【解析】 试题分析 ： ( 1)由导数几何意义得 ''(1)= * = Tm 1 一小 m A . 1 n = l j 11) = = 1, m = 2,n = 4，又2解 得2 , 若对任意 XG p,l, 任意 te ?,2 ,f(x)&